Линейные уравнения и матрицы, их расчет

Контрольная работа

По дисциплине: Высшая математика

Задание 1.

Даны матрицы, А и В. Найти: А В, В А, 2А^т + В, А — 3В^т.

А =, В =

= = ;

= = ;

А =, А^{т =}, 2А^т =

+ = ;

В =, В^т =, 3В^т =

— =

Задание 2.

Вычислить определитель матрицы А:

а) по первой строке;

б) по третьему столбцу

А =

а) = 1 + (-1) + 3 = 1(4 — (-10)) — 1(0 — (-4)) + 3(0 — 8) = 14 — 4 — 24 = -14. = -14.

б) = 3 + (-2) + 1 = 3(0 — 8) — 2(5 — (-2)) + 1(4 — 0) = -24 — 14 + 4 = -34. = -34.

Задание 3.

Решить систему линейных уравнений АХ=В:

а) Методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) с помощью обратной матрицы.

А =, В =

а) x₁ + 2x₂ — x₃ = -3

2x₁ — x₂ + x₃ = 5

x₁ — 2x₂ — 2x₃ = -1

x₁ = 1

x₂ = -1

x₃ = 2

б) x₁ + 2x₂ — x₃ = -3

2x₁ — x₂ + x₃ = 5

x₁ — 2x₂ — 2x₃ = -1

= = 1 (-1) (-2) + 2 1 1 + 2 (-2) (-1) — 1 (-1) (-1) — 2 2 (-2) — (-2) 1 1 = 17;

₁ = = 17; ₂ = = -17; ₃ = = 34.

х₁ = = = 1; х₂ = = -= -1; х₃ = = = 2.

x₁ = 1

x₂ = -1

x₃ = 2

в) А^-1 = ;

Х = А^-1 В = = ;

x₁ = 1

x₂ = -1

x₃ = 2

Задание 4.

Вычислить предел, не используя правило Лопиталя.

;

L =;

неопределенность типа .

Умножим и разделим данное выражение на сопряженное:

;

L = =

= ;

Делим числитель и знаменатель на x:

L== = .

Задание 5.

Вычислить производные функций:

а) y =;

y' = =

=

.

б) y = ln (1-x+e^2−3x);

y' = .

Задание 6.

Исследовать функцию и построить ее график.

y = ;

1) при x = 0, y =-3; y = 0, при 4x² = 3, т. е. x_1,2 = ±

2) знаменатель x + 1 = 0, при x = -1.

3) y' =; y' = 0 там где x²+2x+= 0, т. е. при x_1,2 = -1 ± = -1±;

x₁ = -, x₂ = -.

Исследуем y (x) на монотонность, составим таблицу:

4) наклонная y_a = xb;

k = = = = 4

b = (y (x) — kx) = = 0,

y_a = 4x.

5) Построим график

y" = 0; перегибов нет, знак меняется в точке x = -1

выпуклость -1 вогнутость

Задание 7

матрица уравнение функция предел

Найти частные производные второго порядка функции многих переменных

u = ln (x² + y — 2z);

;; ;

Задание 8

Вычислить неопределенные интегралы

1) = .

2) ;

или

3); выделить в числителе группу

и

4) по формуле

тогда

т. е.

Задание 9.

Вычислить определенные интегралы

=

Задание 10.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

или и

Точки пересечения линий найдем из решения уравнения:

x₁ = 0, x₂ = 4

Построим график

S =

;

S = .