Калькулятор передаточных функций

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Березниковский филиал КАЛЬКУЛЯТОР ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ Методические указания

Составитель:

канд.техн. наук Н. В. Бильфельд УДК004

Б61

Рецензент:

канд.техн. наук, профессор кафедры АТП, В.Ф. Беккер

(Березниковский филиал Пермского национального исследовательского политехнического университета) Б61 Калькулятор передаточных функций: учебно-метод.пособие /сост. Н. В. Бильфельд. — Пермь: Изд-воПерм. нац., исслед. политехн. ун-та, 2012. 64 с.

Подробно изложен интерфейс программы «Калькулятор передаточных функций». Рассмотрены операции с передаточными функциями, расчет эквивалентных объектов каскадных систем регулирования, передаточных функций замкнутых систем по возмущению и управлению.

Приведено описание работы с модулями идентификации объектов управления, расчета оптимальных настроечных параметров регуляторов, расчета и построения комплексных частотных характеристик систем управления и фазовых траекторий.

Приведены примеры конкретных расчетов и пример расчета каскадной системы управления.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлению «Автоматизация технологических процессов и производств» и техническим специальностям.

УДК 004

© ПНИПУ, 2012

Назначение

Передаточные функции

Ввод передаточных функций

Копирование передаточных функций

Чтение и запись передаточных функций

Унарные операции с передаточными функциями

Бинарные операции над передаточными функциями

Формирование передаточной функции регулятора

Реализация макрокоманд

Вычисление передаточной функции эквивалентного объекта

Пример 1

Вычисление передаточных функций замкнутых систем

Пример 2

Вычисление аналитического выражения переходного процесса

Графический модуль

Назначение пунктов меню

Панели комментариев и выбора режимов

Пример 3

Показатели качества переходных процессов

Пример 4

Расчет настроек регулятора

Пример 5

Идентификация объектов управления

Обработка динамических характеристик

Пример 6

Форма «Динамическая характеристика»

Пример 7

Вычисление передаточной функции

Вычисление передаточной функции первого порядка

Пример 8

Вычисление передаточной функции методом Симою

Пример 9

Панель «Дополнительный вывод»

Модуль АФЧХ

Установки для АФХ

Вычисление АФЧХ

Пример 10

Настройки программы

Панель «Отображение чисел»

Панель «Корни»

Панель «Метод»

Панель «Разложение в ряд Паде»

Пример расчета каскадной АСР

Обработка экспериментальных характеристик

Обработка экспериментальной характеристики внутреннего канала

Получение передаточной функции по внутреннему каналу

Обработка экспериментальной характеристики основного канала

Получение передаточной функции по основному каналу

Расчет одноконтурной системы регулирования

Расчет ПИ-регулятора основного канала

Расчет ПИД-регулятора основного канала

Построение частотных характеристик замкнутых систем по управлению

Построение переходных процессов и частотных характеристик по управлению

Расчет комбинированной системы управления.

Расчет регулятора внутреннего контура.

Расчет первым способом

Расчет вторым способом

Заключение

Расчет, синтез и моделирование системы автоматического управления является одним из разделов дипломного проекта по автоматизации технологических процессов. При выполнении данных разделов приходится выполнять различные математические операции с передаточными функциями. Работа с передаточными функциями также входит в курс лекций по таким предметам как «Теория автоматического управления», «Теоретические основы автоматизации», «Идентификация объектов управления», «Теоретические основы электротехники (переходные процессы)».

В связи с этим была разработана специальная программа"Калькулятор передаточных функций", которая позволяла производить математические операции над передаточными функциями. Программа успешно использовалась в учебном процессе и развивалась.

Сегодня ее уже трудно назвать калькулятором передаточных функций, так как кроме операций с передаточными функциями она интегрировала в себе такие модули как «Идентификация объектов управления», «Расчет оптимальных настроечных параметров автоматических регуляторов», «Расчет и построение графиков переходных процессов и частотных характеристик систем управления» и другое.

В связи с этим возникла необходимость в методических указаниях по использованию данной программы, в котором подробно описан интерфейс программы и приведены конкретные примеры расчетов.

Назначение

В отличие от обычного калькулятора, где математические действия производятся над константами, в данном калькуляторе математические действия производятся над передаточными функциями. В процессе доработки в программу включено много дополнительных функций, таких как расчет переходных процессов, расчет частотных характеристик, расчет настроечных параметров регулятора и другие.

Внешний вид калькулятора представлен на рис. 1.

Рис. 1. Внешний вид калькулятора

При наведении курсора мыши на какую-либо кнопку или панель калькулятора в нижней строке выводится описание назначения данной кнопки или панели, как показано на рис. 1.

Передаточные функции

Ввод передаточных функций

Главная форма калькулятора имеет две панели, W_X и W_Y, в которые вводятся передаточные функции операндов. Результат вычислений выводится на панели W_Z.

Панель ввода представлена на рис. 2.

Рис. 2. Панель ввода передаточной функции

Порядок числителя вводится в поле «M».

Порядок знаменателя вводится в поле «N».

Ввод порядков подтверждается кнопкой «Ok».

Коэффициенты числителя и знаменателя вводятся в соответствующих столбцах «Числитель» и «Знаменатель».

Запаздывание вводится в поле «Запаздывание».

Для очистки значений коэффициентов используется кнопка «С».

Например, для передаточной функции

панель ввода будет выглядеть, как показано на рис. 2.

Аналогичным образом вводятся передаточные функции в панельW_Y. В панельW_Zпередаточные функции не вводятся, так как она служит для отображения результатов вычислений. Хотя редактирование коэффициентов и запаздывания допускается.

Копирование передаточных функций

Для копирования и вставки передаточных функций используется панель, приведенная на рис. 3.

Копирований передаточных функций осуществляется через промежуточный буфер. Чтобы поместить передаточную функцию в промежуточный буфер из любой панели используется кнопка «Копия» на соответствующей панели. Чтобы поместить передаточную функцию из буфера в любую панель используется кнопка «Вставка» на соответствующей панели.

