Задание 3. Решение систем нелинейных уравнений

Постановка задачи

Разработайте программу, позволяющую решить систему уравнений методом Ньютона с точностью 0.0001 (столбец 3 таблицы 2.1.1).

Математическая постановка задачи

Совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными называют системой уравнений.

Решением системы уравнений с несколькими неизвестными называется совокупность значений этих неизвестных, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

Решить систему равнений — значит найти множество всех ее решений или показать, что она решений не имеет.

Система нелинейных уравнений (СНУ) имеет вид:

Здесь — неизвестные переменные, а система называется нормальной системой порядка, где хотя бы одна из функций нелинейна.

Описание метода решения

Метод Ньютона для решения СНУ Совокупность аргументов можно рассматривать как n-мерный вектор. Аналогично совокупность функций представляет собой также n-мерный вектор (вектор-функцию).

Поэтому систему можно кратко записать так: .

Для решения системы будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено р-е приближение одного из изолированных корней векторного уравнения. Тогда точный корень уравнения можно представить в виде.

.

где — поправки (погрешность корня).

Введем в рассмотрение матрицу Якоби системы функций относительно переменных :

.

Если, то поправка выражается следующим образом:

где — матрица, обратная матрице Якоби.

Таким образом, последовательные приближения находятся по формуле.

(р=0, 1, 2, …).

К недостаткам метода Ньютона можно отнести сильную зависимость от выбора начального приближения и необходимость на каждом итерационном шаге вычислять матрицу производных.

Метод Ньютона для решения системы двух нелинейных уравнений Для системы двух нелинейных уравнений.

согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по итерационным формулам:

где.

а якобиан.

Начальное приближение определяется приближенно (графически, прикидкой и т. п.).

Итерационный процесс заканчивается, если выполняется следующее условие.

.

Частные производные можно находить аналитически или численно по формулам:

где число h — приращение аргумента функции, некоторое малое число.