Программная система MathCad

Одной из основных областей применения компьютера, как в начале истории ЭВМ, так и поныне являются математические и научно-технические расчеты. Компьютер сам по себе не упрощает математические расчеты, а лишь позволяет существенно повысить скорость их выполнения и сложность решаемых задач, в то м числе с использованием удобного ввода исходных данных и вывода результатов. Вплоть до 90-х годов прошлого столетия пользователям, прежде чем выполнять такие расчеты, нужно было изучать сам компьютер, один из языков программирования и довольно сложные методы вычислений, уметь применять и подстраивать под свои цели программы для решения расчетных задач на языках Бейсик, Фортран или Паскаль. Поневоле ученому и инженеру, физику, химику и математику приходилось становиться программистом, к сожалению, далеко не самым квалифицированным.

В конце 80-х — начале 90-х годов 20 — го века в связи с появление новых высокопроизводительных и при этом относительно дешевых персональных ЭВМ появился новый класс прикладного программного обеспечения — интегрированные математические программные системы для научно-технических расчетов, такие как: Eureka, MatLAB, MathCAD, Maple, Mathematica и др. Главное их преимущество перед классическими сиcтемами программирования заключалось в том, что во-первых, необходимые для решения задач численного моделирования функции и процедуры уже входили в их состав, а во-вторых, в них изначально был использован интуитивный и понятный пользовательский интерфейс, ориентированный на ученых и инженеров. Поэтому владеть навыками программирования при решении инженерно — технических и научных задач уже не требовалось.

Большое число подобных разработок свидетельствует о значительном интересе к ним во всем мире и бурном развитии компьютерных математических систем.

Однако самую широкую известность и заслуженную популярность среди интегрированных систем для автоматизации математических расчетов приобрела система MathCAD, разработанные фирмой MathSoft (США). По сей день она остается практически единственной системой, в которой описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. Так что система MathCAD вполне оправдывает аббревиатуру CAD (Computer Aided Design), говорящую о принадлежности к наиболее сложным и продвинутым системам автоматического проектирования — САПР. Можно утверждать, что MathCAD — своего рода САПР в математике.

MathCAD — математически ориентированная универсальная система. С момента своего появления она имела удобный пользовательский интерфейс — совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. Есть и эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Помимо собственно вычислений она позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются другим популярным программам. Словом, система MathCAD ориентирована на массового пользователя — от ученика начальных классов до академика.

Таким образом, целью настоящей выпускной квалификационной работы является изучение пакета Mathcad как средства решения инженерно — технических задач и реализация с его помощью нескольких примеров конкретных расчетных задач. Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

— изучить основные возможности пакета Mathcad применительно к решению прикладных инженерных задач;

— проанализировать несколько классов инженерно — технических задач и выбрать примеры таких задач, которые возможно решить средствами Mathcad в рамках данной выпускной квалификационной работы;

— реализовать эти задачи средствами Mathcad.

В процессе выполнения работы была использована самая различная литература, посвященная численному решению инженерно — технических задач на ЭВМ. В частности, это такие книги как:

— «Инженерные расчеты в Mathcad 15. Учебный курс 6» (Евгений Макаров), где содержатся сведения, необходимые для начала работы в Mathcad и решения практических задач, описание вычислительных возможностей программы и примеры решения инженерно — технических задач.

— «Mathcad. Теория и практика проведения электротехнических расчетов в среде Mathcad и Multisim (+ DVD-ROM)» (Э.В. Любимов), материал которой посвящен приемам, методам и возможностям проведения электротехнических расчетов с применением Mathcad; в книге в краткой и доступной форме приведены сведения из теории, даны методические указания по методам расчета и моделирования, также в книге содержится 3300 вариантов задач по 33 темам курса электротехники.

Кроме этого, автором были подробно изучены и проанализированы публикации в печати, и Интернет, относящиеся к данной теме, а также ряд тематических сайтов, посвященных численному моделированию, различные тематические форумы и т. д. с целью получения наиболее полной информации по изучаемым вопросам.

Детальный анализ полученной в ходе подготовки данной работы информации позволяет сделать вывод, о том, что в настоящее время вопросам численного моделирования различных процессов и решению самых разнообразных расчетных задач на ЭВМ уделяется все большее внимание. При этом специалисты — инженеры, в совершенстве владеющие вопросами численного моделирования, становятся все более востребованы как в плане трудоустройства, как и оплаты труда. Не вызывает сомнений, что эта тенденция сохранится и в обозримом будущем.

