Функции выпуклой линейной гомотопии

Следует отметить, что эффективность решения уравнения (6.8) в значительной мере зависит от вида функции g (x).

Существует несколько видов функции выпуклых линейных гомотопий, из которых наиболее часто используют следующие:

— классическая гомотопия, или гомотопия фиксированной точки.

— гомотопия Ньютона

Поскольку общий метод может объединять подметоды различной строгости, рассмотрим последовательность применения различных методов гомотопии в порядке увеличения сложности, обеспечивая таким образом последовательность векторов начальных приближений как следствие применения семейства g (x).

При дальнейшем рассмотрении будем отдавать предпочтение гомотопии Ньютона, поскольку она сохраняет масштабную инвариантность метода Ньютона, сходимость которого не зависит от масштабирования х и / Ниже рассматривается пример применения обеих функций g (x).

Выбор g (x) = /(х) — f (x°) приводит непосредственно к й (*;0 = /(*)-0-')/(*°) — Эта гомотопия часто называется глобальной гомотопией, так как решение ее канонического дифференциального уравнения методом Эйлера без шага коррекции эквивалентно методу Ньютона с демпфирующим фактором, т. е. траектория гомотопии, образованная применением этой функции гомотопии, «глобализирует» метод Ньютона.