Рис. 3. Панель копирования и вставки

Для расширения возможности промежуточного хранения результатов вычислений реализованы две дополнительные ячейки памяти М1 и М2, в которые можно копировать передаточные функции из любой панели или поместить передаточную функцию из выбранной ячейки в любую панель. Назначение кнопок для работы с ячейками памяти для панели W_X приведено в табл. 1.

Таблица 1

Назначение кнопок для работы с ячейками памяти

Чтение и запись передаточных функций

Чтение и запись передаточных функций на диск осуществляется из панели, приведенной на рис. 4.

Рис. 4. Панель чтения и записи передаточных функций

Чтение передаточных функций осуществляетсяс помощью кнопки «Открыть». Запись передаточных функций осуществляетсяс помощью кнопки «Сохранить». При открытии и сохранении используются стандартные диалоговые окна Windowsдля работы с файлами. Если нужно сохранить в файле передаточную функцию из другой панели, ее необходимо предварительно скопировать в панель W_Z. При сохранении передаточной функции файлу автоматически присваивается расширение *.prd. При чтении передаточной функции можно выбрать тип файла (*.prd или все файлы).

По умолчанию при чтении и сохранении передаточных функций открывается специальная папка DATA.

Унарные операции с передаточными функциями

В пределах одной передаточной функции в каждой из панелей W_X и W_Y можно осуществлять математические унарные операции. Панель для реализации унарных операций приведена на рис. 5.

Рис. 5. Панель унарных операций

В поле «Конст.» вводится константа, с которой выполняется часть унарных операций. Результат операции помещается в ту же панель, где находится искомая передаточная функция.

Назначение кнопок приведено в табл. 2.

В этой же таблице приведен текстовый пример унарных операций для константы, равной двум при последовательном нажатии кнопок для передаточной функции:

Таблица 2.

Примеры операций с константой

Последнее действие возможно, если свободные члены числителя и знаменателя равны нулю. Например, передаточная функция

после нажатияпринимает вид:

Если передаточная функция введена с запаздыванием, то сложение или вычитание с константой осуществляется следующим образом. Передаточная искомая функция с запаздыванием заменяется близкой ей функцией без запаздывания, разлагая искомую функцию в ряд Паде степень числителя и знаменателя которой пользователь может выбрать вменю «Настройки».

Бинарные операции над передаточными функциями

Бинарные операции над передаточными функциями осуществляются с панели «Бинарные операции», приведенной на рис. 6.

Рис. 6. Панель бинарных операций

При этом передаточные функции, над которыми осуществляются операции, должны быть предварительно занесены в панели W_X и W_Y. Результат операции выводится в панели W_Z. В табл.3 приведен тест для передаточных функций:

Таблица 3.

Действия с бинарными операциями

Сумму и разность передаточных функций с разным запаздыванием невозможно представить в виде дробно-рациональной функции с запаздыванием. В этих случаях одна из функций заменяется приближенной функцией, вычисленной разложением в ряд Паде, посредством приближенного представления функций с большим запаздыванием в ряд Паде. Степень числителя и знаменателя этой функции и точка разложения выбираются вменю «Настройки».

На панели бинарных операций также имеется возможность включить автоматическое сокращение при выполнении операций над передаточными функциями. Это осуществляется с помощью опций «Да» и «Нет».

Формирование передаточной функции регулятора

Формирование передаточной функции регулятора осуществляется с панели «ПИД-регулятор (Кр, Ти, Тд)», приведенной на рис. 7.

Рис. 7. Панель выбора регулятора

Для этого необходимо выбрать структуру регулятора с помощью радио-кнопок (Р1 — с раздельными настройками, Р2 — с взаимосвязанными настройками), из раскрывающегося списка выбрать тип регулятора, ввести соответствующие настроечные параметры и нажать кнопку Ok. Передаточная функция регулятора формируется в панели W_Y.

В табл. 4 приведены передаточные функции различных регуляторов с настроечными параметрами Кр=3, Ти=5 и Тд=2.

Таблица 4.

Передаточные функции регуляторов

Выбранная структура регулятора автоматически учитывается при реализации макрокоманд расчета передаточных функций эквивалентного объекта и замкнутых систем.

Реализация макрокоманд

Реализация макрокоманд осуществляется с панели, приведенной на рисунке 8.

Рис. 8. Панель «Макросы»

На панели находятся кнопки для реализации наиболее часто встречающихся вычислений в виде макрокоманд. Назначение кнопок приведено в таблице 5.

Таблица 5

Назначение кнопок макрокоманд

Вычисление передаточной функции эквивалентного объекта

Передаточная функция эквивалентного объекта для корректирующего регулятора вычисляется по формуле:

Для вычисления передаточной функции эквивалентного объекта каскадной АСР необходимо выполнить следующие операции:

1. Поместить передаточную функцию основного W1(s) канала в панель W_X.

2. Поместить передаточную функцию внутреннего канала W2(s) в панель W_Y.

3. Установить в панели «ПИД-регулятор» значения соответствующих коэффициентов и структуру регулятора.

4. Нажать кнопку макрокоманды .

Пример 1

Введите в панель W_Xпередаточную функцию:

Введите в панель W_Yпередаточную функцию:

Выберите в панели регуляторов ПИ-регулятор с раздельными настройками с коэффициентами Kp=3 Ти=5.

Нажмите кнопку макрокоманды .

В результате в панели W_Xдолжна получиться передаточная функция:

Вычисление передаточных функций замкнутых систем

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению вычисляется по формуле:

Передаточная функция замкнутой системы по управлению вычисляется по формуле:

Для вычисления передаточных функций замкнутых систем необходимо выполнить следующие операции:

1. Ввести передаточную функцию канала в панель W_X.

2. Установить в панели «ПИД-регулятор» значения соответствующих коэффициентов и структуру регулятора.

3. Нажать кнопку соответствующей макрокоманды.

Пример 2

Введите в панель W_Xпередаточную функцию:

Выберите в панели регуляторов «ПИД-регулятор"регулятор с взаимосвязанными настройками с коэффициентами Кр=3, Ти=5 и Тд=2.

