Цифровые устройства. 
Архитектура электронных вычислительных машин на базе микропроцессора

В цифровых автоматических системах принят алфавитный способ задания информации. Символы, из которых состоит алфавит, называют буквами. Конечные последовательности букв алфавита называют словами. Число букв в слове называется длиной слова. В алфавите из m букв можно получить mk различных слов длиной k.

Любой дискретный преобразователь информации можно представить в виде устройства, на вход которого поступают слова из букв входного алфавита, а на выходе образуются слова из букв выходного алфавита. Процесс преобразования информации в таком устройстве сводиться к установлению соответствия между входными и выходными словами. Такое определенным образом заданное соответствие называется алфавитным оператором. Алфавитные операторы, задаваемые на основе конечной системы правил, принято называть алгоритмом.

Отличительная особенность функционирования цифрового автомата определяется его двумя свойствами:

• 1. автомат имеет конечное множество внутренних состояний;
• 2. переход автомата из одного состояния в другое, происходит скачкообразно. Скачкообразность перехода позволяет рассматривать его как мгновенный. Такая абстракция хорошо описывает основные свойства реальных автоматов и поэтому принята при построении их теории. Для учета же присущей реальным устройствам инерционности вводится ограничение в условие работы цифровых автоматов: после изменения состояния автомата переход его в следующее состояние возможен не ранее, чем через фиксированный для данного автомата промежуток времени, называемый интервалом дискретности (такт). Это обстоятельство позволяет рассматривать функционирование автомата в так называемом дискретном автоматном времени, принимающем целые значения t = 0, 1, 2, …, n … .

Изменения состояний автомата вызываются входными сигналами, а результат работы автомата фиксируется формированием выходного сигнала.

При описании алгоритма функционирования автомата задаются:

1. множество букв входного алфавита автомата.

U = {u} = {u1, u2, …, un};

2. множество букв выходного алфавита автомата:

V = {v} = {v1, v2, …, vn};

множество букв алфавита его внутренних состояний:

W = {w} = {w1, w2, …, wn}.

Одно из состояний w0 выделяется в качестве начального; в момент t = 0 автомат всегда находится в начальном состоянии.

На перечисленных множествах необходимо задать функцию переходов и функцию выходов.

Функция переходов определяет состояние автомата w (t+1) в момент t+1 в зависимости от его состояния w (t) и входного сигнала u (t+1):

w (t+1) = ш[w (t), u (t)].

Функция выходов определяет выходной сигнал v (t). Она может быть задана несколькими способами. Если выходной сигнал в момент t определяется только состоянием автомата в этот момент, т. е.

v (t) = ц (w (t)), (3.1).

то такой автомат называют автоматом Мура. Если же выходной сигнал зависит не только от состояния автомата, но и от входного сигнала, то есть.

v (t) = ц (w (t), u (t)), (3.2).

то такой автомат называют автоматом Мили.

Два цифровых автомата называются эквивалентными, если совпадают их входные и выходные алфавиты и для любого входного слова совпадают их выходные слова. В теории цифровых автоматов доказывается, что для всякого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура. Это обстоятельство позволяет рассматривать только автоматы одного вида — автоматы Мура; законы их функционирования выражаются в более компактной форме.

Частным случаям дискретных автоматов, находящих широкое применение, является автомат без памяти, называемый комбинационной схемой. Сигнал на выходе комбинационной схемы в момент t согласно (3.2) однозначно определяется значением входного сигнала в тот же момент времени.

v (t) = ц (u (t)).

Если в общем случае при N значениях входного сигнала и L внутренних состояниях автомата максимальное число возможных выходных сигналов Мmax=N L, то в автоматах без памяти Мmax=N. В этом смысле можно считать, что комбинационные схемы имеют только одно внутреннее состояние (L=1), являющееся неизменным.

При практическом применении цифровых автоматов важное место занимает простейшее (побуквенное) преобразование, заключающееся в замене каждой буквы исходного алфавита определенной комбинацией букв нового алфавита, имеющей одинаковую для всех букв длину. С помощью простейших взаимно однозначных преобразований информацию, заданную в любом конечном алфавите, можно записать в алфавите, содержащем только две буквы. Такой алфавит называется стандартным двухбуквенным или двоичным, а две его буквы обозначаются нулем и единицей.

