Формула полной вероятности. 
Формула Байеса

Систему событий Л_1? Л₂, …, Л_п называют полной группой событий, если выполняются условия: 1) А_{ + Л₂ + … + А_п = = U; 2) AjAj = V при i * j. Это значит, что события полной группы попарно несовместны и в результате каждого испытания должно обязательно появляться одно из событий Л,.

я

Обозначим P (Aj) = p_v тогда? Pi = 1;

i=i.

Другой пример. Проводится опыт, состоящий в бросании игральной кости. Пусть Л, — событие, заключающееся в выпадении i очков на верхней грани этой кости, тогда события Л, — попарно несовместны (AjAj = V при i * j) и в результате опыта обязательно должно появиться одно из событий Л, (А_{ + Л₂ + + … + А_п = IP). Значит, события Л₇ составляют полную группу событий, чего нельзя сказать о событиях В_{ — появление герба на первой монете и В₂ — появление цифры на второй монете в опыте, состоящем в одновременном подбрасывании двух монет (этому мешает хотя бы совместность событий В_х и В₂).

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Пусть некоторое событие Л происходит только с каким-нибудь одним из событий Я, Я₂, Я₃, …, Н_п, которые образуют полную группу событий и называются гипотезами. В этом случае событие Л можно представить в виде: А = А 11_х + А Н₂ + + Л • Я₃ + … +Л • Н_/г Отсюда, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что гипотезы попарно несовместны, получим:

которая называется формулой полной вероятности. Используя формулы (6.6) и (6.8), можно получить формулу Байеса (формулу вероятности гипотез):

События полной группы ifj, Н₂, …, Н_п обычно называют гипотезами. Их вероятности были известны до проведения опыта.

Пример 6.21. В районе имеется три кинотеатра. Вероятность того, что Света пойдет в первый кинотеатр, равна 0,5; во второй — 0,3; в третий — 0,2. Вероятность встретить Ирину в одном из этих кинотеатров равна соответственно 0,7; 0,5 и 0,3. Света пошла в кино. Найти вероятность того, что она встретит Ирину.

Решение. Обозначим Л событие, состоящее в том, что Света встретит Ирину в кинотеатре; Н_{ — встреча состоялась в первом кинотеатре; Я₂ — во втором; Я₃ — в третьем. Из условия задачи известно, что Р (Я,) = 0,5; Р (Н₂) = 0,3; Р (Я₃) = 0,2, а также Р_Я)(Л) = 0,7, Р_н.₂(А) = 0,5, Р//_Ч(Л) = 0,3. По формуле (6.8) имеем:

Пример 6.22. Данные из предыдущего примера. Известно, что Света встретила Ирину в одном из кинотеатров. Найти вероятность того, что встреча состоялась в первом кинотеатре.

Решение. Используя полученные выше результаты, по формуле (6.9) находим:

Пример 6.23. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное — шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Решение. Обозначим через Н_х, Н₂, #₃ гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи.

Пусть событие А = {слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи.

По формуле (6.8) получаем.

Решение. Вероятность получить «неуд.» равна Р (А) = 1 — Р (А) = = 1 — 0,58 = 0,42. Требуется вычислить условные вероятности. По формуле (6.9) получаем.

и аналогично.

Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.

Пример 6.25. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой группе из 30 студентов 8 выполнили работу на «отлично», во второй, где 28 студентов, — 6 «отличных» работ, в третьей, где 27 студентов, — 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая выбранная наудачу работа из работ, выполненных в группе, которая также выбрана наудачу, окажется «отличной».

Решение. Имеем три гипотезы: Н_х — выбрана работа из 1-й группы, //₂ — выбрана работа из 1-й группы, #₃ — выбрана работа из 1-й группы. Очевидно, что.

Обозначим искомое событие А — выбрана работа, выполненная на «отлично». Определим, но классической формуле условные вероятности.

Отсюда, но формуле (6.8).

Решение. Пусть событие А = {студент ответил все три вопроса}. Введем систему гипотез:

1/₁ = {студент подготовлен отлично};

Н'2 ⁼ {студент подготовлен хорошо};

#₃ = {студент подготовлен удовлетворительно};

#₄ = {студент подготовлен плохо}.

Находим вероятности гипотез:

Р (Н_{) = 0,3; Р (Н₂) = 0,4; Р (Я₃) = 0,2; Р (Н_А) = 0,1.

Находим условные вероятности события А:

По формуле (6.9) находим.

Ответ: 0,58; 0,002.