Принятие решений в информационных системах

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Рязанский Государственный Радиотехнический Университет Кафедра АСУ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Принятие решений в информационных системах Рязань 2011.

1. Постановка задачи В меню кафе кроме других блюд предлагаются овощное рагу и салат «Оливье». Для их приготовления имеются следующие ресурсы:

— мясо курицы:30 единиц;

— разные овощи: 3 единицы;

— персонал: 30 единиц;

— электроэнергия: 24 единиц;

— оборудование: 4 единицы;

На приготовление овощного рагу расходуется 2 единицы мяса курицы, 1 единица разных овощей, 6 единиц персонала экономится 1 единица оборудования.

Не используется электроэнергия.

Стоимость одной порции рагу — 4 единицы.

На приготовление салата «Оливье» расходуется 3 единицы мяса курицы, 4 единицы электроэнергии, 1 единица оборудования экономятся 3 единицы разных овощей, 6 единиц персонала.

Стоимость одной порции салата «Оливье» — 7 единиц.

Требуется определить количество приготовленных салатов «Оливье» и овощных рагу, при котором прибыль от их продажи будет максимальной.

2. Математическая модель.

2.1 Управляемые параметры.

x₁ — количество выпускаемых рагу в месяц;

x₂ — количество выпускаемых оливье в месяц;

(х1, х2) — решение.

2.2 Ограничения.

2х₁ — Мяса курицы необходимо для одного рагу;

3x₂ — мяса курицы необходимо для одного оливье;

2x₁+3x₂— общее количество монтажных плат, потраченных за месяц.

Общее количество металла не превосходит количества, имеющегося у фирмы:

2x₁+3x₂<=3;

Аналогично ограничения по другим ресурсам:

1x₁-3x₂<=3;

6x₁-6х₂<=30;

0х₁+4х₂<=24;

— 1х₁+1х₂<=4;

2.3 Постановка задачи Найти такие х1 и х2, при которых достигается максимальное значение целевой функции:

Fmax (х1, х2)=4x₁+7x₂.

прибыль матрица функция.

3. Графическое решение Оптимальное решение находится путём параллельного переноса целевой функции на графике. Функция максимальна в точке Fmax (6,0;6,0)=66,00.

Рисунок 1 — Графическое решение Нахождение оптимального решения является только начальным этапом решения задачи линейного программирования. Большой интерес представляет исследование возможности отклонения заданных параметров без изменения найдённого оптимального решения. Среди анализируемых параметров можно выделить следующие:

Значения коэффициентов правых частей системы ограничений b_i;

Значения коэффициентов целевой функции с_j;

3. Значения коэффициентов матрицы системы a_ij..

3.1 Исследование чувствительности решения к изменению правых частей ограничений Основная цель анализа чувствительности в данном случае состоит в том, что для каждого коэффициента b_i (i=1,m) необходимо определить интервал (b_imin, b_imax), для всех значений которого система ограничений была бы совместна, и её решение не изменялось. Для исследования чувствительности решения задачи ЛП к изменениям коэффициентов правых частей ограничений анализируется ОДР на возможность параллельного переноса прямой, соответствующей i — ому ограничению и не примыкающей к оптимальной вершине.

Точка D соответствует оптимальному решению. Границы ОДР, примыкающие к вершине D, то есть CD и DE, не могут быть перенесены без изменения координат D, а значит, и оптимального решения.

Границу AB можно переместить параллельно самой себе в сторону начала координат или наоборот. Параллельный перенос AB означает изменение коэффициента b₂ уравнения этой прямой. Перемещать можно до тех пор, пока тоски A и B максимально не приблизятся друг к другу, таким образом, определится максимальное значение коэффициента b_2max. Минимальное значение определится параллельным переносом в противоположную сторону до тех пор, пока точки, А и О максимально не сблизятся.

Машинные данные:

b_2min=0,25; b_2max=4,75.

Рисунок 2 — ОДР при b₂ = b_2min.

Определение минимума коэффициента b₃:

b_3max достигается при максимальном приближение точек B и C.

b_3max=49,5;

Определение максимума коэффициента b₃: b_3min=18,5.

Рисунок 3 — ОДР при b₃ = b_3min.

Определение минимума коэффициента b₅:

b_5min достигается при максимальном приближение точек Е и F.

b_5min=0,25;

Определение максимума коэффициента b₅: b_5max=1,75.

Рисунок 4 — ОДР при b₅= b_5max.

Вывод: ресурсы b₅(оборудование), b₂ (разные овощи), b₃ (персонал) имеют запас. Т. е. их можно уменьшить b₅ с 4 до 0,25 единиц, b₂ с 3 до 0,25 единиц, b₃ с 30 до 18,5, без изменения максимальной прибыли.

3.2 Исследование чувствительности решения к изменению коэффициентов матрицы.

Анализ чувствительности решения к изменениям коэффициентов матрицы системы сводится к отысканию допустимых пределов изменения коэффициентов а_ij при сохранении найденного оптимального решения, т. е. найти пределы поворота границ ОДР, не примыкающих к вершине D.

Поворот прямой нужно выполнять относительно точек ее пересечения с осями координат.

Определение диапазона изменения коэффициента а₃₁ и а₃₂ (прямая BС):

Вращение прямой BС по часовой стрелке будет продолжаться до тех пор, пока она не станет продолжением прямой АB. (Относительно т. В).

Вращение прямой BС против часовой стрелки будет продолжаться до соединения т. С с т. D. (Относительно т. В).

a_31max=9,69а_31min=2,04.

a_32max=2,91 а_32min=-28,14.

Рисунок 5 — ОДР при а₃₁=5,01, а₃₂=-0,09.

Определение диапазона изменения коэффициента а₂₁ и а₂₂ (прямая АB):

Вращение прямой АB по часовой стрелке будет продолжаться до т.О. (Относительно т. В).

Вращение прямой АB против часовой стрелки будет продолжаться до тех пор, пока она не станет продолжением прямой ВC (Относительно т. В).

a_21max=9,13а_21min=0,6.

a_22max=-0,63 а_22min=-51,76.

Рисунок 6 — ОДР при а₂₁=0,6, а₂₂=-0,63.

Определение диапазона изменения коэффициента а₅₁ и а₅₂ (прямая ЕF):

Вращение прямой ЕF по часовой стрелке будет продолжаться до т.О. (Относительно т. Е).

Вращение прямой ЕF против часовой стрелки будет продолжаться до тех пор, пока она не станет продолжением ED. (Относительно т. Е).

a_51max=-0,01 а_51min=-60,64.

a_52max=20,88 а_52min=0,67.

Рисунок 7 — ОДР при а₅₁=-60,64, а₅₂=20,88.

Вывод: Изменение a_ij в найденных пределах не меняет оптимального значения целевой функции.

3.3 Исследование возможности увеличения оптимального значения целевой функции.

Целевая функция возрастает при параллельном переносе границ ОДР, прилегающих к оптимальному решению в сторону от начала координат.

При этом b₄ (прямая ED) будет возрастать пока т. E не совпадёт с т. D, а b₁ (прямая DC) — пока точки D и C не приблизятся друг к другу максимально.

b_1max=39,5, при этом Fmax=85,00.

b_4max=30,00, при этом Fmax=67,50.

Рисунок 8 — ОДР при Fmax=85,00.

Вывод: для увеличения прибыли в данной задаче необходимо увеличить ресурс b₁ (мясо курицы) с 30 до 39,5 единиц, а ресурс b₄ (электроэнергия) с 24 до 30 единиц.