Операции над матрицами

Умножение числа на матрицу

Эта операция производится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы.

Произведением числа на матрицу называется матрица такая, что.

Элементы матрицы В вычисляются по формуле где.

Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть даны матрица, А и число б:

А =, б = 3.

Произведением матрицы, А на число б является матрица.

C = б Ч A =.

Определители квадратных матриц

Введение

определителя

Свяжем с каждой квадратной матрицей A некоторое число, вводимое по определенному правилу. Назовем это число определителем матрицы и обозначим его |A|.

Определителем матрицы первого порядка A = (a11) назовем число.

|A| = (a11).

Определителем матрицы второго порядка.

Назовем число, равное.

где Mij (индекс j равен 1 или 2) — определитель матрицы первого порядка, полученный вычеркиванием из матрицы A 1 — й строки и j — го столбца.

Например, определитель M11 получен из матрицы, А вычеркиванием 1 — й строки и 1 — го столбца. Следовательно, величина определителя M11 равна a22.

тогда.

Определителем матрицы третьего порядка.

назовем число, равное.

где Mij (индекс j равен 1, 2 или 3) — определитель матрицы второго порядка, полученный вычеркиванием матрицы, А 1-й строки и j-го столбца. Например, определитель M11 получен из матрицы, А вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца:

Подставим полученные соотношения в приведенную выше формулу:

Из структуры формулы видно, что в каждое слагаемое в правой части входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Воспользовавшись правилом треугольника, можно приведенную выше формулу легко запоминать. Для этого берутся произведения элементов,.

соединенных линиями. На рисунке слева линиями указаны произведения элементов, которые следует взять со знаком «+», справа — со знаком «-».

Например, величина определителя матрицы.

равна.

Предположим, что определители матриц, порядок которых меньше n, введены. Определителем квадратной матрицы n — го порядка.

назовем число.

где Mij — определитель матрицы (n — 1) — го порядка, полученной из матрицы, А вычеркиванием 1-й строки j-го столбца.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij элемента бij матрицы A n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, минор M23 элемента б23 матрицы третьего порядка получается вычеркиванием из матрицы 2-й строки и 3-го столбца:

Алгебраическим дополнением Aij элемента бij матрицы, А n-го порядка называется минор Mij взятый со знаком (-1)i+j:

Используя понятие алгебраического дополнения, приведенную выше формулу можно записать в виде.