Двоичная переменная (у), значения которой зависят от значений других двоичных переменных (х1, х2, …, хр), именуемых аргументами называется переключательной (двоичной, булевой) функцией:

у=у (х1, х2,, хр).

Задание двоичной функции означает, что каждому из возможных сочетаний (наборов) её аргументов х1, х2, …, хр поставлено в соответствие определенное значение у. Функции считаются различными, если значения у отличаются по крайней мере для одного набора аргументов. При р аргументах полное число P их различных наборов P=2р. Поскольку каждому из наборов может соответствовать два значения у (0 или 1), то общее число F различных функций р аргументов.

. (3.3).

Наборы аргументов принято нумеровать: при этом условливаются, что номера наборов совпадают со значениями двоичных чисел, разрядами которых являются аргументы (х1, х2, …, хр). Очевидно, что номера наборов меняются в таком случае от 0 до 2р-1.

Алгебра логики предполагает (допускает) возможность образования сложных функций, то есть функций, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов. Например, если у=у1(z1, z2), а z1=z1(х1, х2) и z2=z2(х3, х4), очевидно, что у=у1(х1, х2, х3, х4). Операция замены аргументов одной функции другими функциями называется суперпозицией функций. Эта операция дает возможность с помощью функций меньшего числа аргументов, получать функцию большего их числа. Многократное применение этих операций позволяет получать функции любого требуемого числа аргументов. В частности, такую возможность обеспечивает суперпозиция функций двух аргументов.

В соответствии с (3.3) существует 16 различных функций двух аргументов. Перечень этих функций у0, …, у15 с указанием наборов аргументов х1, х2 представлен в таблице 3.1 (там же указаны наименования логических элементов, реализующих соответствующие функции).

В алгебре логики справедливы следующие законы:

переместительный закон или закон коммутативности.

;

Таблица 3.1.

сочетательный закон или закон ассоциативности.

;

распределительный закон или закон дистрибутивности.

;

законы инверсии (законы де Моргана).

.

В выражениях алгебры логики может возникнуть неоднозначность, если не условиться о порядке выполнения операций. Так, в выражении имеется двоякий смысл: или; эти выражения не тождественны. В алгебре логике, как и в обычной алгебре, условились в начале выполнять операции умножения, а затем сложения. Если же раньше нужно выполнить сложение, то используются скобки.

Любое выражение алгебры логики представляет собой суперпозицию функций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Возникает вопрос, достаточно ли такого набора функций для выражения с их помощью произвольной переключательной функции.

Система функций алгебры логики называется функционально полной (базисом), если любую переключательную функцию ѓ(хn-1, xn-2, …, x0) можно представить как результат суперпозиции хn-1, xn-2, …, x0 и функций системы, взятых в любом конечном числе.

В алгебре логики показывается, что функционально полными являются, например, системы функций состоящие из двух функций: отрицания и дизъюнкции или же отрицания и конъюнкции. Пользуясь только любой парой этих функций, можно выразить любую переключательную функцию. На практике при построении логических схем широко используется система из трех функций: отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Добавление к функционально полной системе еще одной функции, не нарушая ее полноты, упрощает построение логических схем. Интересно, что можно построить функционально полную систему, состоящую из одной функции. Таковыми являются функции Шеффера и Пирса. Недостаток такой системы, например в том, что для реализации даже такой простой операции, как дизъюнкция, требуется выполнить три операции Шеффера.

Логические схемы, входящие в состав любого цифрового устройства, строятся из логических элементов. Одним из основных требований к набору логических элементов является требование функциональной полноты. Набор логических элементов является функционально полным, если реализуемые им переключательные функции составляют функционально полную систему.

Предположим теперь, что зафиксирован, какой-либо набор логических элементов. Задача построения из такого набора комбинационной схемы, реализующей некоторую переключательную функцию, сводится, прежде всего, к ее представлению в виде выражения алгебры логики. При составлении выражений, описывающих произвольную переключательную функцию, важное значение имеют две простейшие переключательные функции: конституенты единицы и нуля.

Конституентой единицы (минитерм) называется переключательная функция n переменных K (хn-1, xn-2, …, x0) = K (x), равная единице только на одном наборе значений аргументов. Из этого определения следует, что число различных конституент единицы равно числу наборов. Удобно каждую конституенту пронумеровать, присвоив ей номер набора, на котором эта конституента равна единице. Набор Xб и конституента Kj при б=j называются соответствующими друг другу. При этом оказывается справедливым соотношение:

(3.4).

Конституента единицы представляет собой конъюнкцию всех переменных, входящих в это произведение с отрицанием или без него. Рассмотрим например, конъюнкцию всех аргументов с инверсией. Эта конъюнкция равна единице, если все ее аргументы равны единице. Для этого необходимо, чтобы xi=0 для всех i. Следовательно, рассматриваемая конъюнкция — конституента единицы, соответствующая нулевому набору, т. е.

.

В общем случае, чтобы получить конституенту единицы, соответствующую набору Xб=бn-1, бn-2, …, б0 с номером б, следует образовать конъюнкцию всех аргументов, причем аргумент xi входит в конъюнкцию без инверсии, если бi=1 и с инверсией, если бi=0. Например, для переменных x1=1; x2=0; x3=0 конституента единицы будет образована, если образовать следующую конъюнкцию.

.

Конституентой нуля (макситерм) называется переключательная функция n переменных M (хn-1, xn-2, …, x0), равная нулю только на одном наборе значений переменных. Конституента нуля Mб на наборе с номером б представляет собой дизъюнкцию всех аргументов, причем аргумент xi, входит в дизъюнкцию без инверсии, если в наборе Xб=бn-1, бn-2, …, б0 — бi=0, и с инверсией, если бi=1. Например для функции четырех аргументов x0=1, x1=0, x2=1, x3=0.

.

Рассмотрим способ выражения переключательной функции в аналитической форме.

Пусть имеется переключательная функция ѓ(Х), заданная своими значениями ѓ(xj) для всех наборов (см. табл. 3.2). Образуем следующую функцию n аргументов:

Таблица 3.2.

Для произвольного набора Х=Хб можно записать:

.

В соответствии с (3.4) Kj (Xб)=1 при j=б откуда ѓ*(Xб)=ѓ(Xб). Поскольку мы взяли произвольный набор, то можно утверждать, что ѓ*(X)=ѓ(X). Следовательно:

и мы получи разложение функции ѓ(X) по конституентам единицы. Последнее выражение можно упростить, так как члены для которых ѓ(Xj)=0 можно исключить, а в оставшихся конъюнкциях ѓ(X)=1 можно не писать. Поэтому в правой части последнего выражения останутся лишь те конституенты Kj для которых ѓ(Xj)=1:

(3.5).

где у1 представляет собой совокупность номеров наборов, на которых функция ѓ(X) равна единице. Представление переключательной функции в соответствии с (3.5) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) этой функции. Изложим правило такого представления:

• 1. Записывается дизъюнкция произведений всех аргументов, причем число таких произведений равно числу наборов, на которых данная функция равна единице.
• 2. Под каждым произведением записывается набор, обращающий заданную функцию в единицу.
• 3. Над аргументами, под которыми записаны нули, ставятся знаки отрицания.

Переключательную функцию можно представить так же в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ):

.

где у0 — совокупность номеров наборов, на которых функция равна нулю.

Такое представление целесообразно применять, если число наборов, на которых функция равна нулю, меньше числа наборов, на которых функция равна единице.

Полученные выше аналитические выражения служат основой для построения логических схем, реализующих заданные переключательные функции.

Прежде чем строить логическую схему, реализующую требуемую переключательную функцию, целесообразно упростить выражение этой функции, что может быть выполнено различными методами. В частности, можно использовать метод тождественных преобразований, вытекающих из законов алгебры логики.

Ниже приводится ряд возможных приемов упрощения.

Прием, основанный на применении формулы.