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению будет иметь вид:

Передаточная функция замкнутой системы по управлению будет иметь вид:

Вычисление аналитического выражения переходного процесса

Вычисление аналитического выражения переходного процесса и корней характеристического уравнения осуществляется для передаточной функции, помещенной в панельW_Z методом Карсона — Хевисайда или Лапласа (каким именно, выбирается в модуле «Настройки»).

Для этого необходимо предварительно установить на панели «Макросы"соответствующие временные коэффициенты в следующей последовательности:

Начальное время (0).

Конечное время (100).

Шаг по времени (1).

Далее необходимо нажать функциональную кнопку, после чего раскроется информационное окно с полученными результатами. Для передаточной функции:

приуказанных временных коэффициентах результаты имеют вид, приведенный на рис. 9.

При нажатии кнопки «Копировать в буфер» имеется возможность скопировать выделенный фрагмент данного окна в буфер обмена, для последующего использования в текстовых документах.

Параллельно формируется двумерный массив значений переходного процесса. Посмотреть таблицу значений можно при нажатии на кнопку .

Построить график можно в графическом модуле, переход в который осуществляется по кнопке .

Рис. 9. Вывод функции переходного процесса с корнями аналитического выражения

Графический модуль

Модуль предназначен для построения графиков переходных процессов. Внешний вид модуля представлен на рис. 10.

Основные элементы модуля: окно построения графиков, основное меню, панель комментариев к графикам, панель выбора режима и панель показателей качества переходных процессов.

Назначение пунктов меню

«Текущий» — строится текущий график, полученного аналитического выражения.

«Из файла» — имеется возможность построения нескольких графиков, отмеченных в стандартном диалоговом окне открытия файлов. Максимальное количество графиков равно пяти. Файлы графиков выбираются при нажатой клавише Ctrl.

«Копировать» — копирование графика в буфер Windows для дальнейшего использования в текстовых документах.

«Масштаб» — выбор масштаба окна построения графиков. Имеется два режима: «Обычный» и «Мелкий». Режим «Мелкий» выбирается, как правило, при копировании графиков в буфер обмена, чтобы рисунки, вставляемые в текстовый документ, занимали меньше места. После смены режима необходимо выполнить меню «Текущий», чтобы график снова построился.

«Сохранить» — сохранение двумерного массива точек графика в файле.

«Excel» — передача двумерного массива точек графика в Excel.

Рис. 10 Графический модуль

Панели комментариев и выбора режимов

В панели комментариев к графикам выводится путь и имена файлов построенных графиков. Это необходимо при построении нескольких графиков из файла. При этом цвет графика соответствует цвету, выводимому перед именем файла.

В панели режимов можно установить с помощью радио-кнопок один из следующих режимов:

«Цветной» — все графики выводятся разными цветами.

«Монохромный1» — графики выводятся черным цветом, сетка — зеленым, а осикрасным цветом.

«Монохромный 2» — все выводится черным цветом.

Режимы необходимы при последующем помещении графиков в текстовый документ для печати.

Пример 3

Необходимо построить переходные процессы по возмущению и управлению, для объекта с передаточной функцией:

и ПИД-регулятора, с коэффициентами Кр=3, Ти=5 и Тд=2 с взаимосвязанными настройками.

Для этого выполним следующую последовательность действий:

1. Введем в панель W_X передаточную функцию объекта.

2. Установим в панели «ПИД-регулятор"значения коэффициентов регулятора, выберем в раскрывающемся списке ПИД-регулятор и опцию P2 (взаимосвязанныенастройки).

3. Нажмем последовательность кнопок ,.

4. Выполним пункты меню «Текущий», «Сохранить» и сохранить массив под именем W_v.

5. Нажмем последовательность кнопок ,.

6. Выполните пункты меню «Текущий», «Сохранить"и сохранить массив под именем W_y.

7. Выполним пункт меню «Масштаб» >"Мелкий".

8. Выполните пункт меню «Из файла». При нажатой клавише Ctrlвыделим файлы W_v и W_y и нажать кнопку «Открыть».

В результате выведутся графики, показанные на рисунке 11.

Рис. 11. Переходные процессы по возмущению и управлению

Показатели качества переходных процессов

При выводе графика переходного процесса рассчитываются следующие основные показатели качества:

1. Время регулирования.

2. Динамическая ошибка (для переходных процессов по возмущению).

3. Перерегулирование (для переходных процессов по управлению).

4. Степень затухания.

В качестве вспомогательных значений выводится:

1. Расчетная зона.

2. Второй максимум.

3. Минимум.

При расчете 5%-ной зоны регулирования можно указать абсолютные или относительные единицы, выбрав одну из опций «Абсол.» или «Относ.».

Пример 4

Рассмотрим физический смысл перечисленных показателей на конкретном примере. Возьмем передаточную функцию объекта и настроечные параметры регулятора из примера 3.

1. Введем в панель W_X передаточную функцию объекта.

2. Установим в панели «ПИД-регулятор"значения коэффициентов регулятора, выберем в раскрывающемся списке ПИД-регулятор и опцию «P2» (взаимосвязанныенастройки).

3. Нажмем последовательность кнопок ,.

4. Выполните пункт меню «Текущий».

По умолчанию используются относительные единицы для определения расчетной зоны, т. е. наша расчетная зона получилась как:

где max — максимальное значение на графике.

В этом случае время регулирования принимаетсяравнымвремени, при котором параметр не превышает рассчитанной зоны. В нашем случае это время составляет 55 секунд.

Если установить опцию «Относ.» и нажать кнопку «Пересчитать», то в этом случае расчетная зона определяется как:

и время регулирования составит уже 18 секунд.

Динамическая ошибка определяется как максимальное значение и составляет 0,166.

Перерегулирование рассчитывается только для переходных процессов по управлению.

Степень затухания рассчитывается как:

Расчет настроек регулятора

Рис. 12. Модуль расчета настроечных параметров регулятора

Оптимальные настройки регулятора можно вычислить на форме «Оптимальные настройки регулятора». Вызвать данную форму можно, выполнив меню"Оптимальный регулятор" на главной форме в главном меню.

Внешний вид модуля приведен на рис. 12.

