Квантовая физика

Министерство образования и науки Украины

Приазовский государственный технический университет

Кафедра физики

Доц. Савинков Н.А.

Квантовая физика

МАРИУПОЛЬ, 2003

УДК 530.145 (075)

Квантовая физика. Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов. Составитель доцент Савинков Н. А. — Мариуполь: ПГТУ, 2003 — 93 с. с ил.

Квантовая физика — учебно-методическое пособие по курсу общей физике (раздел ``Квантовая физика'') предназначено для самостоятельного изучения студентами теоретического материала по вышеназванному разделу. Содержит также подробно разобранные примеры решения задач по темам этого раздела. Поэтому рекомендуется также к использованию при выполнении модульной расчётно-графической работы. Пособие рассчитано на студентов всех специальностей как очной, так и заочной форм обучения.

Рецензент: доцент Буланчук О.Н.

Утверждено на заседании кафедры физики.

Протокол № 6 от 18 декабря 2002 г.

Предисловие

Пролог

§ 1.Как зарождалась квантовая физика

1.1 Излучение чёрного тела

1.2 Проблема теплового излучения

1.3 Оптическая пирометрия

1.4 Формула Планка. Квантовая гипотеза Планка

§ 2.Квантовые свойства электромагнитного излучения

2.1 Гипотеза световых квантов. Опыт Боте. Фотоны

2.2 Внешний фотоэлектрический эффект и невозможность его классического описания

2.3 Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Практические применения фотоэффекта

2.4 Эффект Комптона

Примеры решения задач

§ 3.Элементы квантовой механики

3.1 Корпускулярно-волновой дуализм материи. Формула де-Бройля

3.2 Экспериментальное подтверждение волновых свойств вещества. Дифракция микрочастиц

3.3 Применения волновых свойств частиц. Электронои нейтронография

3.4 Соотношения неопределённостей Гейзенберга

3.5 Границы применимости классической физики. Оценки некоторых микросостояний с помощью соотношения неопределённостей

Примеры решения задач

3.6 Состояние частицы в квантовой теории. Амплитуда вероятностей. Волновая функция и её статистический смысл

3.7 Основная задача квантовой механики. Временное и стационарное уравнения Шредингера

3.8 Принцип причинности в квантовой механике

3.9 Движение свободной частицы — квантово-механическое описание

3.10 Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме

3.11 Принцип соответствия

3.12 Прохождение частицы под и над потенциальным барьером. Туннельный эффект

3.13 Линейный гармонический осциллятор

Примеры решения задач

Предисловие

Цель настоящего учебно-методического пособия — оказать помощь студентам в изучении весьма сложного раздела курса общей физики—квантовой физики. Из опыта общения со студентами автора этого пособия видна трудность восприятия таких понятий как волны де-Бройля, соотношения неопределённостей, волновая функция и других. Материал основан на лекциях, читаемых автором на кафедре физики ПГТУ. При изложении теоретического материала автор стремился сконцентрировать внимание читателя на основных законах квантовой физики и, в частности, на вопросах наиболее трудных для понимания и восприятия. Эти вопросы автор стремился изложить более подробно, чем в лекциях и, по возможности более доступным языком, чем в учебниках. В отличии от лекций приведено больше технических приложений, например, рассмотрены работа электронного микроскопа, фотоэлектронного умножителя и т. д. В пособии излагаются все лекционные вопросы, выносимые обычно автором на самостоятельную работу студентам.

В пособии кроме теоретического материала, дано большое количество типовых (а также повышенной сложности) задач с решениями. Произведён подробный разбор этих задач. Задачи тесно связаны с основным текстом, часто являются его развитием и дополнением.

Таким образом, автор надеется, что пособие поможет студентам не только при освоении теоретического материала, но и при выполнении семестровой расчётно-графической работы по модулю «Квантовая физика».

Пособие рассчитано на студентов всех специальностей, изучающих физику в ПГТУ.

Автор.

Пролог

Всё, что вы изучали по физике в течение двух предыдущих семестров, относится к старой или классической физике, которая господствовала до начала ХХ века. В первой половине ХIХ в физике преобладал механистический взгляд на мир. Блестящие успехи ньютоновской физики и астрономии принесли веру в то, что законы этой механики управляют движением всей Вселенной и являются основными законами природы. Физики применили механику Ньютона и к описанию непрерывного движения жидкостей и газов, а также колебаниям упругих тел. И вновь—успех. Наконец, даже теорию теплоты удалось свести к механике, когда выяснилось, что теплота-это энергия сложного хаотического движения молекул.

С середины ХIХ века началось исследование электрических и магнитных явлений. Когда Фарадей поднёс магнит к катушке медного провода и тем самым вызвал в ней импульс электрического тока, преобразовав механическую работу в электрическую энергию, в науке и технике наступил исторический перелом. Фундаментальные работы Фарадея и Максвелла привели к созданию к концу ХIХ века полной теории электромагнетизма называемой в настоящее время электродинамикой. Вершиной этой теории было осознание того, что свет—не что иное, как переменное электромагнитное поле высокой частоты, распространяющееся в пространстве в форме волн.

Таким образом, стройное здание классической физики было завершено к началу ХХ века. Физики располагали двумя признанными теориями, каждая из которых объясняла свою часть природных явлений: механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла. Казалось, что физика завершена. Лишь небольшие частные проблемы оставались в физике, например, теоретическое описание спектра излучения абсолютно чёрного тела. Попытки решения этой маленькой частной проблемы привели в начале ХХ века к целому ряду громких открытий, которые потрясли основы классической физики и дали начало новой квантовой физики. В. Гейзенберг писал: «Бурную реакцию учёных на последние открытия современной физики можно объяснить: эти открытия сотрясают основы физической науки, и возникает ощущение потери почвы под ногами.»

