Моделирование распределенных систем управления

Минобрнауки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ЛЭТИ“ им. В. И. Ульянова (Ленина)»

Кафедра Автоматики и процессов управления Курсовая работа

«Моделирование распределенных систем управления»

Выполнила:

Рихтер Д.

Санкт-Петербург

1. Состояние вопроса исследований

1.1Теоретические сведения

1.2 Общее описание объекта управления

1.3 Анализ объекта управления

2. Постановка задачи управления

3. Синтез распределенного высокоточного регулятора (РВР)

3.1 Методика синтеза РВР

3.2 Синтез распределенного регулятора для системы управления температурным полем многослойной пластинки

4. Анализ работы замкнутой системы управления Заключение Список использованных источников Приложение

1. Состояние вопроса исследований

1.1 Теоретические сведения Процессы, в окружающей нас среде, неразрывно связаны с пространственными координатами и, как правило, их модели описываются уравнениями в частных производных. Безусловно, системный анализ таких распределенных процессов связан усложнением математического аппарата. Но, несмотря на математические сложности, удается исследовать и использовать для практических целей новые свойства рассматриваемых процессов, построить системы управляющие полями функций выхода.

На сегодняшний день можно выделить два направления исследования распределенных процессов (систем).

Первое направление основывается на том, что существует аналитическое решение математической модели, описываемой рассматриваемый процесс. Из теории известно, что для нахождения решения математической модели объекта (определения реакции объекта), описываемого уравнениями в частных производных, используют разложение по собственным вектор-функциям оператора объекта (по некоторому ортогональному базису). При этом собственные вектор-функции (пространственные моды) формируются с учетом геометрических параметров объекта и его граничных условий.

При разработке методов анализа и синтеза распределенных систем управления обычно используют следующие подходы:

1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для систем с распределенными параметрами (АКОР для СРП) Основным препятствием на пути применения АКОР для СРП является трудность решения интегро-дифференциального уравнения типа Риккати. Даже если удалось построить решение интегро-дифференциального уравнения на основе собственных вектор-функций, остается неясным, как аппроксимировать конечным образом бесконечную систему дифференциальных уравнений, к решению которой сводится решение уравнения типа Риккати. Следует также отметить трудность выбора весовых функций функционала оптимизации и сложность решения задачи наблюдения.

Для выработки управляющего воздействия регулятором, синтезированным по методу АКОР, необходимо знать состояние объекта управления, а измерению, как правило, доступно состояние ограниченного числа точек распределенных объектов (как правило, это точки установки датчиков), поэтому возникает задача восстановления функции состояния объекта, или задача наблюдения по результатам измерений.

2. Структурный метод анализа систем с распределенными параметрами Этот метод основывается на том, что реакция объекта на дельта-функцию, приложенную в некоторой пространственной точке области входного воздействия в некоторый момент времен представляется в виде функции Грина или импульсной переходной функции. Введено понятие распределенного блока-устройства, в котором выделены входная распределенная функция и распределенная функция выхода. Для описания сложных взаимосвязанных систем с распределенными параметрами определены операции соединения отдельных блоков, а также получены передаточная функция замкнутой распределенной системы.

Проблема поиска регуляторов в этом случае решается с использованием метода параметрического синтеза. Используя этот метод, в литературе показано решения большого класса практически значимых задач, однако основной проблемой применения метода параметрического синтеза остается проблема существования параметров регулятора выбранной структуры, разрешающих поставленную задачу управления.

3. Частотный метод синтеза распределенных регуляторов Разработка этого метода стимулировалась необходимостью развития методов синтеза регуляторов для распределенных объектов, модели которых определяются с использованием экспериментальных данных. Он разработан для класса линейных объектов, решение математических моделей которых распадается по собственным вектор-функциям оператора объекта (по пространственным модам).

