Пусть имеется физическая величина (угол, отрезок линии, превышение и т. п.), точное (истинное) значение которой равно X.
Эта величина измерена равно точно N раз несколькими сериями и получены результаты, этих измерений, здесь i = 1, 2, 3,…, k номера серий измерений и их число; j =1, 2, 3,…, ni — номера измерений в каждой серии и их число.
Примем, что число измерений ni в каждой серии неодинаково, т. е.
(88).
Обозначим среднюю квадратическую погрешность результатов равноточных измерений через м. В каждой серии можно определить наиболее точное по вероятности значение результата xi, как среднее арифметическое из результатов равноточных измерений:
и их средние квадратические погрешности Величины xi результаты неравноточных измерений, для которых по условию (88). Возникает задача, как по результатам xi неравноточных измерений найти наиболее точное по вероятности значение измеряемой величины — X0.
Так как результаты равноточных измерений, то на основании (4.7), вероятнейшее значение X0 из этих результатов равно.
В свою очередь:
С учетом (93) равенство (92) перепишем в виде.
Подставим значения для ni в равенства (94), (97).
Величины (99).
называют весами результатов xi неравноточных измерений.
С учетом (99) выражение (98) примет вид Величину X0, вычисляемую по формуле (100) называют общей арифметической серединой, средним весовым, или средневзвешенным значением определяемой величины из результатов неравноточных измерений.
Величина общей арифметической середины не изменится, если все веса изменить в одинаковое число раз. Этим свойством следует пользоваться для упрощения вычислений. На практике общую арифметическую середину чаще всего вычисляют по формуле.
которая получена из следующих рассуждений. В ряду результатов xi неравноточных измерений выберем наименьший по абсолютной величине и примем его в качестве приближенного значения искомой величины, т. е.
Умножив обе части этого равенства на соответствующие веса pi, получим Найдем сумму уравнений (104) и разделим ее на [ pi ].
