Компьютерное моделирование конвейера по изготовлению шестерен

Аннотация

В данной курсовой работе рассматривается процесс функционирования системы массового обслуживания (СМО) на примере конвейера по изготовлению шестерен. В ходе выполнения курсовой работы была промоделирована работа конкретной СМО на ЭВМ с использованием специализированного языка моделирования систем общего назначения GPSS. С помощью компьютерной модели СМО были получены характеристики процесса работы СМО, ее основные параметры (такие как длины возникших очередей, время обработки заданного количества деталей, загруженность обрабатывающих устройств и др.). Полученные результаты проверены математически и на основе результатов моделирования предложены меры по улучшению показателей эффективности СМО.

• 1. Описание моделируемой системы
• 1.1 Описание и формализация системы
• 1.2 Построение программы моделирования
• 2. Математическая модель заданной СМО
• 3. Результаты моделирования системы и их анализ
• 4. Описание возможных улучшений в работе системы
• Заключение
• Список литературы
• Приложения

Моделирование на сегодняшний день является самым распространенным и мощнейшим средством изучения объектов, явлений и процессов реального мира. Моделирование совершенно необходимо в случаях, когда изучать реальные объекты и процессы непосредственно затруднительно или практически невозможно и существенно упрощает и удешевляет разработку и оптимизацию сложных и дорогих систем.

Отличительная черта моделирования — выделение основных свойств системы, интересующих разработчиков и исследователей, и их оценка (качественная и количественная) с учетом варьируемых поправок и ограничений. Именно это обстоятельство делает моделирование основным и необходимым этапом в разработке любых систем и изучении процессов и явлений реального мира.

Существует много способов и методов моделирования, наиболее дешевым и исторически основным из которых является математическое моделирование. Любая модель может быть формализована и изучена с помощью того или иного математического аппарата или метода. С появлением ЭВМ математические модели стали применяться практически во всех задачах моделирования, но появилась и альтернатива — имитационное моделирование, позволяющее на основе исходных заданных характеристик системы имитировать ее поведение во времени и получать необходимые характеристики. Имитационное моделирование дает наилучшие по точности результаты если моделируемая система имеет неопределенный или вероятностный характер, поскольку просчитать математически все возможные варианты поведения системы задача крайне трудоемкая или невыполнимая, а использование в расчетах средних значений дает крайне неточные результаты. Системы массового обслуживания — одни из примеров систем вероятностного (стохастического) характера, поэтому применение имитационного моделирования к анализу этих систем дет наилучшие результаты и вместе с тем малые затраты времени, средств и машинных ресурсов.

Для решения подобных задач на ЭВМ разработано несколько специализированных языков имитационного моделирования высокого уровня, в том числе GPSS. Эта система моделирования позволяет смоделировать и оценить характеристики любой конкретной СМО. В частности, в данной работе был промоделирован процесс конвейерной обработки шестерен, представляющий собой двухфазную СМО с ожиданием и бесконечной очередью, произведена оценка основных показателей данной СМО, на основании этих показателей предложены меры по улучшению эффективности работы СМО.

1. Описание моделируемой системы

1.1 Описание и формализация системы

На участке термической обработки производится цементация и закаливание шестерен, поступающих через 10±5 минут. Цементация занимает 10±6 минут, а закаливание 10±7 минут. Качество определяется суммарным временем обработки. Шестерни с суммарным временем обработки больше 25 минут принимаются, а с временем обработки меньше 25 минут должны пройти повторную обработку.

Необходимо:

Смоделировать процесс обработки 400 шестерен;

Определить вероятность повторения полной обработки;

При выходе продукции без повторной обработки менее 90%, предложить мероприятия, обеспечивающие выход качественной продукции более 90%.

На основании задания построим структурную схему системы. Из описания системы вытекает, что данная система представляет собой многофазную систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием (т.е. допускается существование очередей к каналам обслуживания). В системе присутствует два последовательно соединенных канала обслуживания (Один выполняет цементацию, другой — закаливание), а также допускается существование очередей к обоим каналам. На выходе детали с конвейера проверяется время ее обработки, и деталь, не прошедшая тест (т.е. с временем обработки меньше 25 мин) возвращается в начало для повторной обработки.

Структурная схема системы представлена на рисунке 1.1.1

Рисунок 1.1.1 — Структурная схема СМО

Рассмотрим функционирование системы более детально и составим временную диаграмму работы системы. Данная система функционирует следующим образом: очередная поступившая шестерня сначала должна пройти цементацию, при этом она поступает в канал обслуживания 1, если он свободен или ожидает в очереди, пока он не освободится. После обработки в канале 1 шестерня попадает либо непосредственно в канал 2, если канал свободен, либо в очередь на обслуживание в канале 2. Обработанная шестерня должна пройти контроль качества на выходе, и если она его не проходит, возвращается в конец очереди к каналу 1. Поскольку известен интервал времени поступления заявок и интервалы времени обслуживания их в каждом канале, можно построить временную диаграмму функционирования системы, представленную на рисунке 1.1.2.

