Вычисление наиболее точного по вероятности значения результата измерений одной и той же величины

Пусть некоторая величина, истинное (точное) значение которой равно X, измерена равно точно n раз и получены результаты этих измерений: l1, l2, l3,.

Составим разности Д i = l i X, (4).

где i = 1, 2, 3,…, n;

Д i истинные случайные погрешности результатов l i измерений, т. е.

уклонения результатов измерений от истинного (точного) значения измеряемой величины.

Найдем сумму уравнений (4) и разделим ее на число измерений.

Введем обозначения:

Величину.

x = [ l ] / n.

называют простой арифметической серединой или средним арифметическим из результатов l i равноточных измерений. Выражение з = [ Д ] / n = x ;

X есть истинная случайная погрешность простой арифметической середины, т. е. это уклонение простой арифметической середины от истинного (точного) значения X измеряемой величины.

По четвертому свойству случайных погрешностей.

lim ([ Д ] / n) = lim з = 0, (8).

n>? n>?

значит.

lim ([ l ] / n) = lim x = X. (9).

n>? n>?

Таким образом, среднее арифметическое из результатов li равноточных измерений стремится к истинному (точному) значению X измеряемой величины при неограниченном возрастании числа измерений. Величину x называют еще вероятнейшим значением измеряемой величины.

Оценка точности результатов ряда равноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность результата отдельного измерения. Предельная и относительная погрешности

В качестве критерия при оценке точности результатов геодезических измерений принята предложенная К. Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле.

где Д истинная случайная погрешность результата,.

n число измерений.

По величине средней квадратической погрешности можно определить предельную погрешность Д пред., возможную для данного ряда измерений. В качестве предельной погрешности в геодезии принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность Д пред. = 2m. (11).

Если в ряду случайных погрешностей результатов равноточных измерений встречаются такие, которые по абсолютной величине превышают предельную, то такие погрешности считают грубыми. Измерения, в которых обнаружены эти погрешности, выполняют заново.

В ряде случаев для суждения о точности измерений недостаточно знания лишь абсолютного значения средней квадратической погрешности. Например, измерены три отрезка линий местности:

L 1 = 240 м с погрешностью m 1 = ± 0,15 м;

L 2 = 600 м с погрешностью m 2 = ± 0,53 м;

L 3 = 500 м с погрешностью m 3 = ± 0,29 м.

Если сравнивать средние квадратические погрешности, то наиболее точно измерен первый отрезок. Однако, здесь следует учитывать и длину измеряемого отрезка, т. е. отнести погрешность к величине длины самого отрезка.

В подобных случаях вводят понятие относительной погрешности, под которой понимают отношение абсолютной величины средней квадратической погрешности m к значению результата l измеряемой величины, т. е.

где N = l: m.

Для нашего примера относительные погрешности равны:

Сравнивая дроби, видим, что третье измерение является самым точным.

В значении абсолютной величины средней квадратической погрешности и в знаменателе относительной погрешности следует удерживать дветри значащие цифры.