.

называется склеиванием (склеиванием по х).

Прием, называемый поглощением, основан на применение тождества.

.

Эти же приемы применены к операции умножения:

;

.

Иногда целесообразно вынесение за скобки и их раскрытие:

;

Следующие приемы также иногда приводят к упрощениям:

;

.

Для иллюстрации метода тождественных преобразований упростим выражение Для минимизации переключательных функций с числом переменных до 6 удобен метод диаграмм Вейча (карт Карно). Метод основан на представлении переключательных функций в виде прямоугольных таблиц с числом клеток, равным числу всевозможных наборов, то есть 2n. Каждая клетка диаграммы Вейча соответствует определенному набору переменных и в нее вписывается значение функции (0 или 1), которое она принимает на данном наборе. В то же время каждой клетке диаграммы соответствует конституента единицы с номером, совпадающим с номером набора. Специальная разметка столбцов и срок диаграммы и, следовательно, нумерация клеток производится таким образом, что конституенты, соответствующие двум соседним клеткам обязательно склеиваются по одной из переменных.

Для переключательных функций двух, трех и четырех переменных разметка диаграмм и нумерация клеток показаны на рис. 3.2. Важно отметить, что в диаграмме для функции от трех переменных соседними, следует считать так же крайние клетки каждой строки, а в диаграмме для функции от четырех переменных соседними, являются крайние клетки каждой строки и столбца. При большем числе переменных разметка диаграмм и правила склеивания несколько усложняются.

Рис. 3.2 Диаграмма Вейча для функций двух, трёх и четырех переменных

Минимизация переключательных функций начинается с заполнения диаграммы Вейча. Если на данном наборе функция равна единице, то в клетке с номером, равным номеру набора, ставится единица; остальные клетки отмечаются нулями (что необязательно).

Диаграмма Вейча позволяет получить выражение переключательной функции в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), представляющей собой дизъюнкцию произведений аргументов. В отличие от СДНФ входящие в ДНФ произведения не обязательно содержат все переменные. Для получения ДНФ в заполненной диаграмме обводят прямоугольными контурами все единицы. При этом каждый контур должен быть обязательно прямоугольным и состоять из одних единиц.

Число клеток в контуре должно равняться целой степени числа 2. Говорят, что контур покрывает 1, 2, 4, 8 и т. д. клеток. Указанными контурами необходимо покрыть все единицы диаграммы; некоторые контуры могут содержать только одну клетку.

Каждому контуру соответствует логическое произведение, входящее в ДНФ. Изолированной единице (контуру, состоящему из одной клетки) соответствует произведение n переменных, а именно конституента единицы, номер которой совпадает с номером клетки. Контуру из двух клеток соответствует произведение n-1 переменных, причем исключается та переменная, которая входит в данный контур, как с инверсией, так и без нее.

Если контур состоит из четырех единиц, то в ДНФ ему будет соответствовать произведение n-2 переменных. В общем случае наличие единиц в 2m соседних клетках позволяет исключить из соответствующего произведения m переменных.

Следовательно, при образовании контуров надо стремиться к тому, чтобы количество контуров было возможно меньшим. При этом одни и те же клетки, заполненные единицами, могут входить в несколько контуров.

Применение метода плоскостных диаграмм рассмотрим на примере минимизации логической функции.

.

Для минимизации данной функции строим шестнадцатиквадратную диаграмму (рис. 3.3). Квадраты, отвечающие членам исходной формулы, отмечаем единицами (например, набор — соответствует 7 квадрату). Обводим прямоугольными контурами все единицы.

Для каждого обведенного контура записываем соответствующие им конъюнкции, в которые входят все переменные за исключением тех по которым происходит склеивание (т.е. переменные входящие в контур в прямом и инверсном видах). Для контура 1 запишем, для контура 2 запишем .

Рис. 3.3 Диаграмма для заданной функции

Таким образом, минимальная дизъюнктивная нормальная форма заданной логической функции, представляется как.

.

Метод диаграммы Вейча удобно применять при минимизации не полностью определенных функций. Так называются функции значения, которых определены не на всех наборах. Не полностью определенные переключательные функции описывают условия функционирования схем, на вход которых некоторые комбинации сигналов вообще не подаются. При минимизации не полностью определенных функций их удобно рассматривать как всюду определенные функции, некоторые значения которых могут выбираться произвольно. Доопределение следует производить так, чтобы получились группы с максимальным числом единиц, а число таких групп было минимальным.

В качестве примера рассмотрим синтез логической схемы, предназначенной для выделения пяти старших цифр десятичной системы, представленных в четырехразрядном двоичном коде, когда номер набора совпадает со значением цифры. Так как всего имеется 16 четырехразрядных наборов, а цифр — только 10, то в наборах с номерами от 10 до 15 переключательная функция, описывающая данную схему, оказывается неопределенной. На наборах с номерами от 0 до 4 она равна нулю, а на наборах от 5 до 9 — единице (см. табл. 3.3). На рис. 3.4, а приведена диаграмма рассматриваемой переключательной функции, а на рис. 3.4, б — способ ее доопределения, приводящий к минимальной форме:

.

Таблица 3.3.

Без доопределения функция оказалась бы значительно более сложной:

.

С помощью диаграммы Вейча можно находить также минимальные конъюнктивные формы (КНФ). При этом в группы следует объединить не единицы, а нули.

Кроме того, разметка диаграммы изменяется таким образом, что на место переменных с инверсией ставятся переменные без инверсии и наоборот.

Рис. 3.4 Диаграмма Вейча для не полностью определенной функции

Выше было показано, что можно любую переключательную функцию представить в виде выражения алгебры логики, содержащего операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. Для решения задачи синтеза логической схемы необходимо определять схемы реализации таких функций при помощи любой функционально полной системы элементов. Элементы, выполняющие непосредственно операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии, называются соответственно элементами И, ИЛИ и НЕ. На рис. 3.5 показаны обозначения этих элементов.

При помощи функционально полной системы из элементов И, ИЛИ и НЕ функции представленные в ДНФ, реализуются особенно просто. Для этого в начале образуются нужные конъюнкции. Перед образованием конъюнкций для некоторых переменных, возможно, придется выполнить операции инверсии. Для образования конъюнкции от многих переменных применяются многовходовые элементы И. Если число переменных в конъюнкции превышает число входов элемента И, то конъюнкция формируется поэтапно. Дизъюнкция полученных произведений реализуется путем подачи сигналов с выхода элементов И на входы элементов ИЛИ. Элементы ИЛИ также могут быть многовходовыми.

Широко применяются элементы, реализующие комбинации операций И, ИЛИ, НЕ. Так, элемент И — ИЛИ позволяет непосредственно реализовать некоторые несложные функции, заданные в ДНФ.

Рис. 3.5 Изображение одноступенчатых (а) и двухступенчатых (б) логических элементов

Наибольшее распространение получили логические элементы И — НЕ и ИЛИ — НЕ (рис. 3.6).

Рис. 3.6 Изображение логических элементов И — НЕ и ИЛИ — НЕ

На рис. 3.7 в виде примера приведена логическая схема из элементов И — НЕ, реализующая функцию.

.

Последовательностные устройства обладают свойством запоминания информации, поскольку строятся на элементарных автоматах с памятью.

Рис. 3.7 Реализация функции

Количество элементарных автоматов m с памятью, необходимое для кодирования всех состояний M последовательностного автомата, определяется соотношением:

.

Значение m называют объемом памяти последовательностного автомата.

Основная модель последовательностного устройства включает комбинационную часть, которая формирует выходные сигналы устройства и сигналы обратной связи исходя из значений входных сигналов и значений внутренних переменных (рис. 3.8). В зависимости от свойств цепей обратной связи различают два вида автоматов — асинхронные и синхронные.

В синхронных автоматах цепи обратной связи содержат элементы задержки (ЭЗ, рис. 3.8, а). Они управляются внешними тактовыми импульсами и выполняют функцию запоминания сигналов внутренних переменных на один такт.

Благодаря этому при отсутствии тактовых импульсов передача сигналов по цепям обратной связи не осуществляется.