В связи с вышесказанным, рассматриваемая тема выпускной квалификационной работы является актуальной и заключается в необходимости подготовки такой работы, в которой в доступной форме будут рассмотрены основные расчетные возможности системы Mathcad и примеры решения типовых расчетных инженерных задач.

Предметом исследования в работе являются инженерно технические задачи численного моделирования, пригодные для решения современными вычислительными средствами.

Объектом исследования являются математический пакет Mathcad, как универсальное и в то же время простое для освоения и использования средство решения самых разнообразных математических, физических, инженерных и других задач.

Методами исследования при написании выпускной квалификационной работы являются:

— изучение и анализ печатной литературы, и Интернет публикаций;

— изучение и обобщение отечественной и зарубежной практики;

— сравнение и анализ полученной информации;

— численное моделирование и компьютерный эксперимент.

Практическая значимость выпускной квалификационной работы заключается в возможности использования результатов работы в учебной деятельности, а также для ознакомления обычных пользователей с современными методами и средствами численного решения задач на ЭВМ.

1. Общие сведения о системе MathCad

1.1 Краткая историческая справка и описание современной версии системы

mathcad интерфейс технический программный Как уже говорилось во введении, MathCad — программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом.

Mathcad был задуман и первоначально написан в конце 80-х годов 20 — го века Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).

Mathcad относится к системам автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования. В частности, Mathcad, в отличие от Maple, изначально создавался для численного решения математических задач, он ориентирован на решение задач именно прикладной, а не теоретической математики, когда нужно получить результат без углубления в математическую суть задачи. Если требуется большой объем символьных вычислений, как раз и используют Maple (с версии 14 — MuPAD). Особенно это полезно, когда речь идет о создании интерактивных пакетов образовательного назначения, когда необходимо продемонстрировать построение математической модели, исходя из физической картины процесса или явления.

При разработке новых версий авторы Mathcad сделали ставку на расширение системы в соответствии с потребностями пользователя. Для этого создаются дополнительные библиотеки и пакеты расширения с дополнительными функциями, которые при необходимости можно приобрести отдельно, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующих алгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах.

Несмотря на то, что эта программа, в основном, ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Самая последняя версия Mathcad на сегодняшний день 15. Кроме этого, разрабатывалась и совершенно новая система Mathcad Prime, но она еще не получила широкого распространения.

Количество лицензионных пользователей Mathcad в мире — более 2 млн.

1.2 Основные возможности современной версии MathCad 15

Основное отличие MathCad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации — имеют точно такой вид, как в книге, тетради, на доске. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов. Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get — «что видишь, то и получаешь»).

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Mathcad изначально задумывался как средство «программирования без программирования», но, если потребность программирования все же возникает — например, если не имеется нужной функции, решить задачу аналитически невозможно, необходимо выполнить серийные расчеты — имеются довольно простые инструменты программирования, однако, позволяющие, строить достаточно сложные алгоритмы.

Отдельно следует отметить возможность использования в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или даже построить собственную. Результаты вычислений также получают соответствующую размерность.

Среди основных возможностей Mathcad можно выделить:

· Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами.

· Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.).

· Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте.

· Выполнение вычислений в символьном режиме.

· Выполнение операций с векторами и матрицами.

· Символьное решение систем уравнений.

· Аппроксимация кривых.

· Создание и выполнение пользовательских программ.

· Поиск корней многочленов и функций.

· Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей.

· Поиск собственных чисел и векторов.

· Вычисления с единицами измерения.

· Интеграция с САПР-системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров и т. д.

Дополнения Mathcad 15.0 включают 25 новых функций для расчетов по планированию экспериментов, помогающих сократить время, затраченное на натурные эксперименты, за счет понимания общей тенденции при испытаниях, улучшенные расчетные библиотеки и расширенную интеграцию с решениями сторонних производителей, например с Microsoft Excel 2010 и. Mathcad 15.0 поддерживает работу многих систем автоматизированного проектирования, а также позволяет осуществить интеграцию с базами данных с различными справочным материалами, позволяющими найти критические факторы и оптимальные условия при моделировании сложных процессов. Предусматривается поддержка операционной системы Microsoft Windows 7 в полном объеме.