На этапе технической реализации синтезированных распределенных систем управления, управляющее воздействие и функция выхода реализуются в виде дискретных по пространственным координатам функций. Например, для тепловых процессов управляющее воздействие реализуется с помощью секционных нагревателей, а функция выхода измеряется датчиками в конечном числе точек. Чем больше секций у секционных нагревателей, тем точнее может быть реализовано входное воздействие на объект управления (тем большее число пространственных мод задействовано в формировании входного воздействия на объект управления). Но в любом случае, число задействованных пространственных мод, в реальном процессе управления, остается конечным. Аналогично, чем больше установлено датчиков, измеряющих функцию выхода, тем большее число пространственных мод функции выхода может быть восстановлено с использованием результатов измерений. Поскольку на этапе анализа и синтеза таких систем управления учитывался весь бесконечный спектр пространственных мод, то использование в реальном процессе управления конечного числа мод влияет только на точность реализации целей управления. Устойчивость процесса управления обеспечивается процедурой синтеза, учитывающей весь бесконечный спектр пространственных мод;

Второе направление использует методы аппроксимации математических моделей распределенных объектов.

4. Методы анализа объекта управления и синтеза распределенных регуляторов учитывающие конечный спектр пространственных мод.

В этом случае распределенный объект (система) усекается, используя в процедуре анализа и синтеза конечное число пространственных мод. Распределенный регулятор реализуется в виде конечного числа (n) условно «сосредоточенных» регуляторов по выбранному числу пространственных мод. При технической реализации таких систем управления используются специальные фильтры, выделяющие из распределенной функции выхода заданное число пространственных мод.

5. Методы анализа объекта управления и синтеза распределенных регуляторов учитывающие конечный спектр пространственных мод, при этом передаточные функции объекта управления по каждой пространственной моде, записываемые в виде отношения бесконечных полиномов, представляются в виде отношения конечных полиномов.

Фазовое пространство каждой пространственной моды, бесконечномерное, заменяется конечномерным.

Многие практически важные задачи, с использованием методов аппроксимации математических моделей распределенных объектов, успешно решаются и внедрены в практических системах управления. Однако в теории методов конечномерной аппроксимации распределенных объектов и систем есть еще ряд не решенных вопросов, поэтому пользоваться аппроксимацией систем с распределенными параметрами следует весьма осторожно. Ведь, по сути, мы переходим к исследованию другого объекта.

1.2 Общее описание объекта управления В настоящей работе в качестве объекта управления выступает температурное поле многослойной пластинки, которая представлена на рисунке 1.

Геометрические параметры объекта управления приведены в таблице 1.1.

Управляющим воздействием служит тепловой поток, распределенный по поверхности S1, а функцией выхода — температурное поле T (x, y, Z*, ф).

Рисунок 1 — Объект управления Поверхности S3, S5, S4 теплоизолированы, а поверхности S2, S6 поддерживаются при постоянной температуре, равной нулю.

регулятор управление температурный замкнутый Табл. 1.1. Геометрические параметры пластины

Математическая модель объекта управления Для оценки динамических характеристик сформируем математическую модель объекта управления.

Z0=0, Z3=Lz.

Граничные условия для поверхностей S3 и S4:

Граничные условия для поверхностей S2, S5 записываются в виде:

Условия на границах раздела сред, отражающие равенство температур и тепловых потоков, записываются соотношениями Управляющее воздействие в виде теплового потока распределено по границе S1:

Поверхность S6 теплоизолирована где — температурное поле i-ой среды; U (x, y, ф) — управляющее воздействие; x, y, zпространственные координаты, ф — время.

Теплофизические параметры заданы следующими значениями (параметры заданы в системе СИ):

1.3 Анализ объекта управления Рассмотренная выше математическая модель объекта допускает аналитическое решение (аналитически могут быть определены динамические характеристики объекта управления по выбранным пространственным модам входного воздействия). Рассматриваемый объект принадлежит к классу пространственно-инвариантных. В качестве собственных вектор-функций (пространственных мод) выберем функции вида Вид собственных вектор функций оператора объекта обусловлен граничными условиями (2), (3).

Определим реакцию объекта на выбранные моды входного воздействия. Реакция объекта на выбранную пространственную моду входного воздействия может быть представлена в виде:

Преобразуя по Лапласу, при нулевых начальных условиях функцию выхода и входное воздействие и взяв их отношение, получим передаточную функцию рассматриваемого объекта по выбранной пространственной моде. В рассматриваемом случае эта передаточная функция может быть записана в виде

.