На рисунке 1.1.2 введены следующие обозначения:

t1. t7 — время поступления заявок.

Цифры 1.5 — номер соответствующей заявки, позволяющий проследить процесс обслуживания заявки во времени.

t ож. — время ожидания данной заявки в очереди.

t обсл. — время обслуживания заявки в канале.

Очередь1 — очередь на обслуживание в канале 1.

Очередь2 — очередь на обслуживание в канале2.

Рисунок 1.1.2 — Временная диаграмма работы СМО

Теперь, когда мы имеем детальную концептуальную модель системы и характеристики ее работы во времени, необходимо формализовать модель для моделирования на ЭВМ. Для формализации СМО, как непрерывно-стохастических процессов используют графическую нотацию, называемую Q-схемой, которая отражает состав и структуру данной СМО. Соответствующая рассмотренной СМО Q-схема приведена на рисунке 1.1.3.

Рисунок 1.1.3 — Q-схема рассматриваемой СМО

На приведенной Q-схеме введены следующие обозначения:

И — источник заявок (входной поток заявок);

О1 — очередь на обслуживание в канале 1;

К1 — канал обслуживания № 1;

О2 — очередь на обслуживание в канале 2;

К2 — канал обслуживания № 2;

1 — ключ, открыт, если суммарное время обработки транзакта больше 25 минут и если транзакт прошел обработку дважды, закрыт в противном случае;

2 — ключ, открыт, если суммарное время обработки транзакта меньше 25 минут.

1.2 Построение программы моделирования

После формализации задачи необходимо построить блок-схему работы программы моделирования. Известно [1], что существует две разновидности схем моделирующих алгоритмов: обобщенная (укрупненная) схема, задающая общий порядок действий, и детальная схема, содержащая уточнения к обобщенной схеме.

Алгоритм решения задачи не является сложным, так как каждому блоку соответствует один исполняемый оператор выбранного языка программирования GPSS World (см. текст программы), а значит, не требует какой-либо детализации в виде детальной схемы алгоритма.

Необходимо отметить, что данную задачу можно решить с приемлемой точностью только методом имитационного моделирования. Для решения одним из аналитических методов, базирующихся на теории массового обслуживания, необходимо в качестве входных параметров взять среднестатистические значения данных параметров, что в лучшем случае скажется на точности полученных результатов, а в худшем даст неверный результат или решение вообще не будет найдено, т.к. аналитический метод не позволяет учесть мгновенные характеристики системы в конкретный момент времени.

Обобщенная схема моделирующего алгоритма данной задачи, построенная с использованием «принципа t», представлена на рис. 1.2.1.

После построения общей блок-схемы алгоритма моделирования построим блок-диаграмму для составления программы моделирования на языке GPSS. Блок-диаграмма позволяет представить систему в виде отдельных блоков, соединенных направленными связями. Каждый блок представляет собой конкретный оператор системы. Блок-диаграмма системы представлена на рисунке 1.2.2 На основании блок-диаграммы составим программу моделирования системы и оценим полученные результаты. Листинг программы на языке моделирования GPSS представлен в приложении 1.

Рисунок 1.2.1 — Укрупненная блок-схема алгоритма моделирования

Рисунок 1.2.2 — Блок-диаграмма системы

2. Математическая модель заданной СМО

По заданию, необходимо оценить вероятность повторения полной обработки шестерен. Как известно, вероятность события определяется как отношение количества благоприятных событию исходов к числу всех исходов испытания. В данной задаче благоприятным для повторения обработки шестерен являются исходы, при которых суммарное время обработки меньше 25 минут.

Поскольку шестерни обрабатываются в первом канале (цементируются) 10±6 минут, то всего существует 13 вариантов времени обработки первым устройством (от 4 до 16 минут). Во втором канале шестерни обрабатываются (закаливаются) 10±7 минут, т. е. существует 15 вариантов (от 3 до 17 минут) времени закаливания. Тогда всего существует 13*15=195 вариантов обработки деталей на двух каналах. То есть число всех исходов 195.

компьютерное моделирование конвейер шестерня Представим все возможные значения времени обработки детали в первом канале в виде множества Т1={x є N | x є {4.16}}.

Аналогично, все возможные значения времени обработки детали во втором канале есть множество Т2={x є N | x є {3.17}}.

