Использование пакета MatLab при анализе информационных систем

• Введение 2
• Реализация принципов управляемости и наблюдаемости 3
• Выполнение условий принципа управляемости 6
• Выполнение условий принципа наблюдаемости 9
• Реализация принципов обратной связи и управления по возмущению 12
• Реализация принципов идентификации и адекватности 16
• Пример работы с графическим интерфейсом 16
• Имитация и прогнозирование 16
• Непараметрическое оценивание 18
• Методы параметрического оценивания 20
• Методы итерационного параметрического оценивания 21
• Метод задания структуры модели 22
• Выбор структуры и преобразования модели 24
• Выполнение анализа модели 24
• Формирование информации о модели 25
• Адекватность модели 25
• Заключение 27

Информационная система является управляющей частью объекта, совокупность которых представляет собой систему управления. Для получения заведомо функционирующей структуры системы управления необходима выработка соответствующих показателей их общесистемных принципов организации. К основным таким принципам относятся такие, как принцип управляемости, наблюдаемости, обратной связи, управления по возмущению и адаптации. Эффективным методом расчетов показателей таких принципов организации систем является применение инструментальных возможностей ControlSystemToolbox, как одного из основных расширений программной системы MatLab. Принцип адаптации, как высшая форма оптимизации управления динамическими системами содержит большое количество материалов и излагается в отдельном разделе.

Реализация принципов управляемости и наблюдаемости

При реализации принципов управляемости и наблюдаемости по обобщенной модели в переменных состояния (3) используется нормальная и каноническая форма ss-модели.Нормальная форма уравнений состояния реализуется в системе, где в качестве переменных состояния выбирается сама управляемая величина и n-1 её производных:

(4)

Эта форма используется только при отсутствии в правой части уравнения (3, а) производных от uи f. При этом соответствующие матрицы для системы, управления, возмущения и наблюдения имеют следующий вид:

(4)

На рис. 1 изображена структура схема системы в характеристике нормальной формы состояния.

Рис. 1. Структурная схема системы нормальной формой управляемости

Достоинство реализации нормальной формы заключается в том, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, т.к. некоторые из них могут быть непосредственно измерены датчиками разных типов. Недостаток — необходимость приведения матриц системы к диагональному виду.

Уравнений состояния в канонической форме получается в процессе предварительного представления уравнения ОУ, аналогично (3) в алгебраической форме, как

(5)

В результате преобразований получается выражение для выходной переменной:

(6)

Таким образом, для уравнения (3) матрица состояния будут составлены в следующем виде:

(7)

На рис. 2 представлен пример структурной схемы системы с канонической формой уравнений состояния.

Рис. 2. Структурная схема канонической формы управляемости системы

Достоинством канонической формы является диагональность матрицы А, что упрощает решение уравнения (3). Недостаток заключается в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла, в результате чего возникает проблема их непосредственного измерения.

Для формирования канонической формы ss-модели применяется функция canonнепрерывного и дискретного вида:

csys = canon (sys,`type`) [csys, T] = canon (sys,`type`)

К аргументам этой функции относятся: 1) sys, как имя исходного ss-модели; 2) `type` строковая переменная, задающая тип канонической формы (`modal` - модальная, `companion` - присоединенная). К формируемым величинам относятся преобразованная модель csysи матрица преобразования T, связывающая вектор состояния в канонической форме с вектором состояния исходной модели. При этом модальная (М) и присоединенная (П) канонические формы выражаются соответственно:

Где — коэффициенты характеристического многочлена системы

Выполнение условий принципа управляемости

Функция ctrbформирует матрицу управляемости для модели в пространстве состояний на основе выражений: Co=ctrb (A, B) Co=ctrb (sys), где sys — имяss — модели; A иBматрицы модели.

Система является управляемой, если матрица управляемости Coимеет полный ранг. Матрица управляемости имеет n строк и nЧmстолбцов (m-количество входов) и выражается соотношением

Рассмотрим пример — является ли управляемой системы 2-го порядка с матрицами

Рассмотрим результат такой проверки с выполнением следующих функций, как это представлено на рис. 3.