Записывая передаточную функцию рассматриваемого объекта с использованием обобщенной координаты, получим

В рассматриваемом случае поставленная задача решалась численно. Для этого, используя математическую модель объекта, была составлена численная модель и определена реакция объекта на выбранные пространственные моды входного воздействия (определена функция для выбранных значений з и г). Схема дискретизации объекта управления приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 — Схема дискретизации При моделировании объекта управления были выбраны следующие значения переменных:

С (G) =1000; Nx=5; Ny=5; Nz =15;

Дx=Lx/(Nx-1); Дy=Ly/(Ny-1); Дz=Lz/(Nz-1).

Как известно, в методике синтеза распределенных регуляторов используют динамические характеристики двух пространственных мод.

В результате моделирования определена функция и. Их графики приведены на рисунках 3 и 4 соответственно.

Аппроксимируем передаточную функцию по выбранным пространственным модам передаточной функцией вида

Рисунок 3 — График функции

Рисунок 4 — График функции

В результате численного моделирования получены следующие значения параметров передаточной функции:

з=1,г=1, G1=123.370 055, k (G1)=0.076, T (G1)=4076, ф1(G1)=700;

з=3,г=3, G3=3084.251 375, k (G3)=-0.021, T (G3)=2753, фз (G3)=403

2. Постановка задачи управления Постановка задачи: для системы управления объектом, передаточные функции которого по выбранным пространственным модам заданы в виде (4), синтезировать распределенный высокоточный регулятор.

При этом на запасы устойчивости разомкнутой системы и на параметры наложены ограничения: запас устойчивости по фазе; запас устойчивости по модулю ДL? 10 дб., значение параметра =0 .

Передаточная функция распределенного высокоточного регулятора записывается в виде:

3. Синтез распределенного высокоточного регулятора (РВР)

3.1 Методика синтеза РВР Методика синтеза РВР распадается на следующие этапы:

1. Для двух выбранных пространственных мод (G1 и G3) определим желаемые точки среза модуля разомкнутой системы. При этом положим, что фазовый сдвиг, вносимый в систему регулятором равен нулю.

где W (G, jщ) — комплексный передаточный коэффициент объекта управления.

Используя уравнение (5), для выбранных пространственных мод (G1 и G3), определим значения щ1 щ3.

2. Определение параметров пространственно-усилительного звена Подставляя, в соотношение определим значения модуля объекта управления для выбранных пространственных мод. Так как являются частотами среза модуля разомкнутой системы, то коэффициенты усиления регулятора в этих точках равны:

Определение параметров и будем осуществлять, исходя из условия

.

Поделив (8) на (7), придем к следующему результату:

.

При этом значения подчинены ограничению .

Подставляя вычисленное значение в (1.23) и преобразуя, получим

3. Определение параметров пространственно — интегрирующего и пространственно — дифференцирующего звеньев.

Определение параметров регулятора будем осуществлять, исходя из условия, что значение частот принадлежит линии перегиба. Для частот, принадлежащих линии перегиба, фазовый сдвиг, вносимый в разомкнутую систему регулятором, равен нулю. Подставляя, в уравнение линии перегиба, получим следующую систему уравнений:

.

Вычитая из (12) (11), придем к следующему результату:

.

Используя (13), определим значения и .

3.1. Если, то положим .

Тогда определяется из соотношения при этом на изменение значения наложено ограничение .

Определим взаимосвязь параметров рассматриваемых звеньев с параметром Д.

, ,

Преобразуя, придем к следующему результату Подставляя (16) в (11) и преобразуя, придем к следующему результату

3.2. Если, то положим в (11)-(13) .

Тогда определяется из соотношения при этом на изменение значения наложено ограничение .

Преобразуя (16), получим

Подставляя (19) в (11) и преобразуя, получим соотношение, для вычисления параметра Е2

3.2 Синтез распределенного регулятора для системы управления температурным полем многослойной пластинки В соответствии с методикой синтеза РВР, рассмотренной выше:

1. Для двух выбранных пространственных мод

G1=123.370 055 G3=3084.251 375

определим желаемые точки среза модуля разомкнутой системы.

Для определения частот среза модуля разомкнутой системы, в соответствии с (5), получим следующее уравнение:

()

Подставляя значение, и в (21), определим значение частот среза модуля.

2. Определение параметров пространственно-усилительного звена Подставляя, в соотношение (4), определим значения модуля объекта управления для выбранных пространственных мод. Так как являются частотами среза модуля разомкнутой системы, то вычисленные коэффициенты усиления регулятора в этих точках равны:

.

Подставляя вычисленные значения в (9) и (10) получим:

E1=, n1=

3. Определение параметров пространственно — интегрирующего и пространственно — дифференцирующего звеньев.

Подставляя вычисленные значения в, получим Дщ2>1 .

Подставляя вычисленные значения Дщ2, G (i) в (14), (16), (17) получим:

n4=, E4=, E2= .

Передаточная функция синтезированного регулятора записывается в виде:

4. Анализ работы замкнутой системы управления Подавая на вход РВР входное воздействие, на входе будем иметь:

;.

Дискретный аналог алгоритма управления (23) имеет вид:

где ,

1<�н<�о

— точки дискретизации по оси x и у соответственно; - шаги дискретизации по осям х и у. Используя передаточную функцию синтезированного регулятора, запишем алгоритм управления во временной области

1<�н<�о

заданное значение температурного поля, текущее значение температурного поля.

Используя численные модели объекта и регулятора, осуществлено моделирование работы замкнутой системы управления. По результатам моделирования построены графики управляющего воздействия и функции рассогласования в точках н=3, о=3 (см. рисунок 5). При этом

Рисунок 5 — График переходного процесса

Заключение

В настоящей работе в качестве объекта управления выступает температурное поле многослойной пластинки. В результате выполнения данной курсовой работы мы изучили динамику его поведения. Нами была построена математическая модель объекта управления, а также была сформулирована задача управления.

Для построенной модели объекта нами был синтезирован распределенный высокоточный регулятор, и были построены переходные процессы модели с включенным в неё регулятором. Синтезированный нами регулятор обеспечивает плавный нагрев многослойной пластинки до заданной температуры.

Таким образом, поставленная задача выполнена — поведение объекта управления исследовано, устройство его регулирования рассчитано.

Список использованных источников

1. А. В. Малков, И. М. Першин — «Системы с распределенными параметрами. Анализ и синтез».

2. Учебное пособие к выполнению курсовой работы по дисциплине «Моделирование распределенных систем управления».

Приложение Листинг программы

clear all

clc

NumVar = 10;

1. Зададим исходные данные:

Геометрические параметры пластины:

Lx = 0.1*NumVar;

Ly = 0.2*NumVar;

Lz = 0.04*NumVar;

% Слои пластины:

z1 = 0.6*Lz;

z2 = 0.7*Lz;

z_zv = 0.8*Lz;

Коэффициент температуропроводности:

a1 = NumVar*1*10^-5;

a2 = NumVar*2*10^-4;

a3 = 5*a1;

% Дискретизация:

Nx = 5;

Ny = 5;

Nz = 15;

delX = Lx/(Nx-1);

delY = Ly/(Ny-1);

delZ = Lz/(Nz-1);

delZ1 = (6/15)*(Lz/5);

delZ2 = (3/15)*(Lz/2);

delZ3 = (6/15)*(Lz/5);

delt = 0.01;

Технические параметры:

lambtp1 = NumVar*0.02;

lambtp2 = NumVar*5;

t=0;

i=3;

Fold = zeros (Nx, Ny);

T_g = zeros (Nx, Ny);

lapl = zeros (Nx, Ny);

T = zeros (Nx, Ny, Nz);

delT_etta_gamma_ksi = zeros (Nx, Ny, Nz);

U = zeros (Nx, Ny);

2. Расчет данных:

Расчет управления:

N1 = 1;

N4 = 1509.977;

E1 = 1.39;

E2 = 934.1678;

E4 = 0.99;

N1 = 80.765 158;

N4 = 57.231 289;

E1 = 34.8 664 826;

E2 = 9.278 370;

E4 = 0.5 944;

SUMM = zeros (5,5);

SUMM_prev = zeros (5,5);

for lmb = 1:1*10⁵

t = t + delt;

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

T_g (etta, gamma) = 10;

end

for etta = 1: Nx

for gamma = 1: Ny

F (etta, gamma) = T_g (etta, gamma) — T (etta, gamma, 4)

end

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

lapl (etta, gamma) = (F (etta-1,gamma)-2*F (etta, gamma)+F (etta+1,gamma))/delX²+…

(F (etta, gamma-1)-2*F (etta, gamma)+F (etta, gamma+1))/delY²;

SUMM_prev (etta, gamma) = E4*(((N4−1)/N4)*F (etta, gamma)-(1/N4)*lapl (etta, gamma))*delt;

SUMM (etta, gamma) = SUMM (etta, gamma)+SUMM_prev (etta, gamma);

% U (etta, gamma) = 1000*cos (pi*(i-0.5)*etta/(Nx-1))*sin (pi*gamma*(i-0.5)/(Ny-1));

U (etta, gamma) =E1*(((N1−1)/N1)*F (etta, gamma)-(1/N1)*lapl (etta, gamma)) + SUMM (etta, gamma) + E2*((F (etta, gamma)-Fold (etta, gamma))/delt);

end

Тепловые процессы, протекающие в печи

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

for ksi = 2:6

delT_etta_gamma_ksi (etta, gamma, ksi) = a1*delt*((T (etta-1,gamma, ksi)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta+1,gamma, ksi))/delX² + …

(T (etta, gamma-1,ksi)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta, gamma+1,ksi))/delY² + .

(T (etta, gamma, ksi-1)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta, gamma, ksi+1))/delZ1²);

end

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

for ksi = 8

delT_etta_gamma_ksi (etta, gamma, ksi) = a2*delt*((T (etta-1,gamma, ksi)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta+1,gamma, ksi))/delX² + …

(T (etta, gamma-1,ksi)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta, gamma+1,ksi))/delY² +

(T (etta, gamma, ksi-1)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta, gamma, ksi+1))/delZ2²);

end

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

for ksi = 10:14

delT_etta_gamma_ksi (etta, gamma, ksi) = a3*delt*((T (etta-1,gamma, ksi)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta+1,gamma, ksi))/delX² + …

(T (etta, gamma-1,ksi)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta, gamma+1,ksi))/delY² +

(T (etta, gamma, ksi-1)-2*T (etta, gamma, ksi)+T (etta, gamma, ksi+1))/delZ3²);

end

Граничные условия при переходе из среды в среду

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

T (etta, gamma, 7) = (lambtp1*T (etta, gamma, 6)+lambtp2*T (etta, gamma, 8))/(lambtp1+lambtp2);

T (etta, gamma, 9) = (lambtp1*T (etta, gamma, 10)+lambtp2*T (etta, gamma, 8))/(lambtp1+lambtp2);

end

for ksi = 2: Nz-1

for gamma = 2: Ny-1

for etta = 2: Nx-1

T (etta, gamma, ksi) = T (etta, gamma, ksi)+delT_etta_gamma_ksi (etta, gamma, ksi);

end

Входные воздействия

for etta = 2: Nx-1

for gamma = 2: Ny-1

% T (etta, gamma, 1) = delZ*utp/lambtp1 + T (etta, gamma, 2);

T (etta, gamma, 1) = delZ*U (etta, gamma)/lambtp1 + T (etta, gamma, 2);

end

Граничные условия:

for etta = 1: Nx

for gamma =1:Ny

for ksi = 1: Nz

T (Nx, gamma, ksi) = T (Nx-1,gamma, ksi);

T (etta, Ny, ksi) = T (etta, Ny-1,ksi);

T (etta, gamma, Nz) = T (etta, gamma, Nz-1);

F (Nx, gamma) = T (Nx-1,gamma);

F (etta, Ny) = T (etta, Ny-1);

end

for etta = 1: Nx

for gamma = 1: Ny

Fold (etta, gamma) = F (etta, gamma);

end

end

ForPlotT (lmb:) = T (4,2,6);

figure (1), plot (lmb, T (4,4,12)), hold on

figure (2), plot (lmb, U), hold on

end

Расчет характеристик:

n = length (ForPlotT);

M = ForPlotT (n);

M_vv = U (4,4);

K = M/M_vv

Psi_x = pi*(i-0.5)/Lx;

Psi_y = pi*(i-0.5)/Ly;

G = Psi_x² + Psi_y²