Определим число благоприятных исходов (при которых суммарное время обработки меньше 25 минут). Рассмотрим случай, когда шестерня обрабатывается в первом канале максимальное время, т. е.16 минут. Определим, каким должно быть время обработки детали во втором канале, чтобы суммарное время обработки равнялось 25 минутам: 16+х=25; х=9. Следовательно, число решений неравенства х<9 (1) на множестве Т2 есть число благоприятных исходов для варианта t1=16 из множества Т1. Неравенству 1 на множестве Т2 удовлетворяет 6 членов Т2. (от 3 до 8 включительно). Если шестерня обрабатывается в первом канале 15 минут, то неравенству 1 на множестве Т2 удовлетворяют 7 членов Т2 (от 3 до 9 включительно). При времени обработки в первом канале, равном 14 минутам, получим 8 благоприятных событию исходов, и так далее, пока не будет достигнуто условие, что неравенство x+y<25, x є T1, y є T2 выполняется при любом y є T2. Это условие выполняется, когда х=7 є Т1, поскольку 7+17=24<25, a 8+17=25. Таким образом, при времени обработки в первом канале меньше 8 минут (от 4 до 8 мин.) все шестерни будут проходить повторную обработку и тогда число благоприятных этому событию исходов будет постоянно равно 15.

Для определения вероятности повторной обработки необходимо просуммировать число благоприятных этому событию исходов для каждого времени обработки в канале 1. Как видно из рассуждения, приведенного выше, сумма благоприятных исходов представляет собой арифметическую прогрессию со знаменателем 1, первый член которой равен 6 и последний 15, содержащую 10 членов, и трех дополнительных событий (для времени обработки в первом канале 4,5,6 мин.), каждое из которых содержит 15 благоприятных исходов. Так как сумма арифметической прогрессии находится по формуле: s= ((a1+an) *n) /2; где а1-первый член прогрессии, аn-последний, n-число членов, то получим следующую формулу для нахождения общего числа благоприятных исходов:

S= ((6+15) *10) /2+3*15=150.

Найдем вероятность повторной обработки шестерни: Р=150/195=0,77.

Таким образом получим, что лишь 23% шестерен обслуживаются без повторения обработки. По заданию необходимо добиться, чтобы более 90% шестерен обслуживались без повторения обработки. Для этого необходимо увеличить время обработки в обоих каналах и уменьшить разброс времени обработки. По результатам моделирования можно подобрать параметры таким образом, чтобы получить максимальную эффективность при минимальных изменениях первоначально заданных параметров.

3. Результаты моделирования системы и их анализ

После описания программы на языке GPSS и ее запуска на выполнение, система моделирования выдает результаты моделирования в виде текстового отчета, содержащего статистику и основные показатели работы данной системы.

Отчет о выполнении программы имеет вид:

START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES

0.000 7277.055 22 2 0

NAME VALUE

BYE 22.000

CEM 10 001.000

OM 3.000

PTIME 10 000.000

ZAK 10 002.000

LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

1 GENERATE 400 0 0

2 ASSIGN 400 0 0

OM 3 QUEUE 718 0 0

4 SEIZE 718 0 0

5 DEPART 718 0 0

6 ASSIGN 718 0 0

7 ADVANCE 718 0 0

8 ASSIGN 718 0 0

9 RELEASE 718 0 0

10 QUEUE 718 0 0

11 SEIZE 718 0 0

12 DEPART 718 0 0

13 ASSIGN 718 0 0

14 ADVANCE 718 0 0

15 ASSIGN 718 0 0

16 RELEASE 718 0 0

17 ASSIGN 718 0 0

18 TEST 718 0 0

19 TEST 400 0 0

20 ASSIGN 318 0 0

21 TRANSFER 318 0 0

BYE 22 TERMINATE 400 0 0

FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

CEM 718 0.978 9.916 1 0 0 0 0 0

ZAK 718 0.996 10.090 1 0 0 0 0 0

QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY (0) AVE. CONT. AVE. TIME AVE. (-0) RETRY

1 209 0 718 2 107.354 1088.055 1091.094 0

2 21 0 718 2 12.957 131.319 131.686 0

В данном отчете число напротив блока TRANSFER в колонке ENTRY COUNT есть число шестерен, отправленных на повторную обработку и равно 318. Общее число шестерен в системе равно 400. Найдем вероятность повторной обработки по данным имитационного моделирования системы:

Р=318/400=0,795.

Сравнивая полученный результат с рассчитанным математически в пункте 2 (Р=0,77) можно сделать вывод о небольшом расхождении. Это расхождение можно объяснить на основании закона Бернулли, то есть при увеличении начального количества шестерен, подлежащих обработки, вероятность повторной обработки будет приближаться к вычисленной математически величине.

4. Описание возможных улучшений в работе системы

Как было отмечено в разделе 2, чтобы уменьшить вероятность повторной обработки (менее 10%), необходимо увеличить среднее время обработки в каждом из каналов. При этом возможно два варианта:

Оставить разброс времени обработки первоначальным, но значительно увеличить среднее время обработки.

