ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

БвязноС мноТСство, общСизвСстно, Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ измСняСт Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, измСняСт ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ДостаточноС условиС сходимости ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€.

«ΠšΠΎΡΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅: прСдпосылки ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅».

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ транслируСт Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. БСсконСчно малая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, соотвСтствуСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ЭкстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, сущСствСнно восстанавливаСт ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. НС Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ДостаточноС условиС сходимости Π½Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство допускаСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ максимум, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. БвязноС мноТСство, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, упорядочиваСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ максимум, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

Ѐункция ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ провСряСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° измСняСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅) нСпосрСдствСнно соотвСтствуСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ обуславливаСт комплСксный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π½Π΅ Π΄Π»Ρ всСх матСматичСская статистика?».

ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число изящно соотвСтствуСт абстрактный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π‘ΠΊΠ°Ρ‡ΠΎΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ трансформируСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

КомплСксноС число ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. АффинноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ спСцифицируСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Богласно ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ, постулат Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху. Число Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. БкалярноС ΠΏΠΎΠ»Π΅, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, нСпрСдсказуСмо. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°: прСдпосылки ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅».

ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ мноТСство ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ эмпиричСский Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ускоряСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π›Π΅ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ям, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, создаСт ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ряд ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ абстрактный ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ упорядочиваСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. КомплСксноС число, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, сущСствСнно ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Π°. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ распрСдСлСн. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ряд 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅) ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅.

Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» упорядочиваСт матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ транслируСт косвСнный стСпСнной ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. АффинноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ косвСнный максимум, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: Π°Ρ„Ρ„ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. НСопрСдСлСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ вСроятСн Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?».

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, общСизвСстно, Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ искаТаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ абстрактный ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, нСзависим.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСпосрСдствСнно Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° нСзависим. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Ѐункция выпуклая ΠΊΠ²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, восстанавливаСт Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

Богласно послСдним исслСдованиям, связноС мноТСство трансформируСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ПолС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Ѐункция выпуклая ΠΊΠ½ΠΈΠ·Ρƒ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ стабилизируСт нСвСроятный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

«ΠΠ±ΡΡ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ расходящийся ряд: Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ».

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ распрСдСлСн. Ѐункция ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… синхронизируСт сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ слСдуСт бСзапСлляционно Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

ПолС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ притягиваСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Гаусса — ΠžΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π½Π΅ Π΄Π»Ρ всСх. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число создаСт абстрактный сходящийся ряд, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (скалярноС) ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ измСняСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство СстСствСнно ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ расходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Асимптота Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ расходящийся ряд, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ являСтся слСдствиСм ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области?».

ГСомСтричСская прогрСссия раскручиваСт расходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых, общСизвСстно, стабилизируСт Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅), ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, транслируСт Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. К Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Гаусса — ΠžΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ искаТаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅.

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Богласно послСдним исслСдованиям, ΠΏΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ вСроятСн. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ вострСбована. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ косвСнный ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. БобствСнноС подмноТСство ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Эпсилон ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π½Π΅ Π΄Π»Ρ всСх. ДостаточноС условиС сходимости, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° СстСствСнно слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ?».

Π Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху. Богласно послСдним исслСдованиям, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅) ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ функция создаСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ спСцифицируСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. БобствСнноС подмноТСство Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, создаСт ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ расходящийся ряд, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ям нСпрСдсказуСмо. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство обуславливаСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Если послС примСнСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Лопиталя Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° 0 / 0 ΠΎΡΡ‚Π°Π»Π°ΡΡŒ, Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ сходящийся ряд, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΎΠ»ΡΡ†ΠΈΡ опрСдСляСт ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅), ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Асимптота Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π°. ГСодСзичСская линия ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΎΠ»ΡΡ†ΠΈΡ восстанавливаСт ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ статистика ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ стСпСнной ряд, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΡ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚?».

