Необходимые условия оптимальности в задаче со свободным правым концом

Теорема 3. Пусть (оптимальный процесс в задаче оптимального управления, функции, и их частные производные по непрерывны в множестве, где окрестность множества, а функция (условие гладкости).

Тогда выполнено условие оптимальности по :

где единственное решение дифференциального уравнения.

с краевым условием.

).

Правило решения задачи оптимизации со свободным правым концом и фиксированным временем

1. Составить уравнения для сопряженных переменных p (t):

2. Выписать краевые условия для сопряженных переменных (условие трансверсальности).

).

3. Выписать необходимое условие оптимальности процесса по управлению.

Находим допустимые управляемые процессы, для которых выполнены условия оптимальности с ненулевым набором множителей Лагранжа л и .

5. Найти решение или доказать, что его нет.

Применение принципа максимума Понтрягина к решению поставленной задачи

Для решения задачи (3)-(6) применим принцип максимума Понтрягина:

1)Выпишем сопряженные уравнения:

=(вI (t)+м (t))-вI (t).

=вS (t)+(-вS (t)+м (t))+C1.

2)Выпишем условие трансверсальности:

• (T)=0, i=1,2
• 3)Впишем условие оптимальности по управлению:

м (t)+м (t)S (t)+м (t)I (t) >, или.

(11).

Обозначим:

G (t)=).

Функцию G (t) будем называть функцией переключения.

Из условия (5) следует, что оптимальное управление имеет следующую структуру м=t?((12).

м принимает значение если принимает отрицательные значения.

м принимает значение 0, если принимает положительные значения.

м принимает значение, если равно 0 на некотором интервале времени. В этом случае управление называется особым.