Таким образом, вычисленный ранг матрицы управляемости равен 1 для системы 2-го порядка и, следовательно, система не является полностью управляемой. Для формирования канонической формы управляемости используется функция ctrbfв следующих выражениях:

[Abar, Bbar, Cbar, T, k] = ctrbf (A, B, C)

[Abar, Bbar, Cbar, T, k] = ctrbf (A, B, C, tol),

Рис. 3. Пример проверки управляемости системы

Где tolаргумент для задания точности вычислений. Если матрица управляемости для пары {A, B} имеет ранг r

Где Tунитарная матрица, когда преобразованная система имеет блочно — треугольную форму с неуправляемыми модами, расположенными в верхнем левом углу:

Данная форма называется канонической формой управляемости. Пара матрицявляется управляемой, когда справедливо соотношение:

Где Iединичная матрица. Данное соотношение показывает, что передаточная функция всей системы совпадает с передаточной функцией ее управляемой части, а все моды, соответствующие собственным значениям матрицы являются неуправляемыми.

Функция в выражении (8) преобразует ss-модуль, описываемую тройкой матрица (А, В, С) в каноническую форму управляемости [Abar, Bbar, Cbar]. Матрица Т описывает преобразование подобия, а элементы вектора k указывают на количество управляемых мод, выделенных на каждом шаге расчета матрица преобразования. Число ненулевых элементов вектора k показывает, сколько итераций потребовалось для расчета матрица Т. Величина sum (k) указывает на число канонических переменных состояния, соответствующих управляемой части матрицы Abar.

Рассмотрим другой пример применения функции ctrbf (см. рис. 4)

Рис. 4. Пример применения функции ctrbf

Для оценки управляемости и наблюдаемости системы, а также дляпостроение их минимальной реализации используется функция gram (грамианы управляемости и наблюдаемости). Грамианы более удобны для вычислений, чем матрицы управляемости и наблюдаемости (т.к. матрица, А модели должна быть устойчивой). Для непрерывной (ss-модели) и дискретной моделей грамиан управляемости определяется выражениями

Грамиан управляемости положительно определен тогда и только тогда, когда пара матриц (А, В) является управляемой.

Выполнение условий принципа наблюдаемости

Функция obsvформирует матрицу наблюдаемости для модели в пространстве остояний на основе выражений: Ob = obsv (A, C) Ob = obsv (sys), где sys — имяss-модели; А и С — матрицы модели.

Система является наблюдаемой, если матрица наблюдаемости Obимеет полный ранг. Матрица наблюдаемости имеет p строк (p — количество выходов) и n столбцов и выражается соотношением

Рассмотрим пример применения функции obsv (рис. 5)

Для формирования канонической формы наблюдаемости используется функция obsvf в следующих выражениях:

[Abar, Bbar, Cbar, T, k] = obsvf (A, B, C)

[Abar, Bbar, Cbar, T, k] = obsvf (A, B, C, tol),

Где tol — аргумент для задания точности вычислений. Если матрица наблюдаемости для пары {A, C} имеет ранг r

Данная форма называется канонической формой наблюдаемости. Пара матрицявляется наблюдаемой, когда справедливо соотношение:

Где I — единичная матрица. Данное соотношение показывает, что передаточная функциявсей системы совпадает с передаточной функцией ее наблюдаемой части, а все моды, соответствующие собственным значениям матрицы … являются ненаблюдаемыми. Функция obsvf в приведенном выражении преобразует ss-модель, описываемую тройкой матрицы (А, В, С) в каноническую форму наблюдаемости (Abar, Bbar, Cbar]. Матрица Т описывает преобразование подобия, а элементывектора k указывают на количество наблюдаемых мод, выделенных на каждом шаге расчета матрицы преобразования. параметрическое оценивание идентификация matlab

Число ненулевых элементов вектора k показывает, сколько итераций потребовалось для расчета матрицы Т. Величина sum (k) указывает на число канонических переменных состояния, соответствующих наблюдаемой части матрицы Abar.