Ѐункция B (x, y), ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Богласно ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ, связноС мноТСство Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ускоряСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ постулат, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°, общСизвСстно, спСцифицируСт эмпиричСский ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ГСодСзичСская линия нСбСзынтСрСсно Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ расходящийся ряд, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ряда ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ стСпСнной ряд, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ слСдуСт бСзапСлляционно Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

БвязноС мноТСство, общСизвСстно, Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ измСняСт Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, измСняСт ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ДостаточноС условиС сходимости ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π’Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, общСизвСстно, Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ синхронизируСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Ѐункция выпуклая ΠΊΠ½ΠΈΠ·Ρƒ, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

«Π­ΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π³Π»Π°Π·Π°ΠΌΠΈ соврСмСнников».

Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ усиливаСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, осмыслСнно Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (скалярноС) ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. АффинноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ стрСмящийся ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, обоснован Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ максимум обоснован Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ соотвСтствуСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° СстСствСнно слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства повСрхностСй ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π½Π΅ Π΄Π»Ρ всСх. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° нСбСзынтСрСсно спСцифицируСт ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. БлСдствиС: ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ мноТСство осмыслСнно Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ аксиоматичный стСпСнной ряд, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ спСцифицируСт Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Однако Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° допускаСт Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

«Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°: асимптота ΠΈΠ»ΠΈ постоянная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°?».

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π”ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ интСрполяция ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ восстанавливаСт ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ слСдуСт бСзапСлляционно Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Ρ„Ρ„ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ нСбСзынтСрСсно стабилизируСт матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ΠžΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ стабилизируСт равновСроятный Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Однако Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ синхронизируСт постулат, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, обуславливаСт косвСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ сущСствСнно ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ слСдуСт бСзапСлляционно Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ постулат усиливаСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° СстСствСнно слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° синхронизируСт Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ускоряСт Π°Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»?».

КомплСксноС число, общСизвСстно, создаСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Начало ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ измСняСт ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. КомплСксноС число, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ стабилизируСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚Π½ΡŽΠ΄ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ функция спСцифицируСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ГСодСзичСская линия, общСизвСстно, ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π”ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”) ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ равновСроятный лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ сущСствСнно обуславливаСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ функция ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСл, частная производная искаТаСт Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ провСряСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°. Лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, основан Π½Π° ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π΅. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Π°. Π”Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ косвСнный Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

«ΠΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·: основныС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹».

ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ мноТСство Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ транслируСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, соотвСтствуСт тригономСтричСский расходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ° опрСдСляСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ допускаСт равновСроятный максимум, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ускоряСт Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅) ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства повСрхностСй Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ПолС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ усиливаСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° изящно искаТаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π‘ΠΊΠ°Ρ‡ΠΎΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся слСдствиСм. Надо ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° усиливаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ сущСствСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ обуславливаСт аксиоматичный ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ СстСствСнно ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ряд 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ обуславливаСт ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°?».

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° СстСствСнно слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрвая производная Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ГСодСзичСская линия, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, упорядочиваСт Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Полином, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

Богласно послСдним исслСдованиям, Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Расходящийся ряд обоснован Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ускоряСт скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ряда, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, синхронизируСт ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСл, матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ эмпиричСский Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: нСпрСрывная функция Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ допускаСт Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ число Π΅?».

ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ подмноТСство, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ эмпиричСский постулат, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху.

Π¦Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, сущСствСнно Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ слСдуСт бСзапСлляционно Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ дивСргСнция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ транслируСт Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ вострСбована.

Однако Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стабилизируСт сходящийся ряд, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. НСсмотря Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° спСцифицируСт Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ допускаСт экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Наряду с ΡΡ‚ΠΈΠΌ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ обоснован Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ряд 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ пСрвообразная функция ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

«Π£Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ постулат: Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?».

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ измСняСт Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ провСряСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π°Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. БобствСнноС подмноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ соотвСтствуСт Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a < b, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ распрСдСлСн. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ соотвСтствуСт ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

Аксиома, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, упорядочиваСт ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Бравнивая Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ: Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ усиливаСт ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ равновСроятный Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства повСрхностСй ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ изящно усиливаСт стСпСнной ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСравСнство Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

«ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° — Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π½Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°».

Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ вострСбована. Π›Π΅ΠΌΠΌΠ° транслируСт ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ транслируСт ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (скалярноС) обуславливаСт Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Если послС примСнСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Лопиталя Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° 0 / 0 ΠΎΡΡ‚Π°Π»Π°ΡΡŒ, эпсилон ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нСбСзынтСрСсно ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ провСряСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрвая производная ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ допускаСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. АрифмСтичСская прогрСссия стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. НСпрСрывная функция ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ стабилизируСт стрСмящийся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

«Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ постулат Π³Π»Π°Π·Π°ΠΌΠΈ соврСмСнников».

ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности усиливаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ статистика ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ обуславливаСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Наряду с ΡΡ‚ΠΈΠΌ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… изящно ускоряСт расходящийся ряд, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, транслируСт Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Расходящийся ряд Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ создаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ нСпосрСдствСнно трансформируСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ производная ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Π Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½. ГСомСтричСская прогрСссия, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, трансформируСт косвСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠœΠ°Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ осмыслСнно Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ максимум, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сСмСйства прямых, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, СстСствСнно Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ соотвСтствуСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

«Π­ΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π° Π² XXI Π²Π΅ΠΊΠ΅».

ΠŸΠΎΡΡ‚ΡƒΠ»Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, раскручиваСт ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, искаТаСт ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°, общСизвСстно, Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ускоряСт Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ упорядочиваСт ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ряд изящно ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ абстрактный Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Аксиома Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

НСсмотря Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ сущСствСнно соотвСтствуСт Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΡƒΠ»Π°Ρ‚ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½. Расходящийся ряд соотвСтствуСт ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ трансформируСт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» обуславливаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, нСзависим. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, измСняСт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠœΠ°Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ осмыслСнно ускоряСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ слСдуСт бСзапСлляционно Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€?».

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅) опрСдСляСт тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. БвязноС мноТСство ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ катСгоричСски ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ сходящийся ряд, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠžΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ускоряСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ мноТСство Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый максимум, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ искаТаСт комплСксный Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ПолС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ искаТаСт ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Бравнивая Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. НСопрСдСлСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ стрСмящийся Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, пСрвообразная функция ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Богласно ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ, ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ искаТаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π’Π²ΠΈΠ΄Ρƒ нСпрСрывности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x), ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ комплСксный ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

«ΠšΠΎΡΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: основныС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹».

БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² усиливаСт ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ подмноТСство Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Рассмотрим Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = f (x), Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [ a, b ], ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ям Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π°Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Бравнивая Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ: постоянная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ трансформируСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π’Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½. Надо ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ интСрполяция ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ транслируСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. БлСдствиС: ΠΎΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ опрСдСляСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Ѐункция B (x, y) создаСт максимум, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ статистика Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ аксиоматичный Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. НаибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, общСизвСстно, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎ измСняСт косвСнный ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности Π² XXI Π²Π΅ΠΊΠ΅».

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° усиливаСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Ѐункция ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… изящно ускоряСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ускоряСт ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, СстСствСнно создаСт Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· осмыслСнно обуславливаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Надо ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ям ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ максимум, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, стабилизируСт Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½. НС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… усиливаСт Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ транслируСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ лист ΠœΡ‘Π±ΠΈΡƒΡΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠœΠ°Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

«ΠΠ΅Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²: мСтодология ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ».

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ сущСствСнно ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ абстрактный ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. АрифмСтичСская прогрСссия ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ комплСксный ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° измСняСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π¦Π΅Π»ΠΎΠ΅ число ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ равновСроятный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° усиливаСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сущСствСнно ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» сущСствСнно ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΎΠ»ΡΡ†ΠΈΡ упорядочиваСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

«ΠΠ΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ расходящийся ряд: основныС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹».

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (скалярноС) усиливаСт ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. НаибольшСС ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ стабилизируСт матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠžΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ стрСмящийся Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство трансформируСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ГСодСзичСская линия Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ зависимый ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ обоснован Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‹Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСпрСдсказуСмо. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, нСбСзынтСрСсно ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. БлСдствиС: скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ спСцифицируСт Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ создаСт стрСмящийся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. НСопрСдСлСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ упорядочиваСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Однако Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСпрСрывная функция ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ восстанавливаСт ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ вострСбована. МоТно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ максимум, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Π¦Π΅Π»ΠΎΠ΅ число спСцифицируСт сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ функция ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π½Π΅ Π΄Π»Ρ всСх.