Настроечные параметры рассчитываются для передаточной функции, помещенной в панельW_X. Настроечные параметры считаются для регуляторов с раздельными настройками, независимо от того, какая опция установлена на главной форме.

Последовательность вычисления оптимальных настроек следующая:

1. Введем передаточную функцию объекта в панель W_Xобъекта.

2. Выполним меню «Оптимальный регулятор». При выполнении данного меню передаточная функция объекта автоматически заносится в панель W_объекта. Если требуется вычислить оптимальные настройки для другой функции, то передаточная функция вводится точно так же, как на главной форме.

3. После ввода передаточной функции введем один из трех критериев оптимальности, как показано на рисунке 13, и нажмем соответствующую кнопку Ok. После этого остальные показатели рассчитаются автоматически.

4. Выберем тип регулятора (П, И, Д, ПИ, ПД, ПИД) с помощью переключателей. Например, ПИ-регулятор можно выбрать, как показано на рисунке 14. Если выбран ПИД-регулятор, то становится возможен ввод в

поле коэффициента, который равен

5. Выберем метод расчета (автоматический, вручную), как показано на рис. 15. Если выбран автоматический метод расчета, то оптимальные настройки регулятора вычисляются автоматически. Если выбран метод расчета вручную, то диапазон частот, на котором требуется вычислить оптимальные настройки и шаг по частоте потребуется ввести в открывшемся окне. Обычно ручной метод выбирается для объектов без самовыравнивания, когда при нулевой частоте значение амплитудно-частотной характеристики равно бесконечности.

6. Нажмем кнопку «Вычислить».

Рис. 13. Выбор критерия оптимальности

Рис. 14. Выбор регулятора

Рис. 15. Выбор метода расчета

На форме оптимальных настроек выведутся оптимальные настройки соответствующего регулятора, а на панели «W_оптимального регулятора» выведется передаточная функция соответствующего регулятора.

Данные настройки можно передать на главную форму, в панель «ПИД-регулятор», нажав на кнопку «Копировать на главную форму».

В правом нижнем углу выведутся оптимальная частота и частота среза.

Пример 5

Для объекта с передаточной функцией

необходимо рассчитать настройки ПИ и ПИД-регуляторов и сравнить переходные процессы по возмущению и управлению. Для этого выполним следующие действия:

1. Введем в панель W_Xпередаточную функцию:

2. Выполним меню «Оптимальный регулятор».

3. Установим степень затухания равную 0,85.

4. Выберем ПИ-регулятор.

5. Нажмем кнопку «Вычислить».

6. В результате получим настройки Кр=9,64Ти=0,72.

7. Нажмем кнопку «Копировать на главную форму».

8. Выберем в панели «ПИД-регулятор» из раскрывающегося списка ПИ-регулятор.

9. Установим опцию «Р1» (раздельные настройки).

10. Нажмем кнопку «Wв».

11. В результате получим передаточную функцию замкнутой системы по возмущению:

12. Нажмем последовательность кнопок ,.

13. Выполним пункт меню «Текущий».

14. В результате получим график переходного процесса и следующие показатели качества:

Время регулирования 25.

Динамическая ошибка 0,095.

Степень затухания 0,88.

15. Сохраним переходный процесс в файле «Wv1», выполнив меню «Сохранить».

16. Закроем графический модуль.

17. Нажмем кнопку «Wy». В результате получим передаточную функцию замкнутой системы по управлению:

18. Нажмем последовательность кнопок ,.

19. Выполним пункт меню «Текущий». В результате получим график переходного процесса и следующие показатели качества:

Время регулирования 26.

Перерегулирование 46%.

Степень затухания 0,85.

20. Сохраним переходный процесс в файле «Wu1», выполнив меню «Сохранить».

21. Закроем графический модуль.

22. Выполним меню «Оптимальный регулятор».

23. Установим степень затухания, равную 0,85.

24. ВыберемПИД-регулятор.

25. Нажмем кнопку «Вычислить». В результате получим настройки Кр=11,66 Ти=0,35, Тд=9,5.

26. Нажмем кнопку «Копировать на главную форму».

27. Выберем в панели «ПИД-регулятор» из раскрывающегося списка ПИД-регулятор.

28. Установим опцию «Р1» (раздельные настройки).

29. Нажмем кнопку «Wв». В результате получим передаточную функцию замкнутой системы по возмущению:

30. Нажмем последовательность кнопок ,.

31. Выполним пункт меню «Текущий». В результате получим график переходного процесса и следующие показатели качества:

Время регулирования 25.

Динамическая ошибка 0,06.

Степень затухания 0,89.

32. Сохраним переходный процесс в файле «Wv2», выполнив меню «Сохранить».

33. Закроем графический модуль.

34. Нажмем кнопку «Wy». В результате получим передаточную функцию замкнутой системы по управлению:

35. Нажмем последовательность кнопок ,.

36. Выполним пункт меню «Текущий». В результате получим график переходного процесса и следующие показатели качества:

Время регулирования 26.

Перерегулирование 41%.

Степень затухания 0,85.

37. Сохраним переходный процесс в файле Wu2, выполнив меню «Сохранить».

38. Выполним меню «Из файла» и, удерживая клавишу Ctrl, выберем сохраненные файлы. В результате получим графики, приведенные на рисунке 16.

Рис. 16. Переходные процессы в замкнутой системе по возмущению (1,2) и управлению (3, 4) с ПИ (1,3) и ПИД (2, 4) регуляторами

Идентификация объектов управления

Переход в данный модуль осуществляется из меню «Идентификация объекта». Внешний вид модуля представлен на рис. 17. Модуль содержит два подмодуля: «Динамическая характеристика» и «Передаточная функция».

Вход в подмодули осуществляется из меню с соответствующими названиями.

В панели «Динамическая характеристика» вводится:

1. Количество точек динамической характеристики.

2. Начальное время.

3. Шаг изменения по времени.

В панели «Передаточная функция» вводится:

1. Коэффициент передачи объекта.

2. Чистое запаздывание объекта.

В результате вычисления передаточной функции выводятся порядкичислителя «M"и знаменателя «N».

