Пересечение двух плоскостей

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения К К₂ двух плоскостей Рн Q.

Рис. 4.5 Рис. 4.6 Рис. 4.7.

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1—2, с плоскостью Q — по линии 3—4. В пересечении линий 1—2 и 3—4 определена первая общая точка К двух плоскостей Р и Q — первая точка линии их пересечения.

Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т’п', тп линии пересечения MN фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника АВС.

На фронтальной проекции в пересечении проекций а’Ь' и а’с' со следом Р_и находим фронтальные проекции т' и п' двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки тип проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т'п') находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть — под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин АВС и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на.

Рис. 4.8 Рис. 4.9.

рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и Ас сторон ААВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции тип точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а’Ь' и Ь’с' строим фронтальные проекции т' и п' точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.

Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника АВС до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а’с’п’т'). Видимая часть фронтальной проекции Л DEF на чертеже оттенена.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т’п', /иллинии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а’Ь', b’c', ab, Ьс двух пересекающихся прямых, другая — проекциями d’e', f’g', de, fg двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами R, и T_v.

Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1—2, вторую — по прямой 3—4. По фронтальным проекциям /', 2' и 3', 4' находим с помощью линий связи горизонтальные проекции !, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях ab, Ьс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1—2 и 3—4линий пересечения. Отмечаем точку т — горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей — двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т' на фронтальном следе Л" вспомогательной плоскости.

Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Тс заданными плоскостями проведены через проекцию Ь параллельно проекции 1—2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3—4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция я второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе Т" вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция я'. Через построенные проекции яГ, я' и т, я проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.