Задачи и упражнения

• 1.1.Докажите законы дистрибутивности и законы дс Моргана. С помощью диаграмм Венна отобразите равенства: XAY =(Х У) u (У X); Х У= Xn Y.
• 1.2.0 (ХАУ) n (X п У) = 0.
• 1.3. Упростите выражения:
  • а) ВпЛпСи (ВиЛиСп (Си (ЛпВ)));
  • б) (ЛиБ)п (Ли ((Л5)п (5Л)));
  • в) АпАпСи (ВиСи (Ви (АпВ))).
• 1.4. При Zc У с X упростите с помощью диаграмм Венна выражение (Х У) и

u (F)u (ZX).

• 1.5. Для множеств X = {a, b, с, d) и У= {b, d, е, v> zv} определите объединение, пересечение, разность, симметрическую разность, декартово произведение. Каковы порядки получившихся множеств? Каковы порядки множеств X⁵; У³;Х²х У⁷?
• 1.6. Универсум Uсодержит п элементов и Хс /У, где |х| =т<�п. Сколько в универсуме имеется подмножеств У таких, что X п У = 0 ?
• 1.7. Сколько подмножеств множества JV₁₀ содержат: элемент 5; элементы 1, 2?

_Л «(123 456 789 10» !

1.8. Функция/: JV₁₀ —" N₁₀ задана таблицей I ₄₆₂46 246 7'.

Сколько различных образов имеют элементов области определения относительно/, сколько различных полных прообразов у всех элементов области значений? Постройте таблицу для ограничения функции/на множество {1,3,5,10}. Обратимо ли построенное ограничение? Обоснуйте ответ.

• 1.9. Обратима ли функция / задачи 1.8? Какое свойство функции /: Х^ У конечных множеств необходимо для обратимости?
• 1.10. Сколько имеется различных подфункций у функции /: —> N7
• 1.11. Пусть f (n) = //, g (n) = (п² — п) / п+ 1, h (n) = (я² — п)/(п — 1); // е Л⁷. Имеются ли равные функции среди/, g, h? Равны ли ограничения функций /(и) и /?(/?) на множествах Х₁₀ и {2,…, 9}?
• 1.12. Совпадают ли тождественные функции множеств Л^{, т}₁₀ и JV₉?
• 1.13. Обратима ли функция f :N—> N вида: f (n) = n+;f:Z->Z вида: f (n) = п+ 1? Если да, то укажите обратную функцию.
• 1.14. Найдите число преобразований //-множества, имеющих ровно к неподвижных элементов.
• 1.15. У скольких преобразований множества {1,…, //} неподвижным является «1»; «1» и «2»?

• 1.16. Определите степень многочлена:
  • а) х^п-х^]0у²;
  • б) x⁷y³z — xⁱy² + 2г⁵г/⁴г³;
  • в) (л:¹¹ — х^юу²)(х⁷у³г — х^лу² + 2х^Г)у^Аг³) — 2x^{5y^ez².
• 1.17. При | Л | = «, I В =т и В с Л сколько имеется различных множеств С, где ВсСсЛ?
• 1Л8. Сколько имеется упорядоченных пар чисел различной четности, взятых из {1,…,"}?
• 1.19. Сколько преобразований «-множества имеют число неподвижных точек 1;
• 2; «- 2;» — 3?
• 1.20. Определите в «-множестве:
  • а) число подмножеств мощности не меньше т и не больше г, где т<�г<�п
  • б) число пар непересекающихся непустых подмножеств.
• 1.21. Каково число различных отображений «-множества в /"-множество?
• 1.22. Хозяева пригласили па обед 10 гостей. Во скольких различных составах могут собраться приглашенные гости, если: две приглашенные дамы отказались прийти; один гость заверил, что обязательно явится; одна пара супругов наносит визиты только вместе.
• 1.23. Во время дискуссии восьми человек мнения по вопросу разошлись, и собравшиеся разделились на две группы. Сколько имеется возможных вариантов состава первой группы, если по численности первая группа превосходит вторую не менее чем в два раза?
• 1.24. Определите число натуральных чисел, нс превосходящих 1000 и нс делящихся ни на одно из чисел:
  • а) 3, 5, 7;
  • б) 6,10,15.
• 1.25. Сколько чисел, не превосходящих 10⁴, не делится па 5, на 9, на 15, на 18?
• 1.26. Сколько чисел из интервала [100, 700] взаимно просты с 5,8, 14, 20?
• 1.27. При записи на спецкурсы Л, Б, В записались: на А — 60% студентов; на Б — 50%; на В — 50%; на Л и Б — 30%; на Б и В — 20%; на Л и В — 40%; на А, Б, В — 10%. Сколько процентов студентов: не посещают спецкурсы; посещают два спецкурса; не менее двух спецкурсов?
• 1.28. <] (математическая индукция), что I³ + 2³ +… + «³ = (1 + 2 +… + «)² при «> 1.
• 1.29. В городе «светофоров, каждый горит либо желтым, либо красным, либо зеленым светом. Сколькими способами можно зажечь все светофоры?
• 1.30. Вычислите числа размещений и сочетаний: Лр₀; Л^; Л/₇; С]?, Cj³₄, С|.
• 1.31. Докажите бином Ньютона (математическая индукция) и формулы при 0 < :

• 1.32. Найдите суммы:
  • а) 12*С*;

к=0

б) ?/г2.

k=0

В) S (-2)*(*> +1)¹⁵" *с*₅.

• *=о
• 1.33. Вычислите ?(г-1)*С$ и ?(С$)².

к=0 к=0.

• 1.34. < a) C*Ci=CjCEf;
• б) С% + С‘₊₁ +… + С*_+к = C%_+k+t;

в) X Kk ~ = п (п — 1)2^Я₂.

k=0

• 1.35. Найдите все рациональные члены разложения бинома:
  • а) $ 3 + V2) i5;
  • б) ф + S)'¹.
• 1.36. Чему равно число различных строк из нулей и единиц длины 13, в которых на нечетных местах расположены нули?
• 1.37. Сколько имеется 7-значных телефонных номеров, состоящих из цифр 6, 7, 8, 9?
• 1.38. Сколько имеется различных 7-значных телефонных номеров с первой цифрой 1, 3 или 7?
• 1.39. Сколькими способами можно выбрать четыре карты разных мастей из колоды в 36 карт?
• 1.40. В премьер-лиге первенства России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали?
• 1.41. Найдите число способов размена 1 рубля в советской монетной системе.
• 1.42. Умножьте:
  • а) (212)₃ на (122)₃;
  • б) (422)₇ на (156)₇.
• 1.43. Разделите:
  • а) (40 122)₇ на (126)₇;
  • б) (ABCD)₁₆ на (9Е7),_б.
• 1.44. Перемножьте двоичные числа 101 101 и 11 001 и разделите 10 011 001 на 1011.
• 1.45. Запишите число е = 2,7 182 818: а) в двоичной системе с пятью знаками после занятой;
• б) по основанию 26 с тремя знаками после запятой.
• 1.46. Оцените в двоичных операциях порядок трудоемкости вычисления:
  • а) числа 3^я;
  • б) П^Пу
  • в) числа/г!;
  • г) биномиального коэффициента С'" ;
  • д) значения f (n) для действительного многочлена Дх) = а₀ + а_хх + … +
  • е) 6-ичного представления для^{-разрядного} двоичного числа;
  • ж) обеих частей равенства I² + 2² + … + п² = п (п + 1)(2п +1)/6.