Свойства дисперсии случайной функции

Используя свойства дисперсии случайной величины, легко получить свойства дисперсии случайной функции.

Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции ф (?) равна нулю:

Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функции Х (!) и неслучайной функции (р(t) равна дисперсии случайной функции'.

Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции Х (?) на неслучайную функцию (p (f) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции:

Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной, а неслучайная функция — постоянной величиной.

Пример. Найти дисперсию случайной функции Х (?) = Usin t, где U — случайная величина, причем D (U) = 6.

Решение. Найдем дисперсию, приняв во внимание, что неслучайный множитель sin t можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

Итак, искомая дисперсия D (t) = 6 sin²1.

Целесообразность введения корреляционной функции

Математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную функцию далеко не полно. Можно привести примеры двух случайных функций, которые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, но поведение которых различно. Зная лишь эти две характеристики, в частности, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений. Для оценки этой зависимости вводят новую характеристику — корреляционную функцию. Далее покажем, что, зная корреляционную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать закон распределения для отыскания дисперсии нет необходимости. Уже это обстоятельство указывает на целесообразность введения корреляционной функции.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем понятие центрированной случайной функции по аналогии с понятием центрированной случайной величины (центрированной случайной величиной называют разность между случайной величиной и ее о.

математическим ожиданием: X — X — т_х).

Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием: