Выбор дробных реплик

При выборе функций отклика предполагалось, что известные коэффициенты при взаимодействиях факторов равны нулю, что далеко не всегда соответствует реальным ситуациям. Если применять регулярные реплики, то в этом случае возможны события, когда число неизвестных параметров функции отклика будет больше числа опытов {Yu}.

В этом случае допускается оценивание коэффициентов при линейных членах, смешанных со взаимодействиями высших порядков. Может быть смешанной часть оценок при парных взаимодействиях.

Рассмотрим пример использования реплик для случая, когда число неизвестных параметров функции отклика больше числа опытов.

Пусть функция отклика имеет вид.

=0 + 1×1 +2×2 + 3×3 + 12×1×2 +13×1×3 + 23×2×3.(6.13).

Имеется дробный факторный план D, задаваемый генерирующим соотношением х3 = х1×2 :

.

Число неизвестных коэффициентов в функции отклика р+1=7, число наблюдений N0=4, N0<�р+1.

Составим матрицу независимых переменных.

Информационная матрица S=ХTХ будет вырожденной, т. к. она матрица порядка 7×7, а rankS=4. Следовательно, уравнение (6.7) будет иметь бесконечное множество решений.

Для рассмотренного примера модель наблюдений M{Y}=Х, D{Y}=21In0 является моделью наблюдений неполного ранга, поскольку rankХ=N0<�р+14. Здесь 2 — неизвестный параметр, In0 — единичная матрица порядка N0.

Для получения решений сводят задачу исследований модели наблюдений неполного ранга к задаче исследования модели наблюдений полного ранга M{Y}=Х0r, D{Y}=21In, где Х0=(Хij), — матрица порядка r; r=0+A*, r=(1,2,…, r) T — вектор неизвестных параметров; A=(Х0TХ)-1Х0TХ*, 0=(1,2,…, r) T, *=(r+1,r+2,…, р) T, Х=(Х0,Х*).

Свести модель наблюдений неполного ранга к модели наблюдений полного ранга можно, если допустить смешивание неизвестных параметров векторов 0 и *.

Как видно из матриц D3−1 и Х, в точках плана, в которых выполняются наблюдения {Yu}, имеют место следующие равенства:

х1=х2×3, х2=х1×3, х3=х1×2.

Функцию отклика (6.13) запишем в виде.

r0=0, r1=1+23, r2=2+13, r3=3+12.

Эта функция отклика будет определена в точках плана D3−1, а матрица Х0 будет иметь вид.

Функция отклика (6.14) соответствует модели наблюдений полного ранга, которая называется приведенной моделью.

M{Y}=Х0r, D{Y}=2I4, RankХ0=rankХ=4.

Матрица Х0 является матрицей ортогонального планирования U, следовательно, существуют однозначные оценки вектора r.

r=(ХOTХO)-1ХOTY=(ХOTY)/N,.

или для каждой j-той компоненты.

.

Отметим, что.

.

Формально определено, что r=0+A*, причем r=(r0,r1,r2,r3)T, 0=(0,1,2,3)T, *=(12,13,23)T, а матрицу A находим из уравнения A=(Х0TХ)-1Х0TХ* и она имеет вид.

.

Если решить при этих условиях уравнение r=0+A*, то получим систему параметрических функций.

r0=0, r1=1 + 23, r2= 2 +13, r3=3 + 12.

Для получения правила смешивания, с помощью которого можно было определить, совокупность каких линейных эффектов и эффектов взаимодействия оценивается, введено понятие контраста плана или определяющего контраста. Правила смешивания с помощью определяющего контраста отображаются в системе линейно независимых параметрических функций, допускающих посмещенное оценивание.

Определяющим контрастом полуреплики 2k-1 называют ее генерирующее соотношение, умноженное на свою левую часть [13].

Если генерирующее соотношение полуреплик 2k-1 задано соотношением, где 1<�…

Так как хk[-1,+1], то определяющий контраст имеет вид.

.

Умножая данные уравнения последовательно на переменные, получим систему равенств, на базе которой составляется система параметрических функций.

Например, для дробной реплики 23−1, задаваемой генерирующим соотношением х3=х1×2, определяющий контраст имеет вид 1=х1×2×3.

Умножим его на переменные х1, х2 и х3 и получим систему равенств:

, .