Рис. 17. Внешний вид модуля «Идентификация объектов»

Обработка динамических характеристик

Меню «Динамическая характеристика» имеет следующие подменю:

1. «Создать"-создать динамическую характеристику вручную. При этом необходимо предварительно указать количество точек, начальное время и шаг изменения по времени.

2. «Открыть» — открыть динамическую характеристику из файла.

3. «Сохранить» — сохранить динамическую характеристику в файле под текущим именем.

4. «Сохранить как» — сохранить динамическую характеристику в файле под указанным именем.

5. «Редактировать» — открыть форму редактирования динамической характеристики.

6. «Среднее значение» — определить среднее значение динамических характеристик, открываемых из файла. Файлы выбираются при нажатой клавише Ctrl.

7. «Погрешность» — вычислить выбранную погрешность для двух динамических характеристик, выбранных из файла.

Пример 6

1. Установим количество точек равное 10.

2. Установим начальное время равное нулю.

3. Установим шаг изменения равный 10.

4. Выполним меню «Динамическая характеристика» >"Создать".

5. Введем значения точек, как показано на рис. 18.

6. Закроем окно «Динамическая характеристика».

7. Выполним меню «Сохранить как» и сохраним ее под именем «1d».

Рис. 18. Ввод точек динамической характеристики

Форма «Динамическая характеристика»

На форме «Динамическая характеристика» находятся два пункта меню: «Редактирование» и «Обработка».

Из меню «Редактировать» доступны следующие пункты меню:

1. «Вставить" — вставляет строку выше текущей строки, и служит для добавления точек.

2. «Добавить» — добавляет строку в конец массива.

3. «Удалить» — удаляет текущую строку.

Из меню «Обработка» доступны следующие пункты меню:

1. «Нормировать» — кривая разгона обрабатывается таким образом, что её максимальное значение становится равным единице.

2. «Сгладить» >"По трем точкам" - кривая разгона обрабатывается согласно алгоритму сглаживания по трем точкам.

3. «Сгладить» >"По пяти точкам" - кривая разгона обрабатывается согласно алгоритму сглаживания по пяти точкам.

4. «Линеаризовать" — кривая разгона обрабатывается по алгоритму линеаризации повторяющихся точек.

5. «Инвертировать» — значения в столбцах «Время» и «Значение» кривой разгона меняются местами.

6. «Пересчитать время с новым шагом» — у кривой разгона вычисляется новое время. При этом новый шаг времени необходимо предварительно указать в поле «Новый шаг времени».

7. «Пересчитать время в минуты» — каждое значение по времени делится на 60.

8. «Импульсная кривая» — преобразование импульсной характеристики к характеристике объекта с самовыравниванием.

9. «Импульсная кривая 1» — преобразование импульсной характеристики к характеристике объекта с самовыравниванием по модифицированному алгоритму.

10. «В импульсную» — преобразование обычной характеристики в импульсную характеристику.

Пример 7

1. Откроем ранее созданный файл динамической характеристики «1d».

2. Выполним меню «Обработка» >"Линеаризовать" и убедимся, что повторяющиеся точки исчезли, (значение последней точки стало равным 4,975).Сохраним массив в файле «1dL».

3. Выполним «Обработка» >"Сгладить по 3 точкам".

4. Сохраним массив в файле «1s3».

5. Откроем файл «1dL».

6. Выполним «Обработка» >"Сгладить по 5 точкам".

7. Сохраним массив в файле «1s5».

8. Перейдем в графический модуль и откроем одновременно файлы «1dL» и «1s3».

9. Полученные характеристики представлены на рисунке 19.

10. Как видно из рисунка 19, сглаживание в данном случае привело к определенной погрешности. Оптимальное сглаживание по 3 точкам получается, когда количество точек динамической характеристики не менее 30, т. е. в 10 раз больше. Аналогичные требования предъявляются и при сглаживании по 5 точкам.

11. Снова перейдем в модуль «Идентификация».

12. Откроем файл «1s3».

13. Выполним «Обработка» >"Нормирование".

14. Сохраним файл под именем «1n».

Данный файл будем использовать в дальнейшем для получения передаточной функции объекта управления.

Рис. 19. Графики линеаризованной (1) и сглаженной по трем точкам (2) динамических характеристик

Вычисление передаточной функции

В этом субменю находятся следующие функции:

1. «Сохранить" — сохранить передаточную функцию, полученную в результате исследования кривой разгона методами Симою или первым порядком.

2. «Симою» — вычисление передаточной функции методом Симою.

3. «Первым порядком" — Получение передаточной функции в виде:

Вычисление передаточной функции первого порядка

В меню «Первым порядком» реализовано четыре подменю, выполняющих расчет различными методами:

1. «Касательной» — метод касательной.

2. «Совпадением трех точек» — метод совпадения трех точек.

3. «Совпадением четырех точек» — метод совпадения четырех точек.

4. «Орманом» — метод Ормана.

После выбора одного из перечисленных методов произойдет вычисление постоянной времени объекта и запаздывающего аргумента. Информация выведется в дополнительном окне, приведенном на рис. 20.

В данном окне выводится следующая информация:

1. Максимальная погрешность нормированной и аппроксимированной характеристик (0,02).

2. Номер точки перегиба (J=1).

3. Абсцисса точки перегиба (Xтп=5).

4. Ордината точки перегиба (Yтп=0,16).

5. Запаздывающий аргумент (Ta=2,41).

6. Постоянная времени объекта (T=19,9).

7. Отношение запаздывающего аргумента к постоянной времени.

Рис. 20. Окно с дополнительной информацией

Кнопка «Копировать в буфер» предназначена для копирования выделенной информации в буфер обмена для последующего использования в текстовых документах.

Рис. 21. Окно с полученной передаточной функцией

После закрытия окна с дополнительной информацией, выведется окно с передаточной функцией, представленное на рис. 21.

Передаточную функцию можно скопировать с помощью кнопки «Копировать» либо поместить в ячейку памяти с помощью кнопок «М1+» и «М2+» для дальнейшего использования в основной форме калькулятора.