Итак, вы приступаете к изучению основ квантовой физики— науки о строении и свойствах объектов и явлений микромира. Квантовая физика—самое выдающееся творение ХХ века. Многочисленные её технические приложения изменили облик нашей цивилизации. Основные её положения были разработаны в 20-х годах ХХ века выдающимися физиками М. Планком, Л. де-Бройлем, Э. Шредингером, В. Гейзенбергом, П. Дираком, В. Паули, П. Эренфестом и др. В настоящее время квантовая физика стала привычной, но она не стала от этого менее удивительной. И в этом вы убедитесь сами.

§ 1. Как зарождалась квантовая физика

1.1 Излучение чёрного тела

В зависимости от природы источников различают виды излучения. Нас будет интересовать тепловое излучение. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе излучением, происходит за счёт преобразования внутренней энергии тела (т.е. энергии теплового движения атомов и молекул) в излучение. Это излучение занимает особое место среди других видов излучения.

Тепловое излучение — это единственный вид электромагнитного излучения, которое может находиться в состоянии термодинамического равновесия со своим излучателем, то есть с тем телом, которое излучает.

Одной из важнейших задач физики конца XІX века было экспериментальное и теоретическое исследование теплового излучения «абсолютно чёрного тела «.

Абсолютно чёрное тело (или чёрное тело) — это объект, который полностью поглощает всё падающее на него излучение независимо от направления падающего излучения, его спектрального состава и поляризации, ничего не отражая и не пропуская.

Представим себе ящик (или полость) с абсолютно непроницаемыми стенами (рис. 1). Внутрь ящика помещено нагретое тело. Стенки ящика обладают свойствами полностью отражать падающее на него излучение (коэффициент отражения с=1).

Рис.1

Если внутри полости будет вакуум, то тело и стенки ящика будут обмениваться энергией только путём испускания и поглощения электромагнитных волн. В результате многократных испусканий и поглощений электромагнитного излучения плотность энергии излучения в полости достигает определённой величины, соответствующей установившейся температуре. Это излучение и будет называться равновесным или излучением абсолютно чёрного тела (или чёрным излучением). Характер этого излучения не зависит от размеров и формы ящика и свойств, находящихся внутри ящика тел, а зависит только от температуры. Поэтому можно говорить о температуре самого излучения в полости. Равновесное излучение в полости можно исследовать, проделав в стенке полости небольшое (чтобы не нарушить равновесие) отверстие.

Для дальнейшего рассмотрения проблем излучения абсолютно чёрного тела, с которыми столкнулась классическая физика конца XІX века, рассмотрим некоторые количественные характеристики теплового излучения Энергетическая светимость нагретого тела RT — это энергия излучения с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени во всём интервале частот (или длин).

RT=

Спектральной характеристикой теплового излучения является лучеиспускательная способность (спектральная плотность энергетической светимости) — rн, T — это энергия излучения с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени в единичном интервале частот dх (или длин волн dл).

rн, T=

(rл, T=)

Отсюда можно выразить величину RT

RT = rн, T dх Поглощающей способностью тела называется отношение энергии поглощённой единицей площади тела в единицу времени в единичном интервале частот dх к энергии падающей ах, T=

Очевидно, что для абсолютно чёрного тела величина ах, T1

В 1859 г Г. Кирхгоф установил закон (закон Кирхгофа).

В равновесном состоянии отношение лучеиспускательной способности тела rн, T к поглощательной ах, T есть универсальная функция частоты (длины волны) и температуры — функция Кирхгофа:

ц (н, T)=

(ц (л, T)=ц (н, T))

Для абсолютно чёрного тела поглощательная способность равна 1, поэтому для излучения абсолютно чёрного тела цх, T = rн, T, то есть универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как лучеиспускательная способность абсолютно чёрного тела.

Анализируя спектральный состав (распределение энергии излучения по длинам волн или по частотам) излучения чёрного тела (излучения, идущего через малое отверстие из замкнутой полости — рис.1) экспериментально был получен вид функции ц (л, T) при различных температурах чёрного тела (рис.2).

1.2 Проблема теплового излучения

Основной проблемой в интерпретации экспериментальных закономерностей теплового излучения в течение долгого времени являлось получение теоретически вида функции ц (х, T), которая бы хорошо описывала экспериментальные кривые — рис. 2. Предпринимались попытки решить эту проблему на основе классических представлений. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную роль во всём дальнейшем развитии физики, так как привело к установлению квантового характера излучения и поглощения электромагнитной энергии. Австрийский ученый Стефан (1879 г.), анализируя экспериментальные данные, и Больцман (1884 г.), применяя термодинамический метод, решили эту проблему лишь частично. Они установили зависимость энергетической светимости абсолютно чёрного тела Rэ от температуры

Rэ=у Т4, (1)

где у = 5,7 10−8 — постоянная величина.

Соотношение (1) получило название закона Стефана-Больцмана. Однако этот закон не даёт ответа, каков же спектральный состав излучения абсолютно чёрного тела, то есть закон не определяет вида функции цх, T (или цл, T).

Экспериментально полученные кривые для цл, T (рис.2) имеют ярко выраженный максимум. Из кривых видно, что энергия излучения распределена по спектру неравномерно; чёрное тело почти не излучает в области длинных и очень коротких волн. Максимум кривых смещается с изменением температуры. Эта особенность была сформулирована В. Вином в виде закона (закон Вина).

Длина волны, на которую приходится максимум лучеиспускательной способности абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.

лмax= (2)

где b=2,9 10−3 м К — постоянная Вина.

Выражение (2) называют ещё законом смещения Вина, потому что из него следует смещение максимума функции ц (л, Т) в область более коротких длин волн с возрастанием температуры. Например, при повышении температуры нагретых тел в их спектре начинает преобладать коротковолновое излучение — переход красного каления в белое при нагревании металла.