Рис. 3.8 Структурная схема автомата с памятью

В асинхронных автоматах (рис. 3.8, б) задержка сигналов внутренних переменных обусловлена инерционностью логических элементов и конечной скоростью распространения электрических сигналов по цепям (главным образом, первым фактором). Различие сигналов внутренних переменных на входе и выходе комбинационных частей имеет место при этом только в течение динамической части такта; в статической части значения совпадают и именно эта часть соответствует устойчивому состоянию автомата.

В комбинационной части последовательностного автомата могут иметь место состязания (гонки). При применении синхронных элементов задержки, временные (преходящие) ошибки не оказывают влияния на работу устройства, поскольку тактовые импульсы, разрешающие передачу сигналов внутренних переменных с выхода на вход, подаются по истечении динамической части тактов. В асинхронных устройствах явление состязаний имеет первостепенное значение, т.к. именно динамическая часть такта определяет смену состояний автомата.

Асинхронные последовательностные устройства, включают лишь комбинационные элементы. Синхронные устройства предполагают применение тактируемых запоминающих элементов (элементарных автоматов памяти). Меньшая стоимость комбинационных элементов по сравнению с запоминающими на начальном этапе внедрения цифровых устройств определяла преимущества асинхронных автоматов перед синхронными (несмотря на присущую последним опасность состязаний). Внедрение микроэлектронной элементной базы привело к тому, что стоимости комбинационных элементов и тактируемых элементов задержки стали близкими. Соответственно в настоящее время применяют главным образом синхронные последовательностные устройства. Далее задача логического проектирования рассматривается применительно к устройствам этого типа.

Элементарными автоматами с памятью или триггерами принято называть автоматы, которые характеризуются следующими свойствами:

число входных переменных не более трех (входные переменные принято обозначать специальными символами в соответствии с функциями, выполняемыми триггерами); в это число не входит тактовый вход, на который подаются синхронизирующие импульсы, фиксирующие смену тактов работы устройства;

число внутренних состояний равно двум, чему соответствует одна внутренняя переменная (последнюю принято обозначать символом Q);

число выходных переменных — одна (y), причем значение y совпадает со значением Q (т. е. функция выхода); обычно в триггерах имеется возможность наряду со значением Q получать инверсную переменную ;

функции переходов, называемые характеристическими уравнениями.

.

являются полными.

Разновидности триггеров отличаются числом входов, а при их одинаковом числе — функциями переходов. Общее число W различных триггеров с p входами определяется соотношением; число практически применяемых разновидностей существенно меньше. Далее рассматриваются наиболее употребимые из них.

Триггер R-S типа представляет собой элементарный последовательностный автомат с двумя входами R и S, функционирующий в соответствии с таблицей 3.4. В триггерах R-S типа одновременная подача единичных значений входных переменных R и S недопустима (ведет к появлению критических состязаний). В строчках таблицы переходов триггеров, соответствующих, содержится знак неопределенности значения. Такая комбинация входных переменных недопустима (считается запрещенной), что алгебраически выражается требованием. Доопределяя значения, соответствующие запрещенным комбинациям и, единицами и упрощая СДНФ можно представить характеристическое уравнение триггера в следующей минимальной форме:

или с учетом закона инверсии (де Моргана).

.

Таблица 3.4.

Таблица 3.5.

В соответствии с характеристическими уравнениями такой триггер можно построить на логических элементах И — НЕ и ИЛИ — НЕ.

На рис. 3.9 приведены две схемы триггера, на элементах И — НЕ и ИЛИ — НЕ соответственно и их графическое обозначение в соответствии с ЕСКД. Такой триггер называют асинхронным. В отличие от асинхронного триггера, тактируемый триггер на каждом входе имеет дополнительные схемы совпадения, первые входы которых объединены и на них подаются тактирующие сигналы (рис. 3.9). Тактируемый триггер описывается уравнениями.

;

или.

.

Рис. 3.9 Схемы асинхронных триггеров и их обозначение в соответствии с ЕСКД

В большинстве случаев на практике требуется определить комбинацию входных сигналов при заданном переходе триггера из одного состояния в другое. Такая задача возникает, например, при синтезе счетчиков, регистров и т. п.