Параллельно выведется окно с точками аппроксимированной динамической характеристики по полученной передаточной функции.

Поэтому, если необходимо использовать другой метод расчета передаточную функцию, необходимо заново открыть из файла.

Пример 8

1. Введите в панель W_Xпередаточную функцию:

2. Скопируйте ее в панель W_Z.

3. Постройте график. Для этого нажмите последовательность кнопок, .

4. Выполните пункт меню «Текущий».

5. Сохраните график в файле «1».

6. Выполните меню «Идентификация» >"Динамическаяхарактеристика" >"Открыть" и откройте файл «1».

7. Закройте окно с точками динамической характеристики и выполните меню «Передаточная функция» >"Первым порядком" >"Касательной".

8. В результате в окне «Дополнительная информация» вы увидите максимальное значение рассчитанной погрешности, равной 0,0739.

9. Закройте окно с дополнительной информацией. В результате выведутся коэффициенты передаточной функции:

передаточный функция регулятор бинарный

10. Скопируйте передаточную функцию.

11. Поместите ее в панель W_Z.

12. Постройте график и сохраните его под именем «2».

13. Аналогично получите передаточные функции остальными методами и сохраните ее в файлах «3"-"5». Вид передаточных функций и максимальная погрешность приведена в табл. 6.

14. Постройте одновременно графики переходных процессов. Графики приведены на рис. 22.

Как видно из рисунка 22 передаточные функции, полученные методом «четырех точек» и методом «Ормана», практически совпадают с исходной.

Таблица 6

Аппроксимация передаточной функции первым порядком

Передаточные функции, полученные методом «трех точек» и методом «Касательной» отличаются с максимальной погрешностью 0,06 и 0,08 соответственно.

Рис. 22. Графики динамических характеристик:

1) исходная, 2) методом касательной, 3) методом трех точек, 4) методом четырех точек, 5) методом Ормана

Вычисление передаточной функции методом Симою

Данным методом рассчитывается передаточная функция вида:

Коэффициент усиления K и запаздывание вводятся в соответствующие поля на форме «Идентификация объекта».

Метод основан на вычислении так называемых площадей. Поэтому в меню «Симою» имеется два пункта:

1. «Площади» — вычисление площадей.

2. «Коэффициенты» — вычисление коэффициентов передаточной функции.

Пример 9

1. Выполним меню «Идентификация» >"Динамическаяхарактеристика" >"Открыть", и откроем ранее сохраненный в примере 8 файл «1».

2. Закроем окно с точками динамической характеристики и выполним меню «Передаточная функция» >"Симою" >"Коэффициенты". В результате в окне «Дополнительная информация» выведется матрица для решения системы линейных уравнений для получения коэффициентов передаточной функции. Вид окна приведен на рис. 23.

3. Закроем окно с дополнительной информацией. В результате выведутся коэффициенты передаточной функции:

.

Рис. 23. Матрица для вычисления коэффициентов передаточной функции

Панель «Дополнительный вывод»

На панели «Дополнительный вывод», которая находится на главной форме, есть три переключателя, приведенные на рис. 24.

Рис. 24. Выбор для дополнительного вывода

Изменяя свойства соответствующих переключателей, мы сможем увидеть значения промежуточных вычислений при соответствующих процессах.

Модуль АФЧХ

Модуль предназначен для вычисления частотных характеристик.

Вход в модуль осуществляется из меню «АФЧХ».

Внешний вид модуля приведен на рис. 25.

Частотные характеристики вычисляются для передаточной функции, которая находится в панели W_Zосновной формы. При открытии модуля коэффициенты передаточной функции помещаются в панель W_Xмодуля. В данную панель можно ввести любую передаточную функцию, способами, описанными в разделе «Ввод передаточных функций».

Рис. 25. Внешний вид модуля АФЧХ

Установки для АФХ

Работа с модулем начинается с установки интервала частот, которое осуществляется из меню «Установки для АФХ». Вид формы приведен на рис. 26.

Рис. 26. Установки для частоты

На форме имеется три поля, в которых введены значения по умолчанию.

1. «Начальная частота» (0).

2. «Конечная частота» (1).

3. «Шаг по частоте» (0,01).

Дополнительно можно установить:

1. «Коэффициент передачи» (1) — в данном поле можно изменить коэффициент передачи объекта при вычислении частотных характеристик.

2. «Степень колебательности» (0) — в данном поле можно изменить степень колебательности для вычисления расширенных частотных характеристик.

Вычисление АФЧХ

Вычисление АФЧХ осуществляется из меню АФХ. При этом выводится таблица, приведенная на рис. 27.

Таблица имеет следующие столбцы:

1. W — значение частоты.

2. U — значение вещественнойчасти.

3. V-значение мнимой части.

4. A — значение амплитуды.

5. F — значение фазы в градусах.

Имея комплексную частотную характеристику можно вычислить амплитудно-частотную характеристику и фазо-частотную характеристику по кнопкам «АЧХ» и «ФЧХ» соответственно.

Выполнив меню «Фазовый портрет» можно поучить график фазового портрета анализируемой передаточной функции. Следует иметь в виду, что до получения фазового портрета необходимо вычислить АФЧХ передаточной функции.

По кнопке «Экстремумы» вычисляется резонансная частота системы и значения векторов при резонансной частоте.

Рис. 27. Таблица значений АФЧХ

Пример 10

Для передаточной функции

иПИД-регулятора с раздельными настройками Кр=3, Ти=5 и Тд=2 получим все частотные характеристики для замкнутой системы по возмущению. Для этого:

1. Введем передаточную функцию и настройки регулятора в соответствующие панели.

2. Нажмем кнопку Wв. В результате получим передаточную функцию замкнутой системы.

3. Выполним меню «АФЧХ» >"Установки для АФХ" и введем шаг изменения частоты, равный 0,001.

4. Закроем окно с установками.

5. Выполним меню «АФХ».

6. Нажмем кнопку «Экстремумы». В результате получим значение резонансной частоты системы, равной 0,125 и максимальную амплитуду, равную 0,29.

