Основные правила логических преобразований
Поскольку «0» может рассматриваться как постоянно разомкнутый контакт, его параллельное включение не изменит работы схемы. Последовательная цепь из двух контактов, нажимаемых и отпускаемых одновременно, ведет себя как цепь с одним контактом. Цепь из двух последовательно соединенных контактов не проводит ток, если не замкнут любой из них или оба вместе. Таким образом, рассмотренная система… Читать ещё >
Основные правила логических преобразований (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В математической логике разработаны правила замены одних логических формул другими, равноценными по результату. Эквивалентность подобных логических соотношений принято обозначать знаком равенства (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Эквивалентные преобразования логических соотношений
Преобразование. | Комментарий. |
Х = Х | Двойное отрицание равносильно утверждению, т. е. если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание. |
н i. и. | Перемена последовательно включенных контактов местами не изменит работы схемы. |
Х{ + х2 = х2 + Х{ | Перемена параллельно включенных контактов местами также не изменит работы схемы. |
х + х = JC | Два параллельно включенных контакта при их одновременном замыкании (размыкании) действуют так же, как один. |
П реобразование. | Комментарий. |
х + 0 = х | Поскольку «0» может рассматриваться как постоянно разомкнутый контакт, его параллельное включение не изменит работы схемы. |
х + 1 = 1. | Параллельно замкнутый контакт говорит о том, что схема не теряет своей работоспособности. |
*. я и. *. | Последовательная цепь из двух контактов, нажимаемых и отпускаемых одновременно, ведет себя как цепь с одним контактом. |
о. II. о. *. | Последовательное включение разомкнутого контакта нарушает работоспособность схемы. |
X • 1 = X | Последовательное включение замкнутого контакта не нарушает работоспособность схемы. |
х + х = 1 | При размыкании одного параллельного контакта одновременно замыкается второй, т. е. цепь всегда замкнута. |
х-х = 0 | Если при замыкании одного последовательного другой одновременно размыкается, то цепь всегда разомкнута. |
хх • (х2 + х3) = хх? х2 + хх • х3 | Схема с двумя параллельными и общим последовательным контактом эквивалентна схеме с двумя параллельно включенными последовательными контактами. |
(.Г,? х2) + А’з = (X, + Х3)(.Г2 +. + *з). | При замыкании параллельным контактом х3 последовательной цепи контактов хх и х2 тот же результат будет получен при подключении параллельных одновременно срабатывающих контактов к каждому из последовательных. |
Хх * X2 = X х + Х2 | Цепь из двух последовательно соединенных контактов не проводит ток, если не замкнут любой из них или оба вместе. |
хх +х2 =х1 •х2 | Цепь двух параллельных контактов разомкнута, если разомкнуты оба этих контакта. |
Из двух последних случаев, в частности, следует, что инверсия произвольной комбинации двоичных переменных, соединенных знаком «плюс» или «умножения», эквивалентна замене в ней переменных их инверсиями при одновременном изменении знака «плюс» на знак «умножение» и наоборот.
Например
Таким образом, оказывается возможным заменять операцию ИЛИ операцией Я, а при необходимости — наоборот.
Имея необходимые элементы, по логической функции можно синтезировать логическое устройство любой сложности. Однако построенная схема может оказаться неоправданно сложной, требующей использования большого числа логических элементов, что может повлиять на стоимость и надежность устройства. Во многих случаях удается так упростить логическую функцию, что соответствующая ей схема устройства оказывается существенно более простой и выполняющей поставленную задачу.
Методы упрощения называют методами минимизации логических функций. Основные из них: метод непосредственного упрощения, применяемый при числе переменных, не превышающем трех; методы Квайна и карт Вейча, применяемые при числе переменных, не превышающем пяти. Эти методы рассмотрены в специализированной литературе.
Процесс упрощения логических формул с целью их минимизации при прямом использовании законов и следствий алгебры логики может быть пояснен следующими примерами.
Пример 5.1
Минимизировать логическую функцию. 
Пример 5.2.
Для системы:
зависимость выходного сигнала от входных хх и х2 запишется в виде уравнения.
Однако тот же результат может быть достигнут и более простой системой:
Таким образом, рассмотренная система эквивалентна одному звену ИЛИ, на вход которого поступают сигналы х2 и Х,