Далее рассмотрим основные возможности Mathcad и приемы работы с ним, которые требуются для проведения большинства инженерных расчетов.

1.3 Интерфейс Mathcad

Основное отличие Mathcad от аналогичных программ — это удобной графический режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае — формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая соответствующие изменения результата. Это дает возможность создания полноценных интерактивных вычислительных документов.

При запуске программы с рабочего стола или из Главного меню Windows открывается файл Mathcad. exe, после чего на экране отображается рабочее окно Mathcad. Внешний вид окна такой же, как у большинства Windows программ. Вверху расположено главное меню и пять панелей инструментов: Standard (Стандартная), Formatting (Форматирование), Math (Математическая), Controls (Контроль) и Resources (Документация). По умолчанию загружается пустой файл Untitled 1 (Безымянный 1), представляющий из себя шаблон Normal (Обычный) рабочего документа Mathcad. Такеже при загрузке открываются окна Tip of the day (Совет дня) и Mathcad Resource (Документация Mathcad).

Главное меню Mathcad в верхней части окна, также как и у других программ, предназначено для управление всеми процессами, кроме того, оно позволяет выполнить все входящие в программу команды и функции.

Рассмотрим команды Главного меню программы Mathcad.

1. File (Файл) — создание, открытие, сохранение, пересылка по электронной почте, печать документов на принтере и просмотр свойств документа.

2. Edit (Правка) — правке текста, включающая копирование, вставку, удаление фрагментов, отмену и возврат последнего действия и т. д.

3. View (Вид) — внешний вид документа и самой программы Mathcad, а также создание эффектов анимации.

4. Insert (Вставка) — вставка объектов в документ.

5. Format (Формат) — форматирование объектов — текста, формул и графиков.

6. Tools (Инструменты) — управление вычислительными операциями.

7. Symbolics (Символьные операции) — вычисление выражений в символах.

8. Window (Окно) — управление расположением окон с документами.

9. Help (Помощь) — вызов справочной информации.

Рисунок 1 — Окно программы Mathcad и панели инструментов

Как видно из описания, за исключением двух пунктов — Инструменты и Символьные операции — остальная структура меню аналогична любой другой прикладной программе Windows. Содержание этих пунктов также аналогично, за исключением, пожалуй пункта Вставка, в котором содержатся подпункты вставки специальных объектов — графиков, элементов формул, функций и т. д.

Пункты Инструменты и Символьные операции предназначены для работы с математическими объектами. Инструменты — для организации обычных вычислений в числовом виде, Символьные операции — для символьных вычислений.

Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто применяемых команд. Вид панелей показан на рисунке 1:

• Standard (Стандартная) — действия с файлами, редактирование документов, вставка объектов и т. д.

• Formatting (Форматирование) — форматирование текста, формул, графиков и других объектов.

• Math (Математика) — вставка математических операторов и символов.

• Recources (Дополнительные ресурсы) — список электронных книг, входящих в оболочку Mathcad.

• Controls (Элементы управления) — кнопки для дополнительного управления работой Mathcad-документа.

• Debug (Отладка) — появилась, начиная с версии 13, предназначена для трассировки программ.

Панели инструментов Стандартная и Форматирование также во многом аналогичны другим приложениям, поэтому подробно разбирать их в данной работе не имеет смысла.

Панель Математика содержит 9 кнопок, нажатие на которые приводит к раскрытию панели второго уровня. Рассмотрим их подробнее:

1. Calculator (Калькулятор) — вставка шаблонов математических операций, цифр, знаков.

2. Graph (График) — вставка шаблонов и обработка графиков.

3. Matrix (Матрица) — вставка шаблонов матриц и операций с ними.

4. Evaluation (Выражения) — операторы присвоения и вывода результатов расчета.

5. Calculus (Вычисления) — вставка шаблонов вычислительных операторов дифференцирования, интегрирования, суммирования, произведения, пределов и градиента.

