Основы дисперсионного анализа

В настоящее время при статистической обработке результатов измерений и выявлении статистических закономерностей большую роль играют дисперсионный, корреляционный и регрессионный методы анализа. Особое место занимают, процедуры, объединенные общим названием «дисперсионный анализ». Основы дисперсионного анализа были разработаны в 1920—1930;х гг. английским ученым Р. Фишером. По идее Фишера, если результаты наблюдения зависят от некоторых независимых факторов и случайных причин, то возможно разделить вклады этих факторов, анализируя соотношения между дисперсиями, связанными с влияниями упомянутых факторов. А именно, общая дисперсия случайной величины разлагается на независимые случайные слагаемые, обусловленные действием независимых факторов, и остаточную дисперсию, обязанную своим возникновением ошибкам эксперимента. Решение о том, играет ли роль некоторый фактор, т. е. влияет ли он существенным образом на исход эксперимента, зависит от того, насколько значимой является составляющая дисперсии, обусловленная этим фактором по сравнению с дисперсией, обусловленной ошибкой эксперимента. Наиболее простым является случай, когда проверяется действие только одного фактора. Такая проверка осуществляется при однофакторном дисперсионном анализе.

Напомним в краткой форме основные положения однофакторного дисперсионного анализа.

Пусть t случайных величин Х_ь Х₂, …, Х_ь …, X_t распределены нормально с математическими ожиданиями MfXJ, М[Х₂], …, М[Х₍], …, M[X_t] и одинаковой для всех дисперсией а²[Х].

Задача заключается в том, чтобы проверить гипотезу равенства всех математических ожиданий. В этом случае нулевую гипотезу Н₀ можно представить в виде.

Альтернативная гипотеза Н₂ состоит в том, что хотя бы одно математическое ожидание не равно другим.

Мы уже рассматривали проверку гипотезы о равенстве двух математических ожиданий. Казалось бы, достаточно провести последовательное попарное сравнение математических ожиданий, чтобы решить поставленную задачу. Однако это не так. Предположим, что случайным образом оценка математического ожидания по одной из выборок оказалась существенно выше, а оценка по другой выборке ниже, чем по другим выборкам. Если ограничить рассмотрение только этой неблагоприятной парой, то легко допустить ошибку первого рода, отвергнув гипотезу о равенстве математических ожиданий. В то же время, если принимать во внимание все выборки, то крайние опенки могут рассматриваться как результат случайной природы выборок. Поэтому необходима процедура обработки результатов наблюдения как единой и целостной совокупности данных. Дисперсионный анализ как раз и является такой процедурой.

Предположим, что имеются ряды многократных наблюдений каждой из случайных величин^ (x_t, x_t ,…, х_{.,…, х_{), где i = 1, 2, …, t. Если.

12 J Щ

гипотеза Н₀ о равенстве всех математических ожиданий верна, то все.

t

ряды наблюдений можно рассматривать как результаты N =? Щ изме;

t=i.

рений одной и той же случайной величины X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М[Х] и дисперсией <�з²[Х]. Оценка математического ожидания этой величины равна.

где.

является оценкой математического ожидания, вычисленной по ряду, относящемуся к Х_{.

Рассмотрим сумму квадратов Q, характеризующую рассеяние величины X относительно ее общего среднего х:

Легко проверить, что величину Q можно представить в виде двух слагаемых:

где.

Величина Q₂ характеризует отклонение средних по каждому ряду x_t от общего среднего х. Иногда величину Q_x называют рассеиванием между сериями (рядами). Q₁ тем больше, чем больше отличаются друг от друга ряды наблюдений.

Величина Q₂ есть мера суммарного отклонения значений в каждом ряду от среднего по этому ряду х₍. Эту величину также называют рассеиванием внутри серий (рядов). Величинам Q, Q_: и Q₂ можно сопоставить оценки дисперсий:

зо.

Числа, стоящие в знаменателях, являются степенями свободы, которые равны объему выборки минус число параметров, которые были вычислены по той же выборке и которые входят в соответствующие формулы для Q, Qi и Q₂. Для Q объем выборки равен N (суммирование производится по всем элементам выборки), а число независимо вычисленных параметров — один (х). Для объем выборки равен t, единственным независимо вычисленным параметром также является (х). Наконец, для Q₂ объем выборки N, независимо вычислены t параметров (Xj).

Отношение.

подчиняется закону распределения Фишера с числом степеней свободы m₁=t-1 и m₂=N-t. Если установить уровень значимости ос, то по таблице распределения Фишера можно найти критическое значение F_a>т . Нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, если.

В противном случае она отвергается. Это значит, что рассеяние между рядами слишком велико, чтобы его можно было объяснить случайными причинами, вызывающими рассеяние внутри рядов.

С одним из рядов наблюдений может быть связан некоторый фактор, влияние которого интересует наблюдателя. Если в результате проведения дисперсионного анализа оказалось, что отличие математического ожидания такого ряда от математических ожиданий других рядов значимо, то можно сделать вывод, что упомянутый фактор оказывает существенное влияние на результаты наблюдений.

Пример 1.6

В магазине имеются четыре кассы. Были произведены многократные измерения времени, которое тратит покупатель для оплаты покупок, выбирая ту или иную очередь к кассам. Вопрос заключался в том, можно ли считать, что все кассиры работают одинаково хорошо (или плохо).

Поскольку основной разброс результатов связан с поведением покупателей, то разумно предположить, что дисперсия с²[Х] одинакова для всех очередей. Нет также оснований сомневаться в нормальности распределения времени прохождения очереди, поскольку оно зависит от многих случайных факторов. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей при этих условиях закон распределения можно считать нормальным. Таким образом, условия, необходимые для проведения дисперсионного анализа, выполнены. Таблица 1.4 результатов эксперимента приведена ниже.

Результаты измерения времени обслуживания покупателей.

х = 20,5 С В таблице указано время в секундах, которое потребовалось покупателю, чтобы расплатиться за покупку в кассе i (i = 1, 2, 3, 4) в опытах под номером; (/ = 1, 2,___, щ). Согласно таблице число опытов было разным (п₁ = 10;

п₂ = 6;п₃ = 8; п₄ = 9).

Решение

Используя формулы (1.36), (1.38) и (1.39), вычислим значения Q, Q_l5 и Q₂:

Число степеней свободы: т₂ = 3; т₂ = 30.

_ «л₉ 195 _л» 868.

Оценки дисперсии: of = —— = 65; of = ~ 29.

Значение рассчитанного критерия Фишера.

Критическое значение F_{a> m}, найденное по таблице распределения Фишера для a = 0,05, = 3, т₂ = 30, равно F_{0 05}.₃.₃₀ = 2,92. Поскольку.

F < F_a mum2, принимается гипотеза о равенстве математических ожиданий. Можно считать, что никто из кассиров не выделяется в лучшую или худшую сторону. Заметное отличие х_и нашедшее отражение в результатах эксперимента, с вероятностью 0,95 объясняется влиянием случайных факторов.