Следующая строгая попытка получить теоретически функцию цл, T принадлежит английским учённым Д. Рэлею и Д. Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Рассмотрев тепловое излучение в равновесии с веществом, они получили выражение для функции цл, T:

цл, T= (цн, T=), (3)

где kТ=<�е> — средняя энергия осциллятора с собственной частотой н. Выражение (3) называется формулой Рэлея-Джинса, она хорошо согласуется с экспериментом в области больших длин волн и больших температур (рис.3). В области малых длин волн формула (3) была явно неверна и приводила к абсурдным результатам. Интегральная энергетическая светимость Rэ определенная с использованием формулы (3) оказалась равной бесконечности:

по формуле Рэлея-Джинса

Rэ=dн = =dн =

Таким образом, работы Рэлея и Джинса показали, что последовательное применение классической физики к исследованию спектрального состава чёрного излучения даёт неверные результаты, противоречащие закону с охранения энергии.

1.3 Оптическая пирометрия

Законы теплового излучения, рассмотренные нами выше, используются для измерения температуры раскалённых объектов, например, жидкого металла в печи, или звёзд бесконтактным способом. В этом случае используется зависимость лучеиспускательной способности исследуемого объекта rл, T (или его энергетической светимости RT) от температуры. То есть, о температуре объекта можно судить по его излучению. Для этого используются приборы — пирометры излучения, а совокупность бесконтактных методов измерения температуры называется оптической пирометрией. Например, оптический пирометр с исчезающей нитью (который применяется в лабораторной работе № 81) работает следующим образом (рис. 4).

Рис.4

С помощью объектива О изображение нагретого светящегося объекта (1) совмещается с плоскостью нити накала (3) лампы (2). Нить накала и изображение тела наблюдаются через окуляр О1 и светофильтр Ф, пропускающий красный свет с длиной волны л0= 660 нм. Изменением тока подбирают яркость нити такой, чтобы она не была видна на фоне светящейся поверхности измеряемого объекта. В этом случае лучеиспускательная способность нити и поверхности будут одинаковы для длины волны л0. Соответствующие значения тока миллиамперметра переводятся в так называемую яркостную температуру исследуемого тела. Яркостная температура тура Тя — это температура чёрного тела, при которой для определённой длины волны его лучеиспускательная способность равна лучеиспускательной способности исследуемого тела. Зная поглощательную способность aл, T тела на длине волны л0, можно по яркостной температуре определить истинную Т. Истинная температура всегда больше яркостной (Тя<�Т), потому что для нечёрных тел всегда aл, T < 1.

1.4 Формула Планка. Квантовая гипотеза Планка

В 1900 г. немецкий физик Макс Планк получил формулу для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела цх, Т:

цх, Т = (4)

(В волновом представлении это выражение будет иметь вид

цл, Т =)

Выражение (4) полностью согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до и носит название формулы Планка. Можно легко показать, что функции (4) удовлетворяет закон Вина и Стефана-Больцмана. Покажем, каким образом можно получить из формулы Планка закон СтефанаБольцмана:

Rэ= цн, T dх = dн Введём безразмерную переменную x=hх/(kT); dx=hdн/(kT); dн=kTdx/h. Тогда формула для Rэ преобразится к виду:

Rэ= уT4,

где у = ,

где = ;

При малых частотах (или больших длинах волн) hн/kT<<1 и тогда exp (hн/kT)-1 hн/kT, формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса (3).

Однако для получения формулы (4) Планку пришлось ввести предположение (гипотезу) совершенно противоречащую классическим представлениям. Планк предположил, что энергия излучающего тела может принимать не любые, а вполне определённые дискретные значения; другими словами электромагнитное излучение нагретого тела испускается и поглощается не непрерывно, а определёнными минимальными порциями (квантами), величина которых равна:

E= hн; (5)

Учитывая связь щ= 2рн и h= h/2р выражение (5) записывается также в виде

E = 2рн= hщ, (6)

где коэффициент h (или h) получил в последствие название постоянной Планка; эта величина была экспериментально определена и равна

h= 1,054 10−34 Дж· с Мы видим, что порции энергии чрезвычайно малы, поэтому скачкообразность изменения энергии не замечали в повседневной жизни.

Постоянная Планка — это важнейшая универсальная константа, играющая в квантовой физике такую же фундаментальную роль, как скажем, скорость света в теории относительности. Таким образом, если излучение энергии некоторой системы происходит порциями (квантами) hх, то энергия системы может принимать только значения, кратные hх.

En= nhх, n= 1,2,3…

Идея квантования энергии и открытие постоянной Планка ознаменовали рождение новой квантовой физики. Физику как науку, стали подразделять на классическую (нерелятивистскую и релятивистскую) и квантовую.

Совершенно необычная для классической физики квантовая гипотеза Планка далеко не сразу была принята и поддержана учёнными. Сам М. Планк, будучи убеждённым приверженцем классической физики, ещё в течение нескольких лет пытался понять квантование энергии и примирить идею квантования с законами классической физики. Однако эти попытки оказались безуспешными.

§ 2. Квантовые свойства электромагнитного излучения

2.1 Гипотеза световых квантов. Опыт Боте. Фотоны

Квантовая гипотеза Планка получила дальнейшее развитие, прежде всего, в работах А.Энштейна. В 1905 г. появилась работа А. Эйнштейна «Об эвристической точке зрения на возникновение и превращение света», которая открывает следующую важную страницу в истории квантовой физики.

Эйнштейн распространил планковскую идею квантования энергии на свет, он выдвинул идею световых квантов. При этом Эйнштейн предположил, что дискретный характер присущ не только процессам испускания и поглощения света, но и самому свету. То есть свет распространяется также в виде дискретных частиц. Один квант (одна порция, одна частица) света получил название фотона. Существование особых световых частиц — фотонов было доказано экспериментально в опыте Боте, который заключается в следующем (рис. 5).

Рис. 5.