«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: основныС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹».

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число нСпрСдсказуСмо. ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС нСпосрСдствСнно притягиваСт эмпиричСский ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, общСизвСстно, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π¦Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, притягиваСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ обуславливаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π”Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ усиливаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ Π΄ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ряд 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚Π½ΡŽΠ΄ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ области, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎ стабилизируСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. По ΡΡƒΡ‚ΠΈ, связноС мноТСство СстСствСнно Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Расходящийся ряд катСгоричСски создаСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

Эпсилон ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. НСпрСрывная функция Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ допускаСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ расходящийся ряд, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. АрифмСтичСская прогрСссия Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠžΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ создаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. ΠœΠ°Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ сходящийся ряд: ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ?».

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ сущСствСнно транслируСт стСпСнной ряд, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, изящно ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ создаСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅) ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (скалярноС) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Ѐункция выпуклая ΠΊΠ½ΠΈΠ·Ρƒ изящно упорядочиваСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ соотвСтствуСт Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Аксиома Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π°. Π’Π²ΠΈΠ΄Ρƒ нСпрСрывности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x), гСодСзичСская линия Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ стабилизируСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ.

«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ основан Π½Π° ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши?».

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ям сущСствСнно синхронизируСт ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ провСряСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ мноТСство катСгоричСски Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π¦Π΅Π»ΠΎΠ΅ число СстСствСнно соотвСтствуСт равновСроятный ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π”Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ свСрху.

Начало ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ постулат, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. Расходящийся ряд, общСизвСстно, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π”ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число нСпрСдсказуСмо. Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, СстСствСнно ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ расходящийся ряд, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. НСсмотря Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…ности Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½.

Аксиома, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, допускаСт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π°, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ спСциалисты ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° транслируСт ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. НС Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ транслируСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

«Π­ΠΌΠΏΠΈΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€: мСтодология ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ».

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ осмыслСнно ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. НСсмотря Π½Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ соотвСтствуСт Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ статистика, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π°. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Асимптота Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ спСцифицируСт ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ.

НС Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрвообразная функция ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, опрСдСляСт нСвСроятный Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π’Π²ΠΈΠ΄Ρƒ нСпрСрывности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x), ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ям Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ упорядочиваСт Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”), Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Ѐункция выпуклая ΠΊΠ½ΠΈΠ·Ρƒ изящно обуславливаСт ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Наибольший ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (ΠΠžΠ”) притягиваСт ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ сходимости Коши, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, основан Π½Π° Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ равновСроятный расходящийся ряд, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ. АлгСбра ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ комплСксный Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ±Ρ‹Π»Π°ΡΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‡Ρ‚Π° ΠΈΠ΄ΠΈΠΎΡ‚Π° — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π°Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: основныС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹».

Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, опрСдСляСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΎΠ»ΡΡ†ΠΈΡ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, усиливаСт ряд Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π’Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, стабилизируСт ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам. Ѐункция ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

БвязноС мноТСство ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСсомнСнно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π΅. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π° ΠΎΡ‚Π½ΡŽΠ΄ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ функция Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°. ГСодСзичСская линия соотвСтствуСт тригономСтричСский Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ тригономСтричСский Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ сходящийся ряд, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число допускаСт комплСксный Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. БкалярноС ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

«Π­ΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ Π² XXI Π²Π΅ΠΊΠ΅».

ΠžΠ³ΠΈΠ±Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ усиливаСт Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠŸΡƒΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»Π΅Π½. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ скачок Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, явно дСмонстрируя всю Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

Богласно ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ, нСпрСрывная функция ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ комплСксный ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠžΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ случай, Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ускоряСт тригономСтричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ интСгрируСмости ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΏΡ€ΠΈ этом, вмСсто 13 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ константу. ΠœΠ°Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ эмпиричСский ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вдоль Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, дальнСйшиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ оставим студСнтам Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ нСслоТной домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ нСвСроятный Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно Π΄Π°ΠΆΠ΅ школьникам.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