Кинетические модели классической плазмы

Метод проектирующих операторов в принципиальном плане позволяет наиболее просто представить себе процесс перехода к сокращенному описанию. Даже без выполнения всех необходимых вычислений становится понятной структура уравнений, описывающих эволюцию системы во времени для различных характерных стадий. Вместе с анализом характерных для системы временных масштабов этот подход позволяет последовательно прослеживать построение иерархии моделей по принципу «сверху вниз». Однако практически указанная схема перехода оказывается трудно реализуемой как из-за исключительной сложности выражений, стоящих в уравнении для р, так и вследствие необходимости задания полных начальных условий.

При развитии современной теории систем многих частиц установление сокращенного описания, т. е. формулирование управляющих уравнений, пошло по иному пути, при котором с самого начала исключается необходимость задания полного набора начальных условий для рассматриваемой системы, а центр тяжести при построении иерархии моделей переносится на установление определенных приближений на характер взаимодействия частиц между собой. Среди различных возможных вариантов построения управляющих уравнений наиболее строгим и физически прозрачным является подход, основанный на замене уравнения эволюции для полной функции распределения рдг (;с, г) цепочкой уравнений для так называемых частичных функций распределения.

В качестве примера рассмотрим построение иерархии моделей для описания эволюции системы, представляющей собой классическую плазму. Исходим из полного статистического описания системы с помощью /^-частичной функции распределения Pjv (x, Оэ ^в которой полный набор динамических переменных х = {х_ь …, Хдг} состоит из радиусов-векторов г, и импульсов Д всех частиц: / = 1, 2, …, N. Величины г_{ и /?, удовлетворяют системе канонических уравнений Гамильтона:

а функция /^(х, /) — уравнению Лиувилля.

где квадратными скобками, как и раньше, обозначены классические скобки Пуассона, которые в рассматриваемом случае записываются следующим образом.

Полная N-частичная функция распределения удовлетворяет условию нормировки, выражаемому соотношением (6.7).

Будем для простоты записи считать плазму однокомпонентной, подразумевая наличие однородного положительного компенсирующего фона. Нахождение сокращенного описания рассматриваемой системы основывается на построении редуцированных одно-, двухи так далее частичных функций распределения, уравнения для которых были бы значительно проще уравнения Лиувилля (3). В терминах проектирующих операторов одночастичная функция распределения / (г_1? р_ь /), зависящая от координат и импульса одной частицы плазмы, определяется соотношением.

где интегрирование проводится по координатам и импульсам всех частиц, кроме одной:

Аналогично, вводя проектирующие операторы Р_ъ Р₃, …, соответствующие интегрированию по координатам и импульсам всех частиц (кроме двух, трех и т. д.), можно определить двух-, трехчастичные функции распределения и т. д. Например,.

Эти функции распределения связаны между собой очевидным соотношением.

и нормированы соотношениями

Для получения уравнений сокращенного описания системы следует действовать операторами проектирования на полное уравнение эволюции (2) по схеме, описанной в предыдущем подразделе. Однако, как отмечалось выше, получил развитие несколько иной подход, заключающийся нс в записи двух уравнений для / = Р р" и fi = (- Р) p_Ni а в получении зацепляющейся цепочки уравнений для функций f = /[р_N, /₂ = Р₂рн и т. д. При этом уравнение для функции f₅ = P_sp_N не содержит* членов, соответствующих начальным условиям для функции f₅ = (1 — Р₅)p_N, и не содержит в явном виде «памяти», т. е. зависимости/ от запаздывающего временного аргумента, но зато содержит под знаком интегрального оператора следующую функцию цепочки f_s+, =P₅+Pn.

В справедливости изложенного нетрудно убедиться, если учесть структуру функции Гамильтона, которая в отсутствие магнитного поля имеет вид.

где, а ф, = ф/ (r_h /) — потенциал внешнего поля.

Уравнение для функции /₅[х_ь x_s, t) при учете (9) и (10).