Тонкую металлическую фольгу F устанавливают между двумя быстродействующими счётчиками Cч1 Cч2. Фольга освещается слабым пучком рентгеновских лучей, под действием которых сама становилась источником рентгеновских лучей. Вследствие малой интенсивности первичного пучка (Х), количество переизлучённых фольгой рентгеновских квантов также было очень мало. При попадании в счётчик рентгеновского излучения счётчик срабатывает и посылает электрический сигнал на регистрирующий прибор. Если бы энергия, излучаемая фольгой, распространялась бы в виде волн, то есть равномерно во все стороны, то счётчики срабатывали бы одновременно. На самом деле счётчики срабатывали беспорядочно и независимо друг от друга. То есть, всё происходило так, если бы излучение фольги F распространялось в виде отдельных частиц, которые попадали либо в первый счётчик, либо во второй. Итак, фотон — это есть одна порция или одна частица света. Свет частоты х, таким образом, это поток фотонов с энергией Е= hн. Являясь частицами, фотоны обладают следующими свойствами:

1.Свет распространяется в вакууме со скоростью с, следовательно, с той же скоростью движутся фотоны.

2. Масса покоя фотона равна нулю

m= 0;

Это значит, что единственное состояние фотона — это движение. Не существует системы отсчёта, в которой он бы покоился. Фотон в состоянии покоя — понятие лишённое физического смысла.

3. Фотон обладает собственным моментом импульса (спином) равным h. Если фотон излучается или поглощается веществом, то момент импульса вещества изменяется на дискретную величину nh, где n= 1,2,3…

4. Фотон обладает импульсом. Выражение для импульса найдём, используя связь между энергией и импульсом из специальной теории относительности (СТО) Е2- р2с2= m2c4

m= 0 и тогда Е= рс Р= = = = hk,

где k — волновое число.

2.2 Внешний фотоэлектрический эффект и невозможность его классического описания

Одним из экспериментальных доказательств квантовой природы света является внешний фотоэлектрический эффект.

Внешним фотоэффектом называется вырывание электронов из вещества под действием падающего на вещество электромагнитного излучения и, в частном случае, света.

Фотоэффект был обнаружен Г. Герцем в 1887 г. Систематические исследования фотоэффекта были выполнены А. Г. Столетовым в 1889−89 г. и Ф. Ленардом и Дж. Томсоном в 1899 г. Исследования закономерностей фотоэффекта проводят с помощью следующей схемы, показанной на рисунке 6.

Пластинку из исследуемого материала, выполняющего роль катода К, помещают в вакуумную колбу (состояние поверхности материала существенно влияет на фотоэффект, поэтому используют вакуумную колбу). При освещении катода монохроматическим светом через окошко из катода вырываются фотоэлектроны, которые движутся к аноду благодаря приложенной между катодом и анодом разности потенциалов.

В цепи возникает электрический ток, регистрируемый гальванометром G. С помощью этой схемы были сняты вольтамперные характеристики (ВАХ) фотоэффекта, которые показаны на рисунке 7 для двух значений освещённости Е фотокатода (частота света в обоих случаях одинакова).

На обеих кривых наблюдается участок тока насыщения Iнас, когда все вырванные с катода фотоэлектроны достигают анода, и дальнейшее увеличение напряжения не приводит к росту фототока. При некотором внешнем задерживающем (когда на анод подаётся «-», а на катод «+») напряжении (-Uз) между катодом и анодом фототок уменьшается до нуля. Это значит, что при таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему при вылете из катода максимальным значением скорости, не удаётся преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. То есть, в этом случае Кmax== eUз (7)

В результате многочисленных экспериментов были установлены три основные закономерности фотоэффекта (законы Столетова)

1. Сила фототока пропорциональна освещённости фотокатода (или падающему световому току) при одном и том же спектральном составе излучения

Iф= гЕ

2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов (или скорость фотоэлектронов) линейно возрастает с увеличением частоты н падающего света и не зависит от интенсивности света.

3. Для каждого вещества существует минимальная частота н0 (или максимальная длина волны л0), при которой ещё происходит вырывание электронов. Эта частота (или длина волны) называется «красной границей» фотоэффекта. Если частота света будет меньше н0, то испускание фотоэлектронов происходить не будет, т. е. фотоэффект прекратится. Таким образом, условия наблюдения фотоэффекта запишется нн0 (лл0)

Наблюдаемые в опыте закономерности фотоэффекта, оказалось, невозможно объяснить с позиции классических или волновых представлений. Падающая на поверхность металла световая волна вызывает вынужденные колебания электронов в металле. Передаваемая энергия как бы раскачивает электрон, амплитуда этих колебаний может быть достаточной для выхода электронов из металла. Если это так, то кинетическая энергия фотоэлектронов должна зависеть от интенсивности света.

Особенно резкое расхождение эксперимента с волновыми представлениями возникает при очень малой интенсивности света. В этом случае фотоэффект должен протекать с заметным запаздыванием, поскольку требуется определённое время для накопления электроном в металле достаточной для выхода энергии. Однако опыт показывает, что фотоэффект — безинерционен, т. е. появляется практически одновременно с началом освещения.

С классической точки зрения, оказалось, невозможно также объяснить наличие красной границы фотоэффекта.

2.3 Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Практические применения фотоэффекта

Качественное непротиворечивое объяснение фотоэффекта было впервые дано А. Эйнштейном в 1905 г. на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. В соответствие с этой теорией падающее монохроматическое излучение рассматривается как поток световых квантов — фотонов — с энергией E =hн. Поглощение веществом света сводится к тому, что один фотон передаёт полностью свою энергию одному электрону вещества. Если эта энергия фотона достаточна, чтобы освободить электрон от удерживающих его внутри вещества связей, то происходит эмиссия электрона. Следовательно, число фотоэлектронов должно быть пропорционально числу поглощённых фотонов (что согласуется с первым законом). Энергия фотона (hн) увеличивается с частотой, и следовательно, энергия фотоэлектронов также должна увеличиваться с частотой падающего света, что согласуется также с опытом.