Эта система равенств устанавливает соответствие для составления системы параметрических функций.

r1=1 + 23×1=х2×3;

r2= 2 +13×2=х1×3;

r3=3 + 12×3=х1×2.

Но данный подход не позволяет получить несмещенные (раздельные) оценки параметров 1, 2, 3. Чтобы решить эту задачу, достаточно построить еще полуреплику 23−1, которая будет задаваться генерирующим соотношением х2=-х1×3. Система равенств, отображающих смешивание, будет иметь вид х1=-х2×3; х2=-х1×3; х3=-х1×2.

Следовательно, возможно МНК — оценка следующих неизвестных коэффициентов:

r*1=1+23, r*2=2+13, r*3=3+12.

На основе оценок полуреплик 23−1 (х4=х1×3) и 23−1 (х4=-х1×3) находим несмещенные оценки.

.

Рассмотрим аналогичную задачу нахождения смещенных оценок для полуреплики 24−1. Пусть функция отклика имеет вид.

Матрица плана ДФЭ 24−1 построена с использованием генерирующего соотношения х4=х1×2. Определяющий контраст имеет вид 1=х1×2×4.

Умножим его последовательно на переменные х1, х2, х3, х4. Получим следующую систему равенств:

1=х1×2×4; х1=х2×4; х2=х1×4; х3=х1×2×3×4; х4=х1×2; х1×3=х2×3×4; х2×3=х1×3×4; х3×4=х1×2×3.

Исходя из этой системы равенств, построим систему параметрических функций, допускающих несмещенное оценивание параметров функции отклика.

r0=0 +124, r1=1 + 12, r2= 2 +14, r3=3 + 1234.

r4=4 + 12, r5= 13 +234, r6=23 + 134, r7=34 + 123.

Если для оценивания параметров функции отклика применяется (¼)-реплика или реплики более высокой дробности, то система смешивания линейных эффектов и эффектов взаимодействий между собой будет более сложной, поскольку для задания (1/g)-реплик (g>2) необходимо не менее двух генерирующих соотношений.

Пусть четверть-реплика 25−2 задается генерирующими соотношениями х4=х1×2 и х5=х1×2×3. Умножив их на х4 и х5 соответственно, получим определяющие контрасты 1=х1×2×4; 1=х1×2×3×5.

Если их перемножим, то получим еще один определяющий контраст 1=х3×4×5. Затем получаем обобщенный определяющий контраст.

1=х1×2×4=х1×2×3×5=х3×4×5.

Для получения системы равенств, отображающих систему смешивания независимых переменных и взаимодействий, следует умножать отображенный определяющий контраст последовательно на независимые переменные х1, х2, х3, х4, х5. Система уравнений будет иметь следующий вид:

х1=х2×4=х2×3×5=х1×3×4×5;

х2=х1×4=х1×3×5=х2×3×4×5;

х3=х1×2×3×4=х1×2×5=х4×5;

х4=х1×2=х1×2×3×4×5=х3×5;

х5=х1×2×4×5=х1×2×3=х3×4;

х1×3=х2×4×3=х2×5=х1×4×5;

х1×5=х2×4×5=х2×3=х1×3×4.

С учетом обобщенного определяющего контраста получено восемь равенств, которые однозначно определяют систему параметрических функций смешивания эффектов:

r0=0+ 124 + 335 + 1235;r1=1 + 24 + 235 + 1345;

r2=2+ 14 + 135 + 2345;r3=3 + 45 + 125 + 1234;

r4=4+ 12 + 35 + 12 345;r5=5 + 34 + 123 + 1245;

r6=13+ 25 + 145 + 234;r7=15 + 13 + 134 + 245.

Получен вектор, оценивание которого возможно по данным вектора наблюдений Y=(y1,y2,…, y8) T и данным матрицы Х0.

.

которая является матрицей ортогонального планирования и ее rankХ0=8.

Проблема выбора дробных планов является основной при планировании факторных экспериментов. Ее решение направлено на нахождение таких дробных реплик 2k-g, которые бы позволили получить несмещенные МНК-оценки для всех неизвестных параметров функции отклика. Отметим особенности применения дробных реплик:

• — число опытов N0<�р+1 — числа неизвестных параметров модели;
• — модель наблюдений является моделью неполного ранга, равного N0;
• — матрица независимых переменных приведенной модели полного ранга является матрицей ортогонального планирования;
• — система параметрических функций, допускающих оценку, выводится из определяющих контрастов.