в результате действия оператора Р₅ на обе части уравнения (2) имеет следующую структуру:

Уравнения (11) принимают более простой вид после предельного перехода N —"">, Г -«(c)о (V — объем системы) при сохранении постоянной плотности п = N/V:

Уравнения (12) образуют бесконечную систему интегро-дифференциальных уравнений, связывающих соседние многочастичныс функции распределения f₅ и /_i+1. В своей совокупности цепочка уравнений эквивалентна уравнению эволюции Лиувилля (2) и соответствует полному описанию системы. Эта бесконечная цепочка носит название иерархии уравнений ББГКИ, по именам Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда и Ивона, разработавших данный подход. Практически при построении иерархии моделей для описания свойств плазмы обычно используются только два первых уравнения цепочки для функций f и /₂, при определенном модельном выборе представления для функции /₃, входящей в уравнение для /₂. Подчеркнем, что при таком подходе «оборванная» цепочка уравнений для функций / и /₂ с самого начала является приближенной, в отличие от формально точного уравнения (19) в подразд. 2.7 для функции pj. В то же время по своей структуре эта оборванная цепочка гораздо проще, чем уравнение (19), в котором существенную трудность представляет даже запись в явном виде входящих в него слагаемых с учетом явного вида функции Гамильтона.

В случае уравнений для частичных функций распределения запись явных выражений для входящих в них слагаемых не представляет принципиальных трудностей.

Обрыв цепочки представляет собой самое тонкое место в статистической теории, так как его не удается произвести единым универсальным способом для различных конкретных случаев. В случае плазмы ее обрыв определяется физическим состоянием плазмы. Конкретная процедура обрыва цепочки уравнений для функций распределения определяется наличием малых параметров, определяющих иерархию временных масштабов. В простейшей модели однокомпонентной однородной классической плазмы, как мы видели, единственным независимым безразмерным параметром является который с помощью понятия радиуса экранирования кулоновского взаимодействия r_D (см. (3.17)) можно переписать в виде.

В случае у «с 1 соотношение (14) соответствует g 1 и означает, что число частиц в объеме шара радиуса r_D должно быть большим.

Рассмотрим сначала предельный случай g -«0. При этом по смыслу параметров у и g потенциальная энергия взаимодействия частиц мала по сравнению с энергией их хаотического движения, и частицы движутся независимо друг от друга. Двухчастичную функцию распределения можно приближенно считать равной произведению одночастичных функций:

и уравнение для f с помощью (9), (10) и (12) приводится к виду.

где под Ё понимается напряженность внешнего электрического поля. Уравнение (16) допускает простую физическую интерпретацию. Входящий в него интеграл является решением уравнения Пуассона для плотности зарядов, равной ejdpf (г', р t т. е. определяет электрическое поле, создаваемое частицами плазмы. Поэтому в уравнение (16) входит суммарное электрическое поле, равное суперпозиции внешнего поля, и поля, порождаемого частицами самой плазмы. Последнее называется самосогласованным полем, так как, влияя на одночастичную функцию распределения, оно само определяется этой функцией.

То же самое оказывается справедливым и при наличии внешнего магнитного поля. Магнитное поле в плазме также называется самосогласованным. Уравнение для одночастичной функции распределения / (р, г, /) в приближении самосогласованного поля имеет вид.

где Е и В — результирующие электрическое и магнитное поля, складывающиеся из внешних и самосогласованных полей, порождаемых частицами плазмы. Они удовлетворяют системе уравнений Максвелла:

где рэл и ] ^— плотности внешних зарядов и токов, а Рэ_Л и / определяются соотношениями.

В случае, когда рассматривается модель многокомпонентной плазмы, вводятся одночастичные функции распределения для каждого сорта частиц. В результате получаются уравнения типа (17) для каждого сорта частиц, а в формулах (19), определяющих заряды и токи, создаваемые частицами плазмы, проводится суммирование по всем сортам частиц.

Уравнение (17) было впервые предложено А. А. Власовым. Совместно с уравнениями (18) и (19) оно послужило основой для рассмотрения целого ряда явлений, связанных с распространением волн в плазмоподобных средах, включая такое экзотическое явление, как плазменное эхо.

Эти уравнения справедливы для спокойной (нетурбулентной) плазмы при у 1, когда корреляционные эффекты взаимодействия частиц не играют существенной роли, что позволяет выбрать приближение (15) для двухчастичной функции распределения. Они пригодны для исследования высокочастотных свойств классической плазмы, при которых частоты колебаний и волн в плазме удовлетворяют условиям.

где т_г — время релаксации в плазме, определяемое соотношением (19) из подразд. 2.2:

Учет корреляций во взаимодействии частиц плазмы приводит к необходимости более аккуратных приближений для двухчастичной функции распределения, что приводит к появлению в правой части уравнения (17) так называемого интеграла столкновений. Простейшее модельное приближение для интеграла столкновений имеет вид.