Уменьшить разброс времени обработки на обоих устройствах, незначительно увеличив среднее время обработки.

Моделирование показывает, что вероятность повторной обработки снижается до заданной величины (Р<10%), при следующих значениях времени обработки на обоих каналах в соответствии с представленными вариантами:

Приведенные в таблице значения являются минимально отличными от заданных первоначально, при которых выполняется условие Р<0.1.

Листинг модифицированной программы представлен в приложении 2.

Чтобы избежать появления больших очередей к устройствам можно также увеличить среднее значение времени поступления шестерен.

Заключение

В ходе работы была рассмотрена система массового обслуживания на примере конвейера по обработке шестерен, в которой шестерни обрабатываются последовательно на двух устройствах, причем, если суммарное время обработки шестерни меньше 25 минут, шестерня обрабатывается повторно. Работа данной СМО была промоделирована на ЭВМ с помощью языка имитационного моделирования GPSS. По заданию необходимо рассчитать вероятность повторной обработки шестерен и принять меры по ее уменьшению до 10%. Вероятность повторной обработки была рассчитана математически по начальным данным о системе, а затем рассчитана по результатам имитационного моделирования. Значения вероятности, рассчитанные двумя способами близки, но отличаются сотыми долями. Отличие можно обосновать на основе теоремы Бернулли. В ходе расчета и моделирования получили, что вероятность повторной обработки с первоначально заданными параметрами СМО равна 79%. В ходе анализа результатов было показано, что для уменьшения вероятности повторной обработки необходимо увеличить среднее время обработки шестерен в обоих каналах, причем возможно значительно увеличить среднее время обработки, оставив разброс значений первоначальным, либо незначительно увеличить среднее время обработки, уменьшив разброс значений. Выбор того или иного способа модернизации первоначальной системы будет зависеть от реальных характеристик системы и возможностей по ее модернизации.

1. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. — М.: Высш. шк., 1995.

2. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М.: Радио и связь, 1972.

3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. Практикум. — М.: Высш. шк., 1999.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.

Приложения

Приложение 1

Листинг программы моделирования на языке GPSS:

10 SIMULATE

20 PTIME FVARIABLE (P2-P1) + (P4-P3)

30 GENERATE 10,5,400

40 ASSIGN 6,1

50 OM QUEUE 1

60 SEIZE CEM

70 DEPART 1

80 ASSIGN 1, AC1

90 ADVANCE 10,6

100 ASSIGN 2, AC1

110 RELEASE CEM

120 QUEUE 2

130 SEIZE ZAK

140 DEPART 2

150 ASSIGN 3, AC1

160 ADVANCE 10,7

170 ASSIGN 4, AC1

180 RELEASE ZAK

190 ASSIGN 5, V$PTIME

200 TEST NE P6,2,BYE

210 TEST L P5,25,BYE

220 ASSIGN 6,2

230 TRANSFER, OM

240 BYE TERMINATE 1

250 START 400

Приложение 2

Листинг оптимизированной программы (Вариант1):

10 SIMULATE

20 PTIME FVARIABLE (P2-P1) + (P4-P3)

30 GENERATE 10,5,400

40 ASSIGN 6,1

50 OM QUEUE 1

60 SEIZE CEM

70 DEPART 1

80 ASSIGN 1, AC1

90 ADVANCE 17,6

100 ASSIGN 2, AC1

110 RELEASE CEM

120 QUEUE 2

130 SEIZE ZAK

140 DEPART 2

150 ASSIGN 3, AC1

160 ADVANCE 17,7

170 ASSIGN 4, AC1

180 RELEASE ZAK

190 ASSIGN 5, V$PTIME

200 TEST NE P6,2,BYE

210 TEST L P5,25,BYE

220 ASSIGN 6,2

230 TRANSFER, OM

240 BYE TERMINATE 1

250 START 400

Листинг оптимизированной программы (Вариант2):

10 SIMULATE

20 PTIME FVARIABLE (P2-P1) + (P4-P3)

30 GENERATE 10,5,400

40 ASSIGN 6,1

50 OM QUEUE 1

60 SEIZE CEM

70 DEPART 1

80 ASSIGN 1, AC1

90 ADVANCE 14,2

100 ASSIGN 2, AC1

110 RELEASE CEM

120 QUEUE 2

130 SEIZE ZAK

140 DEPART 2

150 ASSIGN 3, AC1

160 ADVANCE 14,2

170 ASSIGN 4, AC1

180 RELEASE ZAK

190 ASSIGN 5, V$PTIME

200 TEST NE P6,2,BYE

210 TEST L P5,25,BYE

220 ASSIGN 6,2

230 TRANSFER, OM

240 BYE TERMINATE 1

250 START 400