Рассмотрим пример применения функции obsvf (см. рис. 6)

Функция ssbalиспользуется для масштабирования ss-моделей:

[sysb, Т] = ssbal (sys), [sysb, Т] = ssbal (sys, condТ)

Данная функция выполняет масштабирование матриц ss-модели, используя преобразование подобия с диагональной матрицей Tскаляромa таким, что матрица

Имеет малые числа обусловленности по отношению к задаче на собственные значения.

Функция [sysb, T] = ssbal (sys) формирует масштабируемую модель sysb, описываемую четверткой {ТАТ 1, ТВ/а, aCI~ 1, D}, и матрицу преобразованияТ, такую что ЧJ = Тх, rде ЧJновый вектор состояния модели. Функция [sysb, T] = ssbaJ (sys, condT) задает верхнюю границу обусловленности condT для матрицы Т. Так как масштабирование при плохообусловленной матрице Т может приводить к росту ошибок округления, то задание величины condT дает возможность контроля данных ошибок.

Функция ss2ss выполняетпреобразование ss-модели при переходе кновому базису:

ФункцияsysT=ss2ss (sys, T) формирует преобразованную модель sysT, используя исходную модель sysи матрицу преобразования T (невырожденную).

Рассмотрим пример совместных условий достижения управляемости и наблюдаемости системы, как показано при выполнении команд на рис. 7.

Рис. 7 Результаты определения совместных условий достижения управляемости и наблюдаемости системы

В аналогии выражению для непрерывной (ss-модели) и дискретной моделей грамиан наблюдаемости определяется выражениями

Грамиан наблюдаемости положительно определен тогда и только тогда, когда пара матриц (А, С) является наблюдаемой.

Реализация принципов обратной связи и управления по возмущению

Рассмотрим пример выполнения синтеза и вычисления реакции системы на начальные условия когда вектор коэффициентов усиления K в системе задается выражением u (t)=Kx (t):

A=[0 1; 0 0]; B=[0; 1]; C=[1 0]; D=0;

Pp=[-4+4*i -4−4*i];

K=acker (A, B, Pp), pause;

El0p2=ss ((A-B*K), B, C, D);

Initial (El0p2, [1; 0])

Результатом выполнения этой программы получается следующее значение вычисляемой величины:

K= 32 8

В приведенной программе Pp — вектор-строка желаемого расположения полюсов системы, а функция ackerиспользуется для нахождения вектора коэффициентов K.

Рассмотрим особенности выбора обратных связей с использованием окна программы rltool. Для этого выберем команды <Файл>Импорт модели (рис. 8).

Рис. 8. Вид окна свойств LTI-вьювера

В этом примере загрузка модели осуществляется при отжатии кнопки в ввидештрих-пунктирной стрелки. При этом выбор характеристики производится в позиции Вид.

Чтобы улучшить характеристики системы необходимо построить компенсатор инерционно — форсирующего типа, добавив один полюс и один ноль с помощью кнопок крестика и кружка на панели инструментов. С помощью мыши путем перетаскивании нулей и полюсов на графике можно получить характеристику системы, как показано на рис. 9.

Рассмотрим пример реализации принципа обратной свяязи наблюдателя, как показано на рис. 10 и 11

Рис. 10. Графическая визуализация принципа обратной связи наблюдателя.

Рис. 11. Графическая визуализация принципа обратной связи наблюдателя.

Рассмотрим пример реализации принципа управления по возмущению в результате синтеза системы наблюдатель — регулятор в следующей программе окна редактора (рис. 12.):

Рис. 12. Листинг программы в окне редактора.

При выполнении этой программы получаются следующие результаты:

Рассмотрим пример синтеза наблюдателя пониженного порядка.