Полученная электроном вещества энергия фотона перераспределяется следующим образом. Часть этой энергии, называемой работой выхода А, затрачивается на то, чтобы освободить электрон от удерживающих его внутри вещества связей. Если электрон освобождается светом не у самой поверхности, а на некоторой глубине, то часть энергии, равная Епотерь, может быть рассеяна вследствие случайных столкновений электрона в веществе. Остаток энергии образует кинетическую энергию К электрона, покинувшего вещество. Таким образом

hн= А + Епотерь + К (8)

Для тех электронов, у которых Епотерь = 0, кинетическая энергия будет максимально возможной при, А = const для данного металла. Для таких электронов равенство (8) перепишется:

hн = А+Кmax = A+ (9)

Это выражение носит название уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Оно выполняет роль закона сохранения энергии для фотоэффекта.

Из уравнения Эйнштейна следуют рассмотренные выше экспериментальные законы фотоэффекта. Например, из формулы (9) непосредственно вытекает второй закон фотоэффекта

= hн — А (A= const).

Если уменьшать частоту падающего луча света н, то кинетическая энергия будет уменьшаться. При некотором значении частоты н= н0 (красная граница фотоэффекта) кинетическая энергия станет равной нулю, и фотоэффект прекратится. Тогда из (9)

hн0 = A+0, отсюда н0 = (10)

Рис.8

Выражение (10) определяет связь красной границы фотоэффекта с работой выхода. Работа выхода электронов из металла в сильной степени зависит то состояния поверхности металла, например, от находящихся на поверхности окислов и адсорбированных газов. Поэтому долгое время не удавалось проверить с достаточной точностью формулу Эйнштейна. В 1916 г. Милликен создал прибор, в котором поверхность фотокатода подвергалась очистке в вакууме, после чего измерялась работа выхода и исследовалась зависимость максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты. Результаты оказались в полном согласии с формулой (9).

В настоящее время на основе явления внешнего фотоэффекта созданы и работают многие фотоэлектронные приборы.

а) Вакуумный фотоэлемент.

Одним из таких приборов является вакуумный фотоэлемент (рис.8)/

Вакуумированный стеклянный баллон с внутренней стороны (за исключением входного окна) покрыт слоем светочувствительного материала (1). Этот слой выполняет роль фотокатода. В качестве анода используется кольцо (2) (или шарик), помещенное в центр колбы. Свет через окошко попадает на светочувствительный слой и вызывает фотоэффект. Фотоэлемент включается в цепь с э.д.с. е, и подбирается такое значение е, чтобы обеспечить ток насыщения. Ток фотоэлемента измеряется гальванометром G. Вследствие безинерционности фотоэффекта перекрывание светового потока приводит к мгновенному падению фототока до нуля. Поэтому фотоэлементы используются в приборах автоматики, в метро, в охранной сигнализации. Кроме того, поскольку для фототока характерна строгая пропорциональность между фототоком и интенсивностью света, фотоэлемент используется в качестве фотометрических приборов. Например, фотоэлектрический экспанометр.

б) Фотоумножители. Фотоэлектронные умножители (рис.9)

используются в технике и научных исследованиях для регистрации сверхслабых световых потоков. Свет падает на фотокатод и выбивает первичные электроны, которые затем направляются вследствие приложенного напряжения между ФК и КS1 на катод вторичной эмиссии — динод КS1 (вторичная электронная эмиссия — это выбивание вторичных электронов из вещества в результате бомбардировки пучком электронов). При этом один электрон выбивает несколько вторичных электронов. Усиленный электронный поток направляется далее на следующий динод КS2 и т. д.; таким образом, в приборе будет развиваться электронная лавина. На последнем диноде-аноде — внешним прибором регистрируется электрический ток.

2.4 Эффект Комптона

Экспериментальным доказательством квантовых свойств электромагнитного излучения и существования фотона также является эффект Комптона, открытый американским физиком А. Комптоном в 1923 г. Комптон исследовал рассеяние монохроматического рентгеновского излучения на образцах, состоящих из лёгких атомов, таких как графит, парафин и другие. Схема экспериментальной установки показана на рисунке 10.

Диафрагмы D1 и D2 выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который затем падает на рассеивающее вещество и после рассеяния на угол падает в приёмник — рентгеновский спектрограф D, где измеряется длина волны рассеянного излучения. Комптон обнаружил, что в рассеянном излучении наряду с исходной длиной волны л появляется смещённая линия с длиной волны л/>л. Разность длин волн? л= л/-л не зависит от длины волны падающего излучения и природы рассеивающего вещества, а определяется только углом рассеяния. С увеличением угла интенсивность смещённой компоненты л/ растёт, а несмещённой л — падает (рис.11).

На рисунке представлены результаты измерений на графите при различных углах рассеяния рентгеновского излучения с длиной волны л= 0,071 нм.

Таким образом, эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и г-излучения) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны этого излучения.

С классической точки зрения невозможно объяснить эффект Комптона. Согласно классической теории рассеяние света связано с возникновением в веществе под действием падающего света вторичных электромагнитных волн той же частоты.

В лёгких атомах, с которыми проводили эксперименты, энергия связи электрона с атомом мала по сравнению с энергией рентгеновского кванта, передаваемого атому при столкновении. Поэтому энергией связи можно пренебречь и считать электроны квазисвободными, тогда одинаковость величины? л = л-л' для всех веществ становится очевидной.

Рассмотрим подробнее процесс столкновения рентгеновского фотона со свободным электроном вещества и получим выражение для? л. Пусть на покоящийся электрон е с энергией покоя W0 = mc2 падает фотон с энергией Еф = hн и импульсом

Рф= = hk (рис 12).

После столкновения электрон будет обладать импульсом ре и энергией We=cФотон после столкновения изменяет направление своего движения (рассеивается) Энергия и импульс фотона станут равными Е’ф =hн' (н'< н), Pф=hн'/c=hk'. Согласно законам сохранения энергии и импульса для системы электрон-фотон запишем

hн + mc2 = h н'+ c (11)

h = + h (12)

Рис. 12.

