Определение условий перехода от одного типа движений к другому. 
Хаос субгармоник

Рассмотрим теперь СК в схеме на рис. 15.54, а, когда в ней кроме ЭДС в виде меандра действует еще и постоянная ЭДС Е₀ (ключ К₂ замкнут, К± разомкнут).

Величину Е₀ будем в дальнейшем изменять от 0 до значения Е. Полагаем сначала, что все возникающие при этом типы движений будут устойчивыми.

Суммарная ЭДС в цепи е в положительный полупериод равна Е + Е₀, в отрицательный -Е + Е₀. Поэтому процесс перемагничивания и перезарядки в положительный полупериод происходит быстрее, чем в отрицательный. Для иллюстрации процессов временными графиками положим Е = 1,6 В; R = 0,4 Ом; т = 1 с; f_m = 1 В • с; q_m = 1 К.

На рис. 15.55, а—ж приведены изменения ЭДС е, |/, q, и_с, i в функции времени для нескольких значений Е₀: а — при Е₀ = 0,2; б — при Е₀ = 0,3; в — при Е₀ = 0,6; г — при Е₀ = 0,5; д — при Е₀ = 0,55; е — при Е₀ = 0,8; ж — при Е₀ = 1,2 В.

Используя построения и при других значениях Е₀, можно получить графики зависимости среднего за период субгармонического колебания Т_ск

^ Г_ск

значения заряда q_CK = — | qdt (рис. 15.55, а) и среднего за период СК по;

Тск 0.

^ Гек токосцепления нелинейной индуктивности j/_CK =— J jfdt (рис. 15.55, б).

^ск 0.

По оси абсцисс на рис. 15.55, а и б отложена постоянная составляющая напряжения на конденсаторе U_Ccp, которая в каждом рассматриваемом режиме равна постоянной ЭДС Е₀.

При Е₀ = Е (в примере при Е₀ = 1,6 В) q_cp становится равным q_m (в примере 1 К), |/_ср = p_m, a i_cp — равным нулю.

Зависимость q_cp = ДП_ср) имеет N-форму и в диапазоне значений Е₀ от Е/3 до Е — |/_т/т на этой зависимости имеется падающий участок.

Кривая |/_ср =/(Н₀) интересна тем, что при относительно малых значениях Е₀ потокосцепление |/_ср >0, а при больших Е₀ у_ср < 0. При дальнейшем увеличении Е₀ (при Е₀ >1,5 В) |/_ср снова становится положительным.

На зависимости |/_ср =/(Е₀) в той же области значений Е₀ также имеется падающий участок.

Так как в схеме на рис. 15.54, а есть нелинейный конденсатор НК, то среднее значение тока за период Т_ск равно нулю. Период Т_ск зависит от величины Е₀ (см. рис. 15.55, в). При плавном увеличении Е₀ он то увеличивается, то уменьшается.

Каждое очередное изменение периода вызвано невозможностью сохранять смену состояний, которая характерна при меньшем значении Е₀. Первое увеличение период от 6 т до 8 т происходит при Е₀ = 0,2 В. Из сопоставления рис. 15.55, а и б видно, что при Е₀ < 0,2 В во второй отрицательный полупериод заряд НК успевает измениться до значения -q_m. Благодаря этому в третий отрицательный полупериод НК оказывается подготовленным к принятию на себя отрицательного напряжения -Е + Е₀. Если же Е₀ будет больше 0,2 В, например 0,3 В (см. рис. 15.55, б), то к концу второго отрицательного полупериода заряд q не успевает достичь значения -q_m, и потому НК оказывается не подготовленным к принятию на себя отрицательного напряжения в третий отрицательный полупериод. Это и вызывает затягивание процесса.

Рис. 75.55.

На рис. 15.55, а показан режим непосредственно до перехода от Т_ск = = 6 т к Г_ск = 8 т.