где f_Q(p) — равновесная максвелловская функция распределения:

В выражение (22), вообще говоря, входит полное время т релаксации в плазме, учитывающее не только релаксацию за счет парных столкновений частиц (описываемую выражением (21)), но и радиационную релаксацию за счет испускания и поглощения электромагнитных волн частицами плазмы. Процесс релаксации в плазме описывается выражением (22) только в общих чертах — тонкую структуру релаксации (например, зависимость от скорости частиц) она не передает. Более аккуратные приближения приводят к интегралу столкновений, учитывающему динамическую поляризацию плазмы.

Кинетическое уравнение с простейшим модельным интегралом столкновений (22) может использоваться для рассмотрения необратимых явлений в спокойной плазме — электропроводности, теплопроводности, диффузии. При этом для оценок можно использовать известные формулы элементарной кинетической теории газов. Например, для статической электропроводности о справедлива следующая оценка:

Используя выражение (21), находим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

При описании низкочастотных колебаний и волн в плазме, когда следует использовать кинетическое уравнение (17) с интегралом столкновений в правой части совместно с уравнениями Максвелла. Здесь возникает еще одна модель иерархии, которая, однако, может быть существенно упрощена при учете следующих обстоятельств. Условие (21), понимаемое в смысле предельного перехода т_г —> О, влечет за собой предельный переход / —> 0 для средней длины свободного пробега частиц. Действительно,.

и плазму можно рассматривать как непрерывную среду, отвлекаясь от ее корпускулярной структуры. Поэтому можно не рассматривать функций распределения, а достаточно пользоваться упрощенным гидродинамическим описанием, где основными понятиями и используемыми физическими величинами являются гидродинамическая скорость среды, ее плотность и давление, представляющие собой с математической точки зрения определенные моменты одночастичной функции распределения.

Гидродинамическое описание бывает возможным и в случае сот «1, в условиях, когда мал разброс тепловых скоростей частиц, т. е. для достаточно холодной плазмы. В этом случае скорость частиц совпадает с гидродинамической скоростью среды.

При рассмотрении многокомпонентной плазмы возникают дополнительные обстоятельства, которые следует учитывать при выборе адекватной модели системы. Как видно из выражения (21), время релаксации зависит от массы частиц, поэтому для легких частиц (электронов) релаксация происходит быстрее, чем для ионов. Вместе с тем вследствие большой разницы в массах электрона и иона обмен энергией между одноименными частицами происходит гораздо быстрее, чем между разноименными. Поэтому в системе термодинамическое равновесие устанавливается следующим образом: сначала между электронами, затем между ионами и только потом между этими двумя подсистемами. Отсюда возникает приближение двухтемпературной плазмы, когда электронная и ионная подсистемы в течение определенного времени характеризуются различными температурами.

Вследствие этих обстоятельств различают три времени релаксации: т_ее — в системе электронов, т_и — в системе ионов и т" — время установления равновесия между электронами и ионами. Эти времена связаны между собой соотношениями:

Квазиравновесные состояния электронов и ионов характеризуются различными температурами и различными средними гидродинамическими скоростями, поэтому в таком случае говорят о гидродинамике двухкомпонентной плазмы. В зависимости от частоты колебаний возможны различные соотношения между величинами (от_ее, сот, и ют,. Например, при выполнении условий плазму при рассмотрении таких колебаний следует рассматривать как двухкомпонентную среду (или многокомпонентную — при наличии различных ионов). Если же и on_w «1, то плазму можно считать однокомпонентной гидродинамической средой.

Задачи и упражнения.

• 1. Покажите справедливость уравнения (11) для 5-частичной функции распределения.
• 2. Объясните, как и при каких условиях из уравнения (И) следует уравнение (12).
• 3. С помощью соотношений (9) и (10) покажите, что из (12) следует

уравнение (16) для одчастичной функции распределения У](г, р, /) при /₂(*|. *2. ') = t)fl (x2, /).

• 4. Покажите, что интеграл, входящий в уравнение (16), является решением уравнения Пуассона для плотности заряда, создаваемого частицами плазмы.
• 5. Запишите уравнения (17), (18) и (19) в случае многокомпонентной плазмы.

Литература

: [15], [18].