Разделим первое равенство на с (учтём, что hн/c = hk) и запишем его в виде

h (k-k') +mc =

Возведём это равенство в квадрат, получим

h2 (k2+ k'2−2kk') + 2hmc (k — k') = pе2 (13)

Запишем закон сохранения импульса (12) в скалярном виде, для этого используем теорему косинусов для? АВС

р2е = h2 (k2 + k/ 2 -2 kk' cos) (14)

Из сравнения выражений (13) и (14)

h2k2 + h2k' 2 — h2 2kk' + 2hmc (k-k') = h2k2 + hk' 2 — h22kk' соs

После алгебраических преобразований

mc (k-k') = h kk' (1-cos)

Умножим это равенство на 2р/ mckk'

2р = (1 — соs), или

?л = л' - л= (15)

(здесь мы учли, что 2р/k'= л'; 2р/k = л) Величина 2рh/mc = лс — называется комптоновской длиной волны частицы с массой m (в данном случае электрона). лс 2,426 10−12 м для электрона. Тогда уравнение (15) можно записать в виде

?л = л' - л = лc (1-соs) (16)

Экспериментальные результаты, полученные Комптоном, и последующие измерения находятся в полном согласии с соотношением (16); увеличение длины волны при эффекте Комптона зависит только от угла рассеяния .

Наличие несмещённой компоненты л в рассеянном излучении (рис.10) обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества, которые связаны с ядрами гораздо сильнее, и поэтому такие электроны уже нельзя считать свободными.

Примеры решения задач

Задача 1

Чёрное тело имеет температуру Т1 = 500К. Какова будет температура Т2 тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в n = 5 раз.

Дано: Решение:

Т1 = 500К Согласно закону Стефана-Больцмана Ф2 = 5Ф1 энергическая светимость абсолютно Т2 =? чёрного тела

Rэ = уT4, (1)

где у — постоянная Стефана-Больцмана С другой стороны, по определению, энергетическая светимость—это есть энергия излучения с единицы площади поверхности нагретого тела в единицу времени.

Rэ = =

где Ф — поток излучения.

Отсюда в интегральном виде поток излучения Ф = RэS

или Ф = уT4S

Температурам Т1 и Т2 соответствуют потоки Ф1 и Ф2

Ф1 = уS

Ф2 = уS

= =

отсюда Т2 = Т1

Произведём вычисления:

Т2 = 500 747,7К.

Задача 2

Поток излучения абсолютно чёрного тела Ф = 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны лmax = 0,8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.

Дано: Решение:

b = 2,9 10−3 мК

Cогласно закону смещения Вина лmах=0,8 мкм длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела

S = ?

лmах = ,

где b — постоянная Вина, Т — термодинамическая температура. Отсюда выразим температуру излучающей поверхности

Т =

Энергетическая светимость абсолютно чёрного тела согласно закону Стефана-Больцмана

Rэ = уТ4= (1)

Из предыдущей задачи используем связь между потоком излучения и энергетической светимостью Ф = Rэ S (2)

Подставим выражение (1) в (2) и выразим площадь излучающей поверхности Ф =

S =

Произведём вычисления

S = = 1,0 10−3 м2

Задача 3

При последовательном освещении катода светом с частотой н = 1,05 1015 Гц и н /=1,4 1015Гц задерживающая разность потенциалов, при которой фототок прекращается оказалась равной U= 0,4 B и U /= 2,0 B. Найти постоянную Планка.

Дано Решение н = 1,05 1015 Гц Запишем уравнение Эйнштейна для внешнего н /= 1,4 1015 Гц фотоэфекта для двух случаев освещения катода

U = 0,4 B

U' = 2,0 B hн = А+Кmax

h=?

hн' = А+К'max (1)

где, А — работа выхода электронов из катода; Кmax и К’max — максимально возможная кинетическая энергия вышедших электронов; h — постоянная Планка.

Задерживающая разность потенциалов создаёт электрическое поле, тормозящее электроны, двигающиеся к аноду. Работа этого электрического поля равна кинетической энергии наиболее быстрых электронов — Кmax

Аэл.поля = еU = Kmax

Сделаем замену в уравнениях (1)

hн = A + eU (2)

hн' = A + eU' (3)

Вычтем из уравнения (3) уравнение (2)

h (н'-н) = e (U'-U)

Отсюда выразим h

h =

Произведём вычисления

h = = 6,63 10−34 Дж с.

Задача 4

При поочередном освещении некоторого металла электромагнитным излучением с длинами волн л1 = 0,35 мкм и л2 = 0,64 мкм максимальная скорость фотоэлектронов уменьшилась в n = 2,0 раза. Найти работу выхода этого металла.

Дано: Решение:

л1 = 0,35 мкм = 0,35 10−6м Запишем уравнение Эйнштейна для л2 = 0,54 мкм = 0,54 10−6м фотоэффекта для двух случаев

n = 2,0 освещения катода:

А=?

= А +

= А+ ,

где h — постоянная Планка, с — скорость света, и — максимальные скорости фотоэлектронов. Разделим первое уравнение на второе:

= = n2

Решим теперь это алгебраическое уравнение относительно А

hcл2 — л1л2А = hcл1n2 — л1л2Аn2

A =

Произведём вычисления, А = 3,04 10−19 Дж = =1,9 эВ.

Задача 5

Красная граница фотоэффекта для некоторого металла л0 = 290 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Кmax фотоэлектронов в эВ, если на металл падает свет с длиной волны л = 190 нм.

Дано: Решение:

л0 = 290 нм =2,9 10−7м. Красная граница фотоэффекта (некоторая ;

л = 190 нм = 1,9 10−7м длина волны л0 такая, что при л>л0

фотоэффект прекращается) связана с Кmax =? работой выхода следующим образом

=, (1)

где с — скорость света, h — постоянная Планка.

Из уравнения (1) работа выхода для нашего металла А= (2)

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и подставим в него полученное уравнение (2)

= А + Кmax

= + Кmax

Кmax = = hc

Произведём вычисления Кmax = 3 108 6,63 10−34 = 3,6 10−19 Дж = = 2,25 эВ Задача 6

Рентгеновское излучение (л = 1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волны лmax рентгеновского излучения в рассеянном пучке.