Для аналитического определения значения Е₀, при котором происходит первое изменение периода (с 6 т до 8т), учтем, что за время (2т — Д?_х) в два первых отрицательных полупериода (см. рис. 15.55, а) потокосцепление изменяется на 2j/_т, а за время At₁ заряд изменяется на 2q_m.

Следовательно,.

Отсюда.

Второе изменение периода (с 8 т до 6т) происходит при Е₀ = 2[/_т/т — - Е = 0,4 В. Объясняется это тем, что во второй положительный полупериод (см. рис. 15.55, б) за время т потокосцепление изменяется на.

Отсюда.

Третье изменение периода (с 6 т до 4т) происходит при Е₀ = Е/3. Это соотношение получаем, исходя из того, что всплески токов на рис. 15.55, г имеют место только за время Atj и At₂. Изменения заряда по абсолютной величине равны, поэтому.

Здесь.

Увеличение периода с 4 т до 8 т имеет место при Е₀ = 0,6 В. Это увеличение обусловлено тем, что за два отрицательных полупериода вольтсекундная площадь (Е — Е₀) 2 т равна 2|/_т.

Последующие изменения периода происходят при Е₀ = Е/2,.

• ?о = ?-|—, Е₀ = ?₀ = ?-|— И т. д.
• 3 т 2 т 5 т

Таким образом, при плавном увеличении Е₀ период субгармонических колебаний меняется скачками, а сами колебания становятся то четного, то нечетного порядка.

За исключением области значений Е₀ от Е/3 до Е — |/_т/т, колебания при взятых сочетаниях параметров оказываются устойчивыми. Можно взять начальные условия существенно отличающимися от тех, которые должны быть к началу установившегося режима, и через некоторое относительно небольшое время режим становится таким, каким он был до получения возмущения. Процесс возвращения к установившемуся режиму иллюстрируется левой частью рис. 15.55, б.

Воспользуемся рис. 15.56, а—в, кривыми на рис. 15,55 а — ж и соотношениями, связывающими Е₀, Е, |/_т/(тЕ) и q_mR/(xE) в каждом интервале изменения Е₀ на рис. 15.55, для построения областей возможных типов движений в схеме на рис. 15.54, а, изображенных на рис. 15.56, г. При n_q/2 > 0,5 (см. рис. 15.56, г) субгармонические колебания отсутствуют. Наклонные прямые, отделяющие соседние области, построены по уравнению.

Рис. 15.56.

Цифры на рис. 15.56, г указывают порядок возникающих СК. Область, заключенная между прямыми а = 1 и а = 0,875, соответствует СК третьего порядка; между прямыми а = 0,875 и а = 0,75 — СК четвертого порядка и т. д.

При определении граничных значений а исходим из того, что для рассматриваемых на рис. 15.55 типов движений изменение заряда нелинейной емкости только в предельном случае может достигать значения 2q_m. Граничное значение а = 1 следует из условий существования СК, рассмотренных в начале параграфа 15.70. Значение а = 0,875 соответствует скачкообразному изменению Т_ск/т на рис. 15.56, в при Е₀ = 0,2, когда при Е = 1,6 постоянная ЭДС Е₀ = Е- j/_m/x — q_mR/T. Отсюда.

Граница перехода от СК четвертого порядка к СК третьего порядка (Е₀ = 0,4, а = 0,75) определена с учетом того, что за время т + х под действием напряжения Е — Е₀ потокосцепление уменьшается со значения +ц/_т до значения -|/_т.

Отсюда.

За время т + х заряд в пределе может измениться на величину 2q_m

Е-Ес

при протекании через нелинейный конденсатор тока-т. е.

R

Поэтому.

В интервале значений Е₀ от Е/3 до Е — !_т/т режим работы цепи неустойчив — рабочая точка находится на падающих участках кривых q_cр =/(П_ср) и j/_cp =/(П_ср). Вместо СК второго порядка в цепи возникает хаос. В макросмысле рабочая точка при хаосе будет перемещаться по штриховой линии на рис. 15.56, а.