Закон больших чисел. 
Предельные теоремы

На практике сложно сказать, какое конкретное значение примет случайная величина. Однако при воздействии большого числа различных факторов поведение случайных величин практически утрачивает случайный характер и становится закономерным. Этот факт очень важен, так как позволяет предвидеть результат опыта при воздействии большого числа случайных факторов.

Однако это возможно только при выполнении некоторых условий, которые определяются законом больших чисел. К законам больших чисел относятся теоремы Чебышева (наиболее общий случай) и теорема Бернулли (простейший случай), которые будут обсуждены ниже.

Если значения случайной величины X не отрицательны и она имеет математическое ожидание MX, то для любого е > 0 выполняется неравенство.

которое называется неравенством Маркова.

Если случайная величина имеет дисперсию DX, то справедливо неравенство Чебышева

Среднее число зарегистрированных правонарушений в год в данном районе равно 80. Оценить вероятность того, что в этом районе будет не более 100 правонарушений в будущем году.

Решение. Пусть X — число зарегистрированных правонарушений в течение года. По условию е = 100, MX = 80. Тогда в соответствии с неравенством Маркова можно вычислить

Пример 7.11

Месячное потребление электроэнергии в здании отделения полиции является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт • ч, а дисперсия составляет 2500 (кВт • ч)².

Оценить вероятность того, что в ближайший месяц расход электроэнергии в этом отделении будет составлять от 2500 до 3500 кВт • ч.

Решение. Требуется найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Крайние значения интервала отклоняются от математического ожидания MX = 3000 на одну и ту же величину, а именно на 500. Тогда можно записать с учетом неравенства Чебышева.

Отсюда получаем.

То есть искомая вероятность будет не меньше, чем 0,99. ?

Приведем закон больших чисел (теорему Чебышева) в упрощенной формулировке, пригодной для решения практических задач.

Пусть случайные величины i = 1, 2, …, п независимы и имеют одинаковые математические ожидания MX_t — а и дисперсии DX₍ = а², тогда справедливо.

из которого, при п —> °°, следует закон больших чисел

Содержание закона больших чисел заключается в том, что отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если п достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения среднего значения от его математического ожидания может быть сделана сколь угодно малой с ростом п.

Пример 7.12

В областную прокуратуру N-ской области поступило сообщение из налоговой инспекции о том, что руководство сельскохозяйственного кооператива «Южное» в Глуховском районе каждый год занижает в декларации количество выращенной и проданной пшеницы и, таким образом, платит меньше налогов, чем положено. Для определения урожайности поля кооператива площадью 200 га привлеченные прокурором Безбородовым компетентные эксперты Васькин и Мещеряков взяли выборку с каждого гектара этого поля. Известно, что по каждому гектару полей в районе дисперсия не превышает 2 ц2. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности, вычисленной экспертами, от средней урожайности не превосходит 0,2 ц.

Решение. По неравенству Чебышева искомая вероятность.

Пример 7.13.

Определить, сколько надо произвести замеров диаметров деревьев, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения не более чем на 2 см с вероятностью, не меньшей 0,95. Известно, что на данном участке среднее квадратическое отклонение диаметров деревьев не превышает 10 см.

Решение. Воспользуемся теоремой Чебышева, имея в виду, что е = 2, DX = = о² = 10², запишем.

откуда п > 500.

Следовательно, для достижения требуемой точности необходимо произвести не менее 500 измерений. ?

Частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли. Пусть имеется п повторных независимых испытаний с вероятностью успехар и неуспеха q = l-p, m — число успехов, п — число испытаний. Тогда для любого е > 0.

Отсюда следует закон больших чисел в форме Бернулли

Теорема Бернулли утверждает, что частость события, А стремится к его вероятности, так что при больших п отклонение частости т/п от вероятности р становится сколь угодно малым. Эта теорема в некотором смысле обосновывает статистическое определение вероятности.

Пример 7.14

1. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства — - р < 0,08 превысила 0,75, если вероятность появ;

п |.

ления данного события в отдельном испытании р = 0,8?

Решение. Имея в виду, что s = 0,08, q = 0,2, по теореме Бернулли получаем.

Р