1.4 Метод многокритериального позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации с введением дополнительных обратных связей на бесконечном интервале времени

Рассмотрим метод многокритериального синтеза позиционного управления на основе достижений в области многопрограммной позиционной стабилизации в классе линейных и нелинейных систем с обобщением методов получения стабилизирующих позиционных управлений [1][2][3][4][5]. Метод не содержит проблемы сходимости, формирует универсальное аналитическое решение u(x, t), единообразное по структуре на множестве начальных условий.

Метод базируется на способах практического расширения класса «притягивающих» многообразий — аттракторов [6] в форме асимптотически устойчивого множества траекторий xk (t), порожденных многокритериально оптимальными программными управлениями uk(t), к которым «тяготеет» траектория системы под воздействием синтезированного управления u(x, t) при любых начальных условиях из заданного множества, причем по свойствам многопрограммного управления [4]: u(xk, t) = uk(t).

В соответствии с задачами многопрограммного управления пусть объект описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений где x = (x, …, xn)T — n — мерный вектор состояния системы, u = (u1, …, ur) T — r — мерный вектор управления, вектор-функция f(t, x, u) є C(R1xRnxRr) за исключением, в некоторых случаях, конечного множества точек меры ноль.

Пусть для системы (1) заранее решены некоторые специальные задачи программного управления, то есть построены N программных движений x1(t),…, xN (t) на множестве начальных условий, которые обеспечиваются программными управлениями u1(t), …, uN(t). Управления принадлежат к классу ограниченных функций при t? t0. Число программных управлений не связано с размерностью системы (1), а с размерностью вектора управлений.

В специальных задачах программного управления на основе многокритериальной оптимизации формируется вектор показателей — критериев Применяя один из вышеперечисленных подходов многокритериальной программной оптимизации, можно получить множество из N-решений на множестве начальных условий. Для этого могут быть применены прямые методы, методы скаляризации, методы на основе компромиссов. Пусть, без ограничения выбора подходов, это будет один из методов получения компромиссов на основе «идеальной» точки, который позволяет выбрать на Парето-области точку самую близкую к «идеальной» точке и потому обходит неопределенность выбора на Парето-области.

Рис. Парето-область с точкой компромисса с учетом вариации постановки при l=2

На рис. 1 т.1 (1') — идеальные точки, а точка 2 (2') — искомое решение (точки компромисса) по вектору показателей на области Парето, которому при заданных начальных условиях xk(t0), соответствует оптимальное программное управление uk, opt при решении задачи на основе функции Салуквадзе [9].

min [(J1-J1*)2 + (J2-J2*)2] > u = uk, opt

Окончательно получаем множество заданных uk, opt(t), и соответствующих траекторий xk (t), .

В настоящее время в теории многопрограммного позиционного управления (МПУ) в работах В. Н. Зубова и Н. В. Смирнова решена задача многопрограммной стабилизации для линейных стационарных и нестационарных систем, а также для некоторых нелинейных систем:

а) билинейной системы где A (t) и Bi (t) матрицы [nxn], [nx1].

б) системы типа Лотки-Вольтерры где P = diag (P1, … Pk), Q (x) = diag (q1x, …, qnx), q1, …, qn — строки матрицы Q0 = {qij, i=1,n, j=1,n}.

Универсальная форма многопрограммного управления в виде интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра [1][2][3] имеет вид при этом u(xk, t) = uk(t).

Стабилизирующие свойства (6) обеспечиваются введением дополнительной обратной связи u0=Ck (t)(x(t) — xk(t)) по каждой заданной траектории xk(t), что обеспечивает асимптотические свойства каждой заданной траектории, причем асимптотическая устойчивость реализуется на бесконечном интервале 0? t < ?.

В работе [1] показано, что в классе линейных стационарных систем u0=C(t)(x(t) — xk(t)) для всех xk(t). В нелинейных системах (4) (5) структура (6) применяется для линеаризованных вариантов их описания. В работах Н. В. Смирнова и И. В. Соловьевой [4] [5] результат (6) обобщен в форме многопрограммного позиционного управления (МПУ) на конечном интервале [t0, tk].

где ,.

• — оператор системы в отклонениях относительно одной из заданных траекторий xk (t);
• — v(yk(t)) — стабилизирующая компонента МПУ, обеспечивающая устойчивость нулевого решения (8) (управление стабилизирующее траекторию МПУ x(t) относительно xk(t) или, другими словами, обеспечивающее асимптотические свойства заданной траектории xk(t));

um(xk, t) = uk(t)

— многопрограммное управление без свойств стабилизации [4].

Очевидно, что получение v(yk(t)) для каждого k=1,N формирует векторную асимптотику xk(t), k=1,N на [t0, tk], как «притягивающего» многообразия для траектории x(t) соответствующей МПУ (7).

В работе [4] для получения стабилизирующей части (7) используется метод позиционной оптимизации Габасова Р. Ф. [14], разработанный для линейных нестационарных управляемых систем, поэтому процедура использования метода для решения задачи стабилизации нулевого решения (8) на t0? t? tk требует линейной аппроксимации нелинейной правой части (8).

Краткий анализ применения синергетического метода АКАР для линейной нестационарной системы дан в третьей части дипломной работы. В методе АКАР вводится и используются устойчивые макропеременные.

.

Для получения v(yk(t)) обеспечивающих устойчивость нулевого решения (8) на основе экспоненциальной сходимости шi (t) к нулю. Данный подход дополняет методику получения стабилизирующего управления v в (7).

Таким образом, рассмотрено три подхода получения многокритериального синтеза позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации с последовательным обобщением метода, обеспечения асимптотических свойств множества траекторий xk(t), программно-оптимальных по вектору показателей. Это подход Зубова-Смирнова на основе многопрограммного управления (6), подход Смирнова-Соловьевой на основе многопрограммного позиционного управления (7) и подход на основе синергетических алгоритмов АКАР по Колесникову.