Простейшие методы численного интегрирования дифференциальных уравнений

Рассмотрим некоторые простейшие методы численного решения задачи Коши. Далее будем рассматривать только дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной с начальным условием вида.

Задача заключается в том, чтобы найти приближенное решение задачи Коши (7.3) в виде таблицы значений функцииу = = У (х):у₀, УъУ₂, …, у_пдля равноотстоящих узлов х₀, х_ъх₂, …, х_п с шагом h или графически. Есть множество различных численных методов решения этой задачи. Здесь рассмотрим только самые распространенные.

Методы Эйлера

Метод Эйлера является простейшим методом численного решения задачи Коши и основан на следующих формулах:

В формулах (7.4) значения х₀ и у₀ берут из начальных условий (7.3), а остальные значенияУ, у₂, ???, У_п находят последовательно с помощью формул (7.4). Как правило, эти формулы объединяются в одну, которая записывается так:

по Именно в виде (7.5) мы и будем в дальнейшем записывать формулы численных методов решения задачи Коши.

Уточненный метод Эйлера. Хотя метод Эйлера является просто реализуемым, однако он зачастую приводит к большим погрешностям и дает лишь грубое приближение к решению задачи Коши, особенно для быстрорастущих или быстро убывающих функциях.

Меньшими погрешностями обладает уточненный метод Эйлера. Использование его состоит из двух шагов. На первом шаге с помощью обычного метода Эйлера находят значение у] = - Уо + /г/(х₀;Уо) — На втором шаге это значение используется для нахождения остальных значений у₂, Уз, …, у_п по следующей формуле:

Уточненный метод Эйлера при той же простоте позволяет существенно уменьшить погрешность решения.