Дано: Решение:

л = 1 нм = 10−9 м Изменение длины волны при рассеянии рентгеновского излучения с длиной волны л на свободных электронах (эффект Комптона) определяется:

?л = л./ -л = лc (1-cos), (1)

где л'— длина волны рассеянного излучения (смещённая компонента); лc — константа — комптоновская длина волны электрона, лc = 0,0243 Е; — угол рассеяния. Максимальная длина волны л’max в рассеянном пучке соответствует в свою очередь максимальному значению множителя (1 — соs). Максимальное значение этого множителя равно 1 (при cos= 0 или =900). В этом случае:

л'-л = лc1, отсюда л’max = лс + л = 0,243нм + 1нм = 1,243нм Задача 7

Рентгеновское излучение с длиной волны л = 20нм испытывает комптоновское рассеяние под углом =900. Найти изменение? л длины волны рентгеновского излучения при рассеянии, а также энергию We и импульс Ре электрона отдачи.

Дано Решение л = 20нм = 0,2 10−10

?л = ?

We = ?

Pe = ?

Покажем на рисунке схему комптоновского рассеяния; — импульс рассеянного электрона, — импульс рассеянного фотона, — импульс падающего на вещество фотона. Изменение длины волны при комптоновском рассеянии

?л = л /-л = лс (1- cos), (1)

где лс= 0,0243 Е — комптоновская длина волны электрона, — угол рассеяния.

Из (1) находим

?л = лс (1- сos900) = лс = 0,0243Е Из равенства (1) также находим длину волны рассеянного фотона л /= л + ?л = 0,2 + 0,0243 = 0,2243Е В соответствие с законом сохранения энергии:

= + We, (2)

где , — энергии падающего и рассеянного фотона, соответственно.

Равенство (2) перепишем в виде

= +Wе, отсюда

Wе = =

Произведём вычисления

We == 1,07 10−15 Дж Запишем закон сохранения импульса в векторной форме для комптоновского рассеяния, изображённого на рисунке:

= +

В модульной форме из рисунка следует Ре = (3)

Используем формулу де-Бройля (см. п. 3.1)

л =

Тогда равенство (3) перепишем в виде Ре = = h=

Произведём вычисления Ре= =

= 4,431 10−23 .

§ 3. Элементы квантовой механики

3.1 Корпускулярно-волновой дуализм материи. Формула де-Бройля

Итак, в предыдущем параграфе мы рассмотрели явления фотоэффекта и эффекта Комптона, которые являются экспериментальным обоснованием того, что свет обладает корпускулярными (или квантовыми) свойствами, то есть ведёт себя как поток особых частиц электромагнитного поля, которые были названы фотонами. В то же время явления интерференции, дифракции, поляризации света свидетельствуют о волновой природе света. То есть согласно классическим представлениям свет-это электромагнитная волна. Таким образом, световой луч в одних условиях ведёт себя как волна с длиной волны л и частотой н, а в других — как поток частиц — фотонов с энергией и импульсом. Записанные нами выше соотношения и связывают корпускулярные и волновые свойства света. Таким образом, свет обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Говорят, что свет обладает корпускулярно-волновой двойственностью или дуализмом. Сосуществование этих свойств не может быть логически непротиворечиво объяснено классической физикой. С точки зрения последней понятия волны и частицы исключают друг друга. То есть фотон является квантовым объектом, который в принципе невозможно представить себе с помощью классических образов. При этом фотон проявляет свои корпускулярно-волновые свойства в разной степени для различных видов электромагнитного излучения. Для коротковолнового излучения (рентгеновского иизлучения) квантовые свойства проявляются наиболее отчётливо, а волновые свойства проявляются весьма слабо. В области же длинных волн (например, инфракрасное излучение) квантовые свойства излучения проявляются в малой степени, и основное значение имеют волновые свойства.

В 1924 году французский физик Луи де-Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм характерен не только для фотонов и является особенностью не только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Движущиеся частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые. То есть, с движением частицы связан некоторый волновой процесс или волна, и можно ожидать, что она распространяется в направлении скорости частицы. О природе этой волны ничего определённого де-Бройлем не было высказано. Мы пока не будем также выяснять природу этих волн, однако, следует подчеркнуть, что эти волны — не электромагнитные. Они имеют, как мы увидим далее специфическую природу, для которой нет аналога в классической физике.

Итак, согласно де-Бройлю с движением каждой материальной частицы связываются с одной стороны корпускулярные характеристики — энергия и импульс; с другой стороны движению микрочастицы соответствует некоторой волновой процесс, длина волны которого равна:

(17)

а частота равна:

(18)

Если, частица движется со скоростью н<

Соотношение (17)-одно из фундаментальных соотношений, лежащих в основе современной физики. Соотношение (17) называется формулой де-Бройля и оно определяет длину волны де-Бройля.

3.2 Экспериментальное подтверждение волновых свойств вещества. Дифракция микрочастиц

Прежде всего, убедимся, что гипотеза де-Бройля не противоречит понятиям макроскопической физики. Возьмём в качестве макроскопического объекта пылинку и, полагая её массу m=1 мг и скорость подсчитаем соответствующую ей дебройлевскую длину волны

То есть даже у такого небольшого объекта как пылинка длина волны де-Бройля оказывается неизмеримо меньше самого объекта, более того, столь малую величину невозможно в принципе измерить в опыте. Поэтому волновые свойства у пылинки проявляться и наблюдаться экспериментатором не могут.

Иначе обстоит дело, если мы возьмём электрон с кинетической энергией и импульсом. Его дебройлевская длина волны равна

.

Если, например, кинетическая энергия электрона равна, то. Мы получили длину волны порядка размера атома, это уже принципиально наблюдаемая величина. Такой же порядок величины имеет постоянная кристаллической решётки. Поэтому, как и в случае рентгеновских лучей, кристаллическая структура может быть подходящей решёткой для получения дифракции и доказательства существования дебройлевских волн.