7. Перейдем на главную форму, активизируем графический модуль и выполним меню «Текущий». В результате получим график, приведенный на рис. 28.

Рис. 28. График АФЧХ замкнутой системы по возмущению

Рис. 29. График АЧХ замкнутой системы по возмущению

8. Снова перейдем на модуль «АФЧХ».

9. Выполним меню «АФХ» и нажмем кнопку «АЧХ».

10. Перейдем на главную форму, активизируйте графический модуль и выполните меню «Текущий». В результате получится график, приведенный на рис. 29. Обратим внимание, что максимальное значение амплитуды (0,29) и частота соответствующая данной амплитуде (0,125), совпадает с ранее рассчитанными значениями.

Рис. 30. График ФЧХ замкнутой системы по возмущению

Рис. 31. Фазовый портрет замкнутой системы по возмущению

11. Снова перейдем на модуль «АФЧХ».

12. Выполним меню «АФХ» и нажмите кнопку «ФЧХ».

13. Перейдем на главную форму, активизируем графический модуль и выполним меню «Текущий». В результате получим график, приведенный на рисунке 30.

14. Снова перейдем на модуль «АФЧХ».

15. Выполним меню «АФХ» и закроем таблицу значений.

16. Выполним меню «Фазовый портрет». При этом мы автоматически попадем в модуль построения графиков.

17. Выполним меню «Текущий». В результате получите график, приведенный на рис. 31.

Настройки программы

Рис. 32. Внешний вид модуля «Настройки»

Вход в модуль настроек программы осуществляется из меню «Настройки». Внешний вид модуля приведен на рис. 32.

Панель «Отображение чисел»

В панели имеется два поля:

1. «Количество разрядов» — всего количество цифр в числе, которые отображаются, в каком либо поле.

2. «Количество разрядов после запятой» — столько цифр отображается в поле после запятой.

Панель «Корни»

В панели имеется три поля:

1. «Точность» — точность, с которой находятся корни.

2. «Точность2» — точность с которой находятся кратные корни.

3. «Итераций» — максимальное количество итераций, которое совершается при нахождении корней.

Панель «Метод»

В панели выбирается метод, которым вычисляется аналитическое выражение переходного процесса.

Панель «Разложение в ряд Паде»

Панель имеет три поля.

1. «Т0» — точка, в которой осуществляется разложение в ряд Паде.

2. «M» — степень числителя функции Паде.

3. «N» — степень знаменателя функции Паде.

Все введенные значения устанавливаются при нажатии кнопки «Установить» или отменяются при нажатии кнопки «Отменить».

При выполнении меню «Настройки» >"Восстановить" устанавливаются настройки программы по умолчанию.

Пример расчета каскадной АСР

Обработка экспериментальных характеристик

Обработка экспериментальной характеристики внутреннего канала

Экспериментальная динамическая характеристика по внутреннему каналу представлена в табл. 7.

Таблица 17

Экспериментальная динамическая характеристика по внутреннему каналу

Для обработки динамической характеристики выполним следующие действия:

1. Выполним меню «Идентификация объекта».

2. Введем в соответствующие поля количество точек равное 21, и шаг по времени равный 5, как показано на рис. 33.

3. Выполним меню «Динамическая характеристика» > «Создать».

4. В открывшемся окне, представленном на рис. 34, введем точки динамической характеристики. После ввода точек закроем окно, представленное на рис. 34.

Рис. 33. Ввод исходных данных динамической характеристики

Рис. 34. Ввод точек динамической характеристики

5. Выполним меню «Динамическая характеристика» > «Сохранить как» и сохраним массив под именем «Внутренний канал (исходная)».

6. Чтобы посмотреть график динамической характеристики, на главной форме калькулятора перейдем в графический модуль, выполним меню «Из файла» и откроем файл «Внутренний канал (исходная)». График экспериментальной динамической характеристики представлен на рисунке 35.

7. Как видно из табл. 7 динамическая характеристика имеет повторяющиеся точки и нуждается в дальнейшей обработке. Для этого выполним меню «Идентификация» >"Динамическая характеристика" >"Открыть" и откроем файл «Внутренний канал (исходная)».

Рис. 35. График экспериментальной динамической характеристики

8. Выполним меню «Обработка» >"Линеаризовать".

9. Нажмем кнопку «Excel» для передачи точек в таблицу Excel.

10. Закроем окно, представленное на рис. 35.

11. Выполним меню «Динамическая характеристика» > «Сохранить как» и сохраним массив под именем «Внутренний канал (линеаризованная)».

12. Выполним меню «Динамическая характеристика» >"Открыть" и далее «Обработка» >"Сгладить по трем точкам".

13. Аналогично передадим значения в Excelи сохраним массив под именем «Внутренний канал (сглаженная)».

14. Выполним «Обработка» >"Нормировать".

15. Сохраним нормированную динамическую характеристику под именем «Внутренний канал (нормированная)». Исходная, линеаризованная и сглаженная динамические характеристики представлены в табл. 8.

Таблица 8

Значения исходной (Y), линеаризованной (Y1) и сглаженной (Y2) динамической характеристики

16. Чтобы посмотреть графики динамических характеристик, на главной форме калькулятора перейдем в графический режим, выполним меню «Из файла» и, удерживая клавишу Ctrl, откроем ранее сохраненные файлы. Полученные графики представлены на рис. 35.

17. Чтобы вставить графики в документ, выполним меню «Копировать».

18. Откроем какой-нибудь графический редактор, например Paint. В редакторе сделаем необходимые корректировки, в частности пронумеруем графики и далее скопируем рисунок в текстовый редактор. Если посмотреть точки нормированной динамической характеристики, то видно, что в конце характеристики снова появились две одинаковые точки равные 0,99. Это означает, что калькулятор использует грубое округление до двух знаков после запятой.

19. Чтобы устранить этот недостаток на главной форме калькулятора, выполним меню «Настройки».

20. Установим количество разрядов после запятой равное четырем и нажмем кнопку «Установить».

21. Откроем сглаженную динамическую характеристику, нормируем ее и сохраним в файле «Внутренний канал (нормированная 2)». Полученную характеристику будем использовать для получения передаточной функции по внутреннему каналу.