Решить эту задачу можно с помощью характеристической таблицы (таблица 3.5). Для построения этой таблицы рассматривают характеристическое уравнение триггера для всех возможных переходов: ,, ,. После подстановки в характеристическое уравнение значений и получают равенства определяющие значения переменных и для соответствующего перехода. Если переход происходит при любом значении переменной ее значение считают безразличным и в таблице отмечают (*).

Рис. 3.10 Схема тактируемого (синхронного) триггера и его обозначение по ЕСКД

Характеристические таблицы триггеров используют при синтезе сложных последовательностных схем.

Триггер D типа относится к одновходовым триггерам. Характеристическое уравнение триггера согласно таблице переходов (таблица 3.6) определяется соотношением.

.

Из уравнения следует, что триггер в момент времени принимает состояние, соответствующее значению переменной на входе в момент времени, т. е. с помощью триггера осуществляется задержка входного сигнала. Таблица 3.7 является характеристической таблицей для триггера.

Тактируемый триггер функционирует в соответствии с таблицей переходов 3.8. Характеристическое уравнение триггера, составленное в соответствии с этой таблицей, записывается в виде.

.

Из уравнения следует, что при наличии тактирующего сигнала () триггер переходит в состояние, а при отсутствии тактирующего сигнала () триггер сохраняет предыдущее состояние.

Таблица 3.6.

Таблица 3.7.

Таблица 3.8.

В соответствии с характеристическим уравнением (инвертировав левую и правую части уравнения) тактируемый триггер может быть построен например так, как показано на рис. 3.11, а, здесь же приведено его обозначение в соответствии с ЕСКД.

Рис. 3.11 Схема тактируемого (а) и двухступенчатого (б) триггера

Среди триггеров типа большое распространение получили триггеры тактируемые фронтом. Такие триггеры строятся по двухступенчатой схеме. Двухступенчатые триггеры состоят из двух тактируемых импульсом триггеров (основного — master и дополнительного — slave), которые синхронизируются взаимно инверсными тактовыми сигналами.

На рис. 3.11, б приведена логическая структура двухступенчатого триггера. При воздействии тактового импульса информация со входа ведущего триггера переписывается на его выход. Ведомый триггер в это время не меняет своего состояния, поскольку на его тактовом входе действует нулевой сигнал.

После окончания тактового импульса ведомый триггер перейдет в то состояние, в котором находится ведущий триггер. Так как выходной сигнал снимается с ведомого триггера, то внешне это проявляется таким образом, как если бы перепись сигнала со входа производилась в момент воздействия на тактовый вход перепада 1/0. Такой тактовый вход обозначают треугольником, повернутым вершиной в обратную сторону от триггера, если активным является перепад 0/1 треугольник повернут вершиной внутрь триггера.

Триггер T типа является одновходовым устройством с двумя устойчивыми состояниями, изменяющим свое состояние на противоположное всякий раз, когда на его вход поступает управляющий сигнал. Триггер типа функционирует в соответствии с таблицей переходов 3.9 и описывается характеристическим уравнением.

.

Функция перехода триггера по виду совпадает с функцией логической неравнозначности двух переменных и (Если значения и поставить в соответствие со значениями и). Это означает, что счетный триггер выполняет операцию суммирования входной переменной по модулю 2.

Характерной особенностью триггера является то, что частота изменения потенциала на его выходе в два раза меньше частоты сигнала на входе. Это свойство триггера используется при построении счетчиков.

Триггер типа можно построить на логических элементах. Однако в настоящее время в составе серий, как правило, либо имеются триггеры типа, либо триггеры типа и типа в интегральном исполнении, которые можно перевести в режим триггера коммутацией некоторых выводов микросхемы. Так например, если в тактируемом триггере вход соединить с инверсным выходом, то триггер превращается в триггер, поскольку при условии уравнение тактируемого триггера.

приобретает вид.

.

при этом на вход подаются счетные импульсы. На рис. 3.12 приведено условное обозначение асинхронного и тактируемого триггера.

