Числовые характеристики случайных величин и векторов

Известно, что случайные величины (векторы) задаются функцией распределения (рядом распределения, плотностью распределения вероятностей). Однако не всегда при решении прикладных задач закон распределения случайных величин (векторов) известен. Оказывается, что в ряде случаев достаточно знание некоторых числовых характеристик случайной величины (вектора), которые в сжатой форме описывают ее наиболее существенные особенности. В этой главе будут рассмотрены некоторые, наиболее часто использующиеся числовые характеристики случайных величин (векторов).

Математическое ожидание

Пусть (П, 2Й, Р) — дискретное вероятностное пространство и 4 — случайная величина, определенная на нем. Если ряд 2 ^((о)р (оз) сходится абсолютно, то его сумма называется.

(оеО математическим ожиданием или средним значением случайной величины? и обозначается ЛТ. Таким образом.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Обозначим через х, i = 1,2,… возможные значения случайной величины ?, и пусть А, = {т: ?,(со,") = х,}. Тогда если Pi = Р{ы : %(со) = х,}, то Так как ряд (3.1) сходится абсолютно, то его члены можно представить в произвольном порядке, поэтому

Таким образом, если — случайная величина, определенная на дискретном вероятностном пространстве, а Х, х₂, …, Xj,… — ее возможные значения и р_х = Р{?, = х_х), то математическое ожидание? равно.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ?, с плотностью распределения вероятностей f (x) называется.

если интеграл сходится абсолютно.

Если ряд (3.1) или интеграл (3.4) не сходятся абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины ^ не существует.

Математическое ожидание допускает следующую интерпретацию: пусть массы р" i = 1,2,…, Хр, — = 1 располагаются на прямой в точках с абсциссами x_ifi= 1, 2,…, тогда абсцисса центра тяжести такой системы равна Ха^/, т. е. математическому ожиданию дискретной случайной величины ?, возможные значения которой x_h i = 1,2,…, и Р{?, = х_г) = р_х. Аналогично математическое ожидание непрерывной случайной величины плотность распределения вероятностей которой /(х), совпадает с выражением для координаты абсциссы центра тяжести массы равной единице и плотностью массы в каждой точке равной f (x).

Математическое ожидание случайной величины ?, обладает следующими свойствами.

Свойство 3.1. Математическое ожидание постоянной с равно самой постоянной, т. е.

Доказательство. Постоянную с можно рассматривать как случайную величину которая с вероятностью, равной 1, принимает значение с. Поэтому

Свойство 3.2. Математическое ожидание случайной величины с?, где с — константа, равно.

Доказательство.

1. Если ?, — дискретная случайная величина, то.

2. Если — непрерывная случайная величина, то.

Свойство 3.3. Пусть (?, j, ^₂…"|") — и-мерный случайный вектор, а случайная величина р = ср (ср, ^₂> |_и) является функцией случайных величин …, Ъ,_п. Тогда.

1) если (^₍, ^2> •••> |_п) ^- дискретный случайный вектор, то.

при условии, что ряд.

абсолютно сходится.

2) если (^, Е,₂> …, |") — непрерывный случайный вектор с плотностью распределения вероятностей f (x_hx₂, …, х"), то.

при условии, что интеграл.

абсолютно сходится.

Доказательство.

1) Будем предполагать, что случайный вектор задан па дискретном вероятностном пространстве (О, 26, Р). Но определению (3.1).

Множества Aj и А] несовместимы при i ^ j и.

Если Мг существует, то это означает, что ряд (3.9) сходится абсолютно и значит, можно переставлять его члены, поэтому.

Так как ряд (3.7) сходится абсолютно, то, проведя в (3.10) выкладки в обратную сторону, мы получим (3.9).

Свойство 3.4. Если существуют М?,_ь М^₂, то существует М (^ + ^₂) и.

Доказательство. Докажем (3.11) для непрерывного двумерного случайного вектора (^ + ^₂) с плотностью распределения вероятностей f (x, y). По определению имеем.

Согласно (3.2).

Свойство доказано.

Аналогично можно доказать (3.11) для дискретных векторов.

($ 1⁺^2).

Свойство 3.5. Если существуют математические ожидания А/^1, Mt, 2 и случайные величины (^, %₂) независимы, то.

Доказательство. Докажем (3.12) для непрерывного случайного вектора ^₂) ^с плотностью распределения вероятностей f (x, y). Так как, но условию случайные величины ^ и ^₂ независимы, то f (x, и) = U.(x)UXit), поэтому.

свойство доказано.

Замечание 3.1. Отметим, что если в (3.11) существуют математические ожидания любых двух случайных величин, то существует математическое ожидание и третьей случайной величины. Аналогичное замечание справедливо и для равенства (3.12).

Замечание 3.2. Отметим, что свойства 3.4 и 3.5 по индукции легко можно обобщить на конечное число случайных величин.

Модой х случайной величины называют ее наиболее вероятностное значение, т. е. значение дискретной случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность, или значение непрерывной случайной величины, в котором плотность распределения вероятностей принимает максимальное значение.

Медианой случайной величины называют такое ее значение х_т, при котором F (x_m) = 0,5.