Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схемой

Познакомимся с понятием непрерывной дроби. Непрерывной называют дробь вида.

Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цепной) схемы по типу рис. 10.1, а, в которой продольные сопротивления названы Z_1} Z₃, Z₅,…, а поперечные проводимости — Y₂, Y₄, Y₆,…, могут быть представлены непрерывной дробью.

Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к зажимам тп. Она равна.

Рис. 10.1.

Суммарная проводимость правой части схемы по отношению к зажимам тп с учетом ветви с проводимостью У₄ равна.

Входное сопротивление по отношению к тем же зажимам.

Входное сопротивление всей схемы равно.

Таким образом, возникает задача о переходе от (10.1) к (10.2), т. е. задача о последовательном упорядоченном определении элементов лестничной схемы (Z₁ ' %5> «•» ^2> У₄, У₆, …) по выражению (10.1).

С этой целью:

• 1) располагаем полиномы iV (p) и М (р) по убывающим либо по возрастающим степеням р;
• 2) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1 и меньше -1;
• 3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к расположению их по возрастающим степеням, то эта операция вполне допустима.

При делении полинома N на полином М будут получены частное Z_x и остаток О_г/М, т. е.

При делении М/0₁ будет получено частное У₂ и остаток Но.

Поэтому.

На основании изложенного процесс последовательного определения элементов можно представить следующей схемой:

Пример 112.

Определить параметры лестничных схем, для которых.

располагая сначала при делении полиномы по убывающим, а затем (для реализации второй схемы) по возрастающим степеням р. Как будет видно из дальнейшего, в процессе деления в обоих случаях не возникнет необходимости в переходе от расположения по убывающим к расположению по возрастающим степеням р.

Решение. Выполним деление, расположив слагаемые по убывающим степеням р:

На рис. 10.1, б изображена схема, где указаны значения индуктивностей (Гн) и емкостей (Ф), полученные при делении, когда слагаемые были расположены по убывающим степеням. Так как примеры имеют чисто иллюстративный характер, то не следует обращать внимание на то, что индуктивности и емкости в примерах достигают практически трудно осуществимых значений. Кроме того, реализуемые здесь Z (p) можно рассматривать как нормированные по частоте и значению (см. § 10.9). В этом случае от нормированных R_H, L_H, С_н параметров переходят к действительным, осуществить которые практически уже не составит труда.

Схема и параметры для второго случая, когда при делении слагаемые расположены по возрастающим степеням р, даны на рис. 10.1, в.

Рассмотрим пример, который является иллюстрацией того, что иногда в процессе деления возникает необходимость изменения порядка расположения слагаемых.

_т ~ 2р³ + 3р² +2р + 1

Требуется реализовать лестничной схемой Z (p) = ———^-^?-.

2р² +2р + 1.

Решение.

Так как получаем отрицательные слагаемые, дальнейшее деление прекращаем и переходим к расположению по возрастающим степеням:

На рис. 10.1, г изображена соответствующая схема.

В заключение отметим, что могут встретиться такие Z (p), которые невозможно представить лестничной схемой. В этом случае применяют второй способ реализации, описанный в параграфе 10.4 (второй способ применяют не только в случае невозможности представления Z (p) лестничной схемой). Если и он окажется неприменимым (например, при комплексных нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом Вруне (см. параграф 10.5) или другими методами.