При синтезе многоразрядных счетчиков и последовательных регистров на триггерах используется характеристическая таблица 3.10.

Таблица 3.9.

Таблица 3.10.

Таблица 3.11.

Триггер J-K типа относится к двухвходовым устройствам, функционирующим в соответствии с таблицей 3.11.

Таблица 3.12.

Из таблицы 3.11 следует, что при комбинации сигналов и, соответствующей конъюнкции.

.

триггер инвертирует предыдущее состояние. В остальных случаях триггер функционирует как триггер. При этом вход эквивалентен входу, а вход — входу. Функционирование триггера описывается характеристическим уравнением.

.

Рис. 3.12 Условное обозначение асинхронного и тактируемого триггера

В схемотехнике наибольшее распространение получили тактируемые триггеры. Эти триггеры являются универсальными, поскольку коммутацией внешних выводов триггер можно превратить в триггер, выполняющий функции, и триггера. Так например, если в характеристическом уравнении для триггера принять и, то в результате получим. Это выражение полностью совпадает с характеристическим уравнением для триггера. Для получения триггера достаточно объединить входы и. В этом случае характеристическое уравнение триггера приобретает вид характеристического уравнения триггера.

Условное обозначение тактируемого триггера, а также организация и триггеров на основе триггера приведены на рис. 3.13. Характеристическая таблица для триггера имеет вид таблицы 3.12.

Рис. 3.13 Условное обозначение тактируемого триггера (а) и организация на его основе триггера (б) и триггера (в)

В настоящее время существует ряд разновидностей триггеров с дополнительными входами.

Введение

этих входов придает триггеру дополнительные свойства характерные нескольким типам триггеров. Примером может служить триггер К155ТМ2, который обладает свойствами тактируемого триггера и асинхронного триггера (см. рис. 3.14).

Синтез синхронных последовательностных устройств выполняется исходя из заданной (таблично или алгебраически) системы функций выходов и переходов, в предположении, что элементная база определена (заданы разновидности применяемых триггеров и комбинационных элементов; считается, что по способу синхронизации триггеры относятся к двухступенчатым).

Рис. 3.14 Условное обозначение триггера К155ТМ2

Составление уравнений выходов и переходов предполагает предварительное установление (на основании содержательного описания автомата) числа его внутренних состояний и кодирования последних наборами внутренних переменных. Сложность структуры автомата зависит от выбора объема его памяти (он может превышать минимально необходимый), способа кодирования возможных внутренних состояний и разновидности применяемых триггеров. По этой причине рациональное решение упомянутых вопросов, должно составлять неотъемлемую часть синтеза автомата.

Однако в общей постановке эта задача относится к числу проблемных в современной теории конечных автоматов и даже ее ограниченное решение связано со значительными трудностями. В практике логического проектирования типовых узлов цифровых устройств число устойчивых состояний, их кодирования и тип применяемых триггеров определяют, как правило, эвристически на основании известных сведений по опыту разработки аналогичных узлов. Методы структурного синтеза гарантируют при этом определение работоспособной структуры автомата.

При синтезе последовательностных автоматов принципиально новой задачей в сравнении с синтезом комбинационных схем является обеспечение требуемого вида функции переходов автомата. Каждое уравнение системы переходов определяет переходы одного из триггеров синтезируемого автомата (для произвольной i-ой переменной). Анализ показывает, что любому из уравнений переходов (далее i-му) может быть придана форма.

.

где и — функции множества внутренних состояний и множества входных переменных. Уравнения данного вида определяют переходы каждого триггера в соответствии с выполняемыми ими функциями в автомате, поэтому они получили наименование прикладных уравнений триггеров.

С другой стороны, переходы каждого триггера определяются его характеристическим уравнением; для триггера любой разновидности его можно представить в виде.

.

где и — функции входных переменных триггера в течение такта (и в триггерах типа, и в триггерах типа и т. п.).

Для определения структуры комбинационных ветвей автомата необходимо установить связь входных переменных каждого триггера с множеством входных и внутренних переменных автомата.