Введение. 
Основы математической логики

Логика не изучает чувственные формы познания, она изучает формы абстрактного мышления. формальный логика функция Изучение логики развивает ясность и четкость мышления; способность предельно уточнять предмет мысли; внимательность, аккуратность, обстоятельность; убедительность в суждениях, умение абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли.

Овладевший знаниями и навыками логического мышления всегда понятен окружающим, потому что исключает всякую расплывчатость в деловом разговоре, неоднозначность в составлении деловых бумаг, бессистемность в обработке информации.

Главная задача логики состоит в том, чтобы выявить, какие способы рассуждения правильные, а какие нет.

Основные понятия формальной логики

Математическая (формальная) логика — это наука, которая занимается анализом суждений и доказательств, используемых человеком для обоснования нового знания, произведенного из установленных фактов?.

В логике используется специально созданный формализованный язык, подчиняющийся своей системе анализа. Можно считать, что логика ищет и исследует схемы рассуждений, которые верны в силу одной их формы, независимо от содержания?. Фактически, логика — это множество правил манипулирования формулами, представляющими формы рассуждений с игнорированием их смысла.

Отвлечение от содержания предложений языка в формальной логике есть результат применения операции абстрагирования? к рассуждениям естественного языка. Абстрагирование является основным этапом при построении математической модели, оно широко используется в науке для выборочного исследования некоторых аспектов исследуемой проблемы. Цель абстрагирования — выделение тех аспектов, которые существенны для исследования и решения проблемы и игнорирование тех аспектов, которые несущественны, усложняют проблему, делают анализ менее общим или вообще невозможным.

При научном подходе, на уровне рационального исследования, мы имеем дело не с материальными объектами во всем многообразии их свойств, а с абстракциями от материальных объектов. Реальные объекты и ситуации обычно бесконечно сложны, и абстракция применяется для того, чтобы ограничить эту сложность, дать возможность принимать решения.

С помощью абстрагирования человек строит формальные модели самых разнообразных по своей природе понятий, процессов и явлений, сущностей реального мира. Такие формальные модели, будучи построенными, далее допускают анализ и преобразование с помощью формальных же средств: абстракции сами могут быть исследованы с точки зрения их свойств (структура, элемент, отношение, и т. д.), и при таком анализе исследователь может отвлечься от окружающей реальности, оставаясь в рамках построенной им знаковой системы.

Формальные модели позволяют выразить некоторые свойства объекта в точных терминах математических определений и аксиом так, что затем можно «вывести» свойства этой модели, которые объяснят известные и предскажут новые свойства исследуемой реальной сущности. Именно на основе научного подхода к решению инженерных проблем получено бессчетное число впечатляющих результатов в технике, в связи с чем давно укоренилась поговорка «Нет ничего более практичного, чем хорошая теория».

Получая в результате анализа моделей какие-либо выводы, исследователь пытается применить эти результаты к той области реального мира, отображением которой является модель, построенная в результате абстракции. Поскольку все абстракции неполны и неточны, можно говорить только о приближенном соответствии с реальностью тех результатов, которые получены исследованием на моделях.

Соответствие законов движения, связей и отношений объектов модели соответствующим элементам реального мира называется адекватностью, и степень адекватности определяет, применимы ли такие результаты к конкретной проблеме в реальном мире. Часто адекватность модели определяется рядом условий и ограничений на сущности реального мира, и для того, чтобы использовать результаты анализа, полученные на модели, необходимо тщательно проверять эти ограничения и условия (или обеспечить их выполнение).

Логика изучает формы мышления и способы их выражения в языке.

Формальная математическая логика решает проблемы проверки правильности рассуждений в естественном языке (реальный мир), строя свои модели и правила их преобразования. Для этого логика вводит свои языки — систему формальных обозначений (формулы) и правила их преобразования.

Поэтому логику можно рассматривать как множество правил манипулирования формулами, описывающими утверждения естественного языка?. В результате конкретизации (интерпретации) результатов и выводов формальной логики (новых полученных формул) мы получаем новые предложения естественного языка, можем оценить свойства исходных предложений и т. д. Следует ясно понимать, однако, при каких ограничениях выводы, полученные с помощью формализма математической логики, мы можем использовать в реальной жизни — тогда и только тогда когда выполнены ограничения, обеспечивающие адекватность модели.