Реализация принципов идентификации и адекватности

Пример работы с графическим интерфейсом

Принцип идентификации и адекватности рассматриваются в развитии принципов управляемости и наблюдаемости систем управления. Рассмотрим характеристики этих принципов системной организации в реализации пакета SystemIdentification.

Чтобы запустить графический интерфейс необходимо выполнить команды >>ident (рис. 15) или >>(sessio, directory).

Рис. 15. Окно графического интерфейса.

Имитация и прогнозирование

Для имитации и прогнозирования (предсказания) используются 4 функции, наименование и характеристики которых приведены в табл.4.

Рассмотрим пример использования функции predictв формах

Yp=predict (m, data) и[yp, mpred]=predict (m, data, k, init).

Реализующие алгоритм предсказания с применением фильтра Калмана:

Первые три строки листинга готовят случайный тестовый сигнал в 400 точках с имитацией линейной модели сигнала. В последующих строках создается armax-модель для первых 200 точек и для последующих 200 точек (рис. 16).

Рис. 16. Пример применения функции предсказания.

Для сравнения результатов прогноза и оценки его погрешности выполните команды для получения графической интерпретации (рис. 17).

Рис. 17. Схема сравнения результатов прогноза и оценки его погрешности.

Непараметрическое оценивание

В данной группе используется 5 функций, наименование и характеристики каоторых приведены в табл. 5.

Таблица 5. Перечень функций для непараметрического оценивания.

Рассмотрим пример, исходные данных которых содержат в файле dryer2.mat. Найдем оценку амплитудно (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик объекта с выводом результата в форме диаграммы Боде и использованием функции spa (рис. 18):

>>load dryer2; z = [y2 u2]; g = spa (z); bode (g, 3)

Рис. 18. Оценка АЧХ и ФЧХ объекта с доверительным интервалами.

Для получения доверительного коридора в три среднеквадратических отклонения необходимо выбрать команды (рис. 19):

>> w = logspace (-2, pi, 128); g = spa (z, [], w);

>> bode (g, 3); bode (g (`noise'), 3)

Рис. 19. График оценки с доверительным коридором

Методы параметрического оценивания

В данной группе используется 10 функций, наименование и характеристики которых приведены в табл. 6.

Для выполнения функции arнужно выполнить команды:

Для выполнение функции armax нужно выполнить команды:

Методы итерационного параметрического оценивания

В данной группе используется 7 функций, которые позволяют производить оценивание моделей итерационными (рекуррентными) методами. Наименование и характеристики функций приведены в табл. 7.

Таблица 7. Перечень функций для непараметрического оценивания.

Рассмотрим пример аппроксимации синусоидального сигнала кусочно — постоянным при выполнении команд (рис. 20):

Метод задания структуры модели

В данной группе используется 5 функций, наименование и характеристики которых приведены в таблице 8.

Таблица 8. Перечень функций для задания структуры модели.

В более ранних моделях применялись также функции arx2th, canform, mf2th, ms2th, poly2th.

Для выполнения функции idpoly нужно выполнить команды:

Для выполнения функции idssнужно выполнить команды:

Для выполнения функции modstrucнужно выполнить команды:

Для выполнения функции ms2thнужно выполнить команды:

Выбор структуры и преобразования модели

Для выполнения функции arxstrucнужно выполнить следующие команды:

Выполнение анализа модели

Для выполнения функции pzmap выполним следующие команды (рис.21)

Рис. 21. Результат выполнения операции анализа модели

Формирование информации о модели

Для формирования информации о модели выполним следующие команды:

Адекватность модели

Для оцени адекватности модели на основе функции compareвыполним команды (рис. 22).

Рис. 22. Результаты получения данных о выходах объекта и модели

Выполним перечень команд на основе функции resid (рис. 23):

Рис. 23. Результаты получения графиков на основе функции resid

Заключение

В данной курсовой работе я описал определение граничных значений параметров, принципов организации из математического пакета программ MatLab. Изучая расширений и графических средств MatLabдля расчетов показателей принципов управляемости, наблюдаемости, обратной связи и управляемости по возмущениям.