Рис. 35. Графики динамических характеристик. 1 — исходная, 2 — линеаризованная, 3 — сглаженная

Получение передаточной функции по внутреннему каналу

1. Выполним меню «Идентификация» >"Динамическая характеристика" >"Открыть" и откроем файл «Внутренний канал (нормированная 2)».

Рис. 36. Матрица для вычисления коэффициентов

2. Закроем окно с таблицей и выполните меню «Передаточная функция» >"Симою" >"Коэффициенты". В результате выведется окно с дополнительной информацией, представленное на рис. 36.

3. Закроем данное окно. В результате выведется окно с коэффициентами передаточной функции, представленное на рис. 37.

4. Нажмем кнопку «Копировать». Закроем окно и выполним меню «Передаточная функция» «Сохранить» и сохраним файл под именем «Внутренний канал (передаточная)». В результате получили передаточную функцию внутреннего канала:

5. Перейдем на главную форму калькулятора. Нажмем на панели W_Zкнопку «Вставка», либо откроем передаточную функцию из файла, нажав кнопку «Открыть».

6. Установим шаг по времени равный пяти. Нажмем кнопку «Y (t)», перейдем в графический модуль и выполним меню «Текущий». В результате получится график динамической характеристики.

7. Выполним меню «Сохранить» и сохраним файл под именем «Внутренний канал (апрок)».

8. Выполним меню «Открыть» и, удерживая кнопку Ctrl, выберем файлы «Внутренний канал (нормированная 2)» и «Внутренний канал (апрок)». В результате, получим графики, приведенные на рис. 38.

Рис. 37. Передаточная функция по внутреннему каналу

Рис. 38. Графики нормированной (1) и аппроксимированной динамических характеристик

9. Для определения погрешности аппроксимации выполним меню «Идентификация объекта» >"Динамическая характеристика" >"Погрешность" >"Относительная".

10. Удерживая нажатой клавишу Ctr, lоткроем файлы «Внутренний канал (нормированная 2)» и «Внутренний канал (апрок)». В результате в окне с дополнительной информацией выведется максимальная относительная погрешность равная 2,56%.

Итак, полученная погрешность нас устраивает, но проанализируем еще один вариант.

В модуле «Идентификация объекта» откроем файл «Внутренний канал (нормированная)». Заметим, что повторяющихся точек в данном файле теперь тоже нет. Это связано с тем, что мы установили точность расчета, равную четырем знакам после запятой. Вычислим передаточную функцию методом Симою. В результате получим передаточную функцию:

Заметим, что теперь мы получили передаточную функцию первого порядка. Для построения графиков выполним следующие действия:

1. Установим шаг по времени равный пяти.

2. Нажмем кнопку «Y (t)», перейдем в графический модуль и выполним меню «Текущий». В результате получим график динамической характеристики.

3. Выполним меню «Сохранить» и сохраним файл под именем «Внутренний канал (апрок1)».

4. Выполним меню «Открыть» и, удерживая кнопку Ctrl, выберем файлы «Внутренний канал (нормированная)» и «Внутренний канал (апрок1)». В результате, получим графики, приведенные на рис. 39.

Рис. 39. Графики нормированной (1) и аппроксимированной динамических характеристик

Аналогичным образом вычислим относительную погрешность. В результате получим значение 1,03%, что в два раза меньше, чем в предыдущем случае.

Интересно сравнить две аппроксимированные кривые, полученные от наших передаточных функций W2(s)и W2−1(s). Графики данных кривых приведены на рис. 40.

На основании полученных результатов, можно сделать следующие выводы.

Вид передаточной функции в значительной степени зависит как от точности вычислений, так и от последовательности обработки. Поэтому, если вас не устраивает полученная передаточная функция (большой порядок, большие значения коэффициентов и т. д.), попробуйте другую точность или порядок обработки. Можно, например, сначала сгладить динамическую характеристику, а затем производить линеаризацию. Либо произвести сглаживание другим способом, например методом пяти точек.

В нашем случае для дальнейших расчетов принимаем передаточную функцию:

Выбор основан на том, что порядок знаменателя меньше, а также меньше относительная погрешность между нормированной и аппроксимированной кривой.

Рис. 40. Графики аппроксимированных динамических характеристик: 1 — от W2−1(s)и 2 — от W2(s)

Обработка экспериментальной характеристики основного канала

Экспериментальная динамическая характеристика по основному каналу представлена в таблице 9.

Таблица 9.

Экспериментальная динамическая характеристика по основному каналу

Канал имеет чистое запаздывание равное 5 сек.

Как видно из табл. 9, характеристика не имеет повторяющихся точек, поэтому достаточно сгладить (по 3 точкам) и нормировать динамическую характеристику. Графики исходной и сглаженной характеристики приведены на рис. 41.

После нормирования динамической характеристики, сохраним значения в файле «Основной канал (нормированная)».

Рис. 41. Графики исходной и сглаженной динамической характеристики

Получение передаточной функции по основному каналу

1. Выполним меню «Идентификация» >"Динамическая характеристика" >"Открыть" и откроем файл «Основной канал (нормированная)».

2. Закроем окно с таблицей и выполним меню"Передаточная функция"> «Симою» >"Коэффициенты". В результате выведется окно с дополнительной информацией, представленное на рис. 42.

3. Закроем данное окно. В результате выведется окно с коэффициентами передаточной функции, представленное на рис. 43.

Рис. 42. Матрица для вычисления коэффициентов

Рис. 43. Передаточная функция основного канала

4. Нажмем кнопку «Копировать». Закроем окно и выполним меню «Передаточная функция» >"Сохранить" и сохраним файл под именем «Основной канал (передаточная)».

Учитывая, что канал имеет чистое запаздывание, передаточная функция канала будет иметь вид:

Для проверки аппроксимации выполним следующие действия:

1. Перейдем на главную форму калькулятора. Нажмем на панели W_Zкнопку «Вставка», либо откроем передаточную функцию из файла, нажав кнопку «Открыть».

2. Установим конечное время равное 150 и шаг по времени равный 6.