Опыты по обнаружению дифракции микрочастиц, являющиеся экспериментальной проверкой гипотезы де-Бройля, были проделаны многими учёными. Мы рассмотрим некоторые из них

a) Опыт К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927 г.)

Рис. 13.

В опыте узкий моноэнергетический электронный пучок направлялся на монокристалл никеля (рис13), сошлифованный так, как показано на рисунке. В таком положении сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами атомов, перпендикулярных к плоскости падения пучка (плоскости рисунка). Расстояние между рядами атомов. Источником электронов являлась электронная пушка. Рассеянные монокристаллом электроны улавливались детектором электронов, который перемещался в плоскости падения пучка; при этом изменялся угол. Энергия электронного пучка могла изменяться путём изменения ускоряющего напряжения на электронной пушке. При угле и ускоряющем напряжении был зафиксирован особенно отчётливый максимум отражённых электронов, полярная диаграмма которого представлена на рисунке 14.

С классической точки зрения электроны, имеющие произвольную кинетическую энергию, должны рассеиваться равномерно под всевозможными углами в соответствие с законами отражения геометрической оптики. То есть, с классических позиций этот максимум объяснить совершенно невозможно. Максимум можно только истолковать как дифракционный максимум первого порядка от плоской решётки атомов никеля (с периодом, равным расстоянию между рядами атомов) в соответствие с формулой (условие главных максимумов дифракции света на дифракционной решётке)

(19)

где к=1-порядок дифракционных максимумов,-угол дифракции.

Процесс дифракции можно также интерпретировать с помощью рисунка 15.

На этом рисунке каждая жирная точка изображает цепочку атомов, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости рисунка. Вычисленная по формуле дебройлевская длина волны для U=54 В равна 0,167нм. Соответствующая длина волны, найденная по формуле (19), равна 0,165нм. Столь хорошее согласие говорит о том, что в опыте действительно наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке никеля, то есть, электроны обладают волновыми свойствами.

b) Опыт Томсона и Тартаковского Г. Томсон и независимо П. С. Тартаковский (1927г.) выполнили следующий простой опыт. Узкий пучок моноэнергетических электронов с энергией 50эВ направлялся на тонкую металлическую фольгу (рис16), проходил сквозь фольгу и далее попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку вызывает такое же действие, как и фотон, т. е. засвечивает фотопластинку. Исходя из классических представлений, в центре фотопластинки мы должны увидеть тёмное пятно. Все электроны должны попасть сюда. На самом деле на фотопластинке наблюдалась система дифракционных светлых и тёмных колец, то есть происходила дифракция электронов на кристаллической структуре фольги и последующая регистрация электронов фотопластинкой.

c) Опыты с нейтронами и молекулами. Опыты с единичными электронами.

Позже аналогичные опыты по дифракции были выполнены с тяжёлыми частицами: протонами, нейтронами, атомами и молекулами. Было показано, что дифракционные явления обнаруживаются также и в случае вышеуказанных частиц. То есть, волновые свойства являются универсальными свойствами всех частиц или универсальным свойством материи. Они не обусловлены какими-то особенностями внутреннего строения той или иной частицы, а отражают их общий закон движения.

В описанных выше опытах дифракционная картина наблюдалась для пучка (или потока) частиц. Поэтому возникает резонный вопрос: может быть наблюдаемые волновые свойства, являются особенностями пучка частиц, а каждая отдельная частица не обладает волновыми свойствами? Чтобы ответить на этот вопрос в 1949 году советские физики В. Фабрикант, Л. Биберман и Н. Сушкин осуществили опыт по рассеянию электронов на тонкой металлической фольге, в котором плотность электронного пучка была столь мала, что каждый электрон проходил через фольгу заведомо поодиночке, и каждый рассеянный электрон регистрировался фотопластинкой. Возникающая в этом случае при длительном экспонировании дифракционная картина на фотопластинке ничем не отличалась от дифракционной картины, полученной от обычного пучка электронов (рис.16).

Следовательно, волновые свойства частиц не является свойствами их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.

Основные выводы. Корпускулярно-волновой дуализм присущ всем объектам материального мира. Каждая движущаяся частица с одной стороны является частицей, а с другой — волной. Однако в случае макроскопических объектов (пылинка, песчинка) длина волны де-Бройля столь мала, что волновые свойства никак не могут проявляться и обнаруживаться экспериментатором. Волновые свойства микроскопических объектов (электроны, нейтроны, атомы и т. д.), которые проявляются и обнаруживаются — есть необычные для обыденного восприятия, специфические свойства объектов микромира.

3.3 Применение волновых свойств частиц. Электронои нейтронография

Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры вещества, таких как электронография и нейтронография, а также возникновение новой отрасли — электронной оптики.

Метод электронографии основан на том, что дифракционные эффекты для электронов наблюдаются лишь при условии, что дебройлевская длина волны имеет порядок межатомного расстояния в кристаллах. Электроны имеют значительно меньшую проникающую способность, чем рентгеновские лучи, поэтому электронография, в основном, применяется для исследования структуры поверхностей твёрдых тел, например, в катализе. Метод заключается в том, что полученная при рассеянии электронного пучка поверхностью твёрдого тела электронограмма (дифракционная картина на фотоплёнке) несёт информацию о структуре поверхности и адсорбированных на поверхности атомах и молекулах. Например, для адсорбированных на поверхности молекул могут быть определены межатомные расстояния, моменты инерции и т. д.

Метод нейтронографии основан на получении и на анализе дифракции нейтронов и, в ряде случая, с помощью этого метода можно более успешно (чем с помощью рентгеновских лучей и электронов) исследовать строение вещества. Нейтроны не обладают электрическим зарядом и не испытывают электрических сил взаимодействия с электронами и ядрами тяжёлых веществ.

Наоборот, нейтроны сильно взаимодействуют с ядрами атомов водорода (благодаря наличию у нейтрона и протона магнитных моментов), что приводит к сильному рассеянию нейтронов на водороде и даёт возможность исследовать структуру водородсодержащих веществ (например, органические кристаллы).