6. Boolean (Булевы операторы) — вставка логических операторов.

7. Programming (Программирование) — операторы, необходимые для создания программ.

8. Greek (Греческие буквы).

9. Symbolics (Символьные операции) — операторы символьных вычислений.

При наведении указателя мыши (курсора) на любую из кнопок рядом с ней появляется всплывающая подсказка — короткий текст, поясняющий назначение кнопки.

1.4 Ввод и редактирование выражений

Перед началом работы курсор имеет вид красного крестика. В момент ввода выражения курсор приобретает вид синего уголка, окаймляющего часть вводимого выражения. Ввод начинается с имени переменной, после нее ставится знак присваивания (знак:), а затем само выражение или константа. Имя выражения (та часть, которая левее оператора присваивания) может состоять из латинских, русских, греческих букв и цифр, знаков подчеркивания (_), штриха (`), процента (%), бесконечности?, вводимых с клавиатуры.

Рисунок 2 — Ввод математического выражения Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, подчеркивания, штриха, процента (%), не могут включать пробелы. Символ бесконечности может быть только первым в имени переменной. Mathcad воспринимает прописные и строчные буквы, а также введенные разными шрифтами как различные.

Редактирование введенных выражений производится следующими способами:

1. ?Курсор перемещается по экрану клавишами со стрелками или левой кнопкой мыши ставится в нужное место экрана.

2. ?Для выделения одного символа синим уголком курсора нужно установить курсор так, чтобы он охватывал этот символ слева или справа.

3. ?Для расширения выделения на часть или выражение целиком удобнее использовать клавиши со стрелками или пробел. Для перехода из оператора на уровень выше можно также использовать пробел. Уголок курсора должен охватывать все выражение или его часть, над которой надо выполнить действие.

4. Для выделения части или всего выражения надо щелкнуть левой кнопкой мыши в начале или в конце выделяемого выражения и переместить курсор до другого края с нажатой левой кнопкой мыши. Можно использовать клавиши Shift+< или Shift+>. Выделенная часть выражения черного цвета. Выделение в Mathcad используется для вырезания или копирования части выражения, изменения шрифта, а также для выполнения некоторых видов символьных вычислений.

5. ?Для выделения объекта или группы (математических, текстовых или графических) надо щелкнуть мышью на свободном месте рабочего листа и протянуть прямоугольник выделения так, чтобы он захватил нужные объекты. Один объект будет выделен синим курсоров, а группа объектов — пунктирной рамкой.

Если надо удалить, вырезать или скопировать выделенную часть выражения, выделенный объект целиком или группу выделенных объектов, используются такие же команды, как и в других приложениях Windows.

Некоторые латинские и греческие буквы зарезервированы в качестве констант. Так, латинская буква е внутри математического выражения является основанием натурального логарифма е = 2,718. Это значение можно отменить, присвоив ей любое другое значение, используя знак локального присваивания:=.

Знак бесконечности? можно вставить с математической панели Calculus.

Если какой-либо константе или переменной не присвоено никакого значения левее и выше ее на экране, то она будет окрашена в красный цвет, указывая на ошибку. Все переменные и функции должны быть предварительно определены.

Если константы в правой части функции пользователя не заданы непосредственно перед использованием этой функции их значения берутся такими, какие были в последний раз перед этим расчетом.

Для ввода простого текста можно выбрать команду Insert Text Region (Вставить Текстовую область) в главном меню, но удобнее ввести с клавиатуры символ кавычки и далее сам текст. На экране появится текстовая область, в которой можно печатать. Также, сменив латинский шрифт на русский, начать печатать текст в любом месте документа. Как только будет напечатано первое слово, при нажатии пробела эта область автоматически превращается в текстовую.

В Mathcad на точность расчета повлиять нельзя, но можно изменить формат вывода результатов. В Mathcad 11 вычисления совершаются с точностью 12 знаков, а в Mathcad 15 — до 17 знаков.

1.5 Размерности

Mathcad позволяет вести расчеты как с учетом размерностей, так и без них. Для включения размерности при вводе исходных данных достаточно умножить число на размерность. Любые действия с введенными таким образом величинами будут выполняться с учетом размерности.

Перед началом работы с размерными величинами надо ввести систему единиц, с которой предполагается работать. В дальнейшем в начале документа при вводе исходных данных их надо записывать, умножая число на переменную, обознающую размерность. В принципе, пользователь может придумать и использовать свои, абсолютно любые размерности.

Ограничения на проