Моделирование физических процессов

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал) Кафедра информационных систем и технологий

Моделирование физических процессов

Екатеринбург 2009

Введение

Математическая модель Описание теории применяемой к задаче Блок — схемы Листинг программы Фотография графика Решение задачи в MathCAD

Вывод Литература

Благодаря данной курсовой работе, я получу основные навыки: в моделирование физических процессов, грамотного распределения информации и грамотного использования возможностей языка программирования Pascal.

Курсовая работа является первой объёмной самостоятельной работой для меня в роли программиста. Эта работа завершает подготовку по дисциплине «Программирование на языках высокого уровня» и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам. После выполнения данной курсовой работы, я рассчитываю научиться строить графики функций, работать в MathCAD, и понимать геометрический смысл методов: Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта.

Математическая модель, постановка задачи

1. Обсчитать первую точку методами Рунге — Кутта и Эйлера модифицированного.

2. Построить график к первой точке.

3. Составить блок — схемы.

4. Написать программу.

5. Построить график в MathCAD.

6. Сделать выводы

Описание теории применяемой к задаче

Метод Рунге — Кутта. Теория:

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

= f (x, y), с начальным условием y () = .

Выберем шаг h и введём обозначения:

= + i*h, = y (), где

i = 0, 1, 2, …

— узлы сетки,

— значение интегральной функции в узлах.

Аналогично Модифицированного метода Эйлера решаем дифференциальное уравнение. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

Согласно методу Рунге — Кутта 4 порядка, последовательные значения искомой функции y определяются по формуле: = + ?y, где

? = (+ 2 + 2 + ), I = 0, 1, 2, …

А числа , , , на каждом шаге вычисляются по формулам:

h* f (, )

, )

, )

h* f (, +)

Обсчёт первой точки методом Рунге — Кутта:

Заданно уравнение движения материальной точки: = x*sin (t), с условием

t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2. Необходимо построить физическую и математическую модель движения.

tg (a) = x*sin (t) = 2*sin (1)= 1.6829

/(a) = 1.0346

t (b) = 1.6829 + 0.125 = 1.8079

x (b) = 2+0.125*1.8079 = 2.2259

tg (b) = 2.2259*sin (1) = 1.8730

/(b) = 1.0803

t© = 1.6829 + 0.025 = 1.7079

x© = 2 + 0.025*(1.7079) = 2.0426

tg© = 2.0426*sin (1) = 1.7187

/© = 1.0438

t (d) = 1.6829 + 0.0375 = 1.7204

x (d) = 2 + 0.0375*1.7204 = 2.0645

tg (d) = 2.0645*sin (1) = 1.7372

/(d) = 1.0484

Метод Эйлера модифицированный

Теория:

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

= f (x, y), с начальным условием y () = .

Выберем шаг h и введём обозначения:

= + i*h, = y (), где

i = 0, 1, 2, …

— узлы сетки,

— значение интегральной функции в узлах.

1) Обозначим точки: A (,), C (+h/2, +h/2*f (,)) и B (,).

2) Через точку A проведем прямою под углом a, где

Обсчёт точки модифицированным методом Эйлера

Заданно уравнение движения материальной точки: = x*sin (t), с условием

t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2. Необходимо построить физическую и математическую модель движения.

A (1; 2)

tg (a) = x*sin (t) = 2*sin (1)= 1.682

/(a) = 1.034

= + * f (,)

= 2 + 0.025*(1.6829) = 2.042

C (0.025; 2.042)

tg© = x*sin (t) = 2*sin (1.025) = 1.709

/© = 1.041

= +h*f (+; +*f (;))

= 2 + 0.05*(1.041) = 2.5 205

Листинг программы:

Uses crt, graph, graph0;

const

h=0.05;

var

gd, gm, n, i, j: integer;

a, b, k1,k2,k3,k4,d, g, c:real;

Xf:array[1.50] of integer;

Yf:array[1.50] of integer;

begin

clrscr;

a:=0;

b:=1.4;

n:=abs (round ((a-b)/h));

readln;

writeln (' x= y= ');

writeln;

c:=2;

d:=0;

for j:=1 to n do

begin

k1:=h*c*sin (d);

k2:=h*(c+0.5*k1)*sin (d+0.5*h);

k3:=h*(c+0.5*k2)*sin (d+0.5*h);

k4:=h*(c+k3)*sin (d+h);

g:=k1+2*k2+2*k3+k4;

Xf[j]: =round (100*d);

Yf[j]: =round (100*c);

if (j=1) or (j=2) or (j=3) or (j=4)

or (j =5) or (j=6) or (j=7) or (j=8) or (j=9) then

begin

write (' ');

write (j);write ('. '); write (d);write (' ');writeln (c);

delay (3000);

end

else

begin

write (j);write ('. '); write (d);write (' ');writeln (c);

delay (2000)

end;

d:=d+h;

c:=c+g/6;

end;

readln;

gd:=detect;

init ('c:tp70bgi');

setbkcolor (15);

setcolor (3);

line (0,240,640,240);

line (320,0,320,480);

for i:=1 to n do

begin

if i+1<=n then

begin

setlinestyle (0,0,3);

setcolor (7);

line (320+Xf[i], Yf[i]-160,320+Xf[i+1], Yf[i+1]-160);

putpixel (460,240,15);

putpixel (320,40,15);

putpixel (Xf[i]+320,Yf[i]-160,0);

end;

end;

readln;

closeGraph;

end.

Таблица измерений в Pascal, Mathcad:

X1 — метод Эйлера модифицированный, X2 — метод Рунге — Кутта, Xm — решение в Mathcad

Решение в Mathcad.

Вывод

В результате проделанной работы, я научился решать дифференциальные уравнения и строить к ним график, еще я научился решать такие уравнения в среде Turbo Pascal. Узнал, как решать различные уравнения в MathCAD. Еще я понял, как можно строить различный функции по точкам, с помощью циклов. Так же я понял, как нужно правильно масштабировать графики, в зависимости от заданной функции. Вследствие того, что данная курсовая, была для меня первой серьезной и объемной работой, я научился оформлять серьезные работы.

1. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., Численные методы анализа: Физматгиз, 1963.

2. Немюгин С. А. turbo Pascal. Практикум — СПБ.: Питер, 2009.

3. Немюгин С. А. turbo Pascal. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. — СПБ.: Питер, 2005.

4. М. М. Боженова, Л. А. Москвина.

5. Практическое программирование. Приемы создания программ на языке Паскаль.

6. Основные процедуры и функции модуля graph: http://rsc-team.ru/cgi-bin/index.pl?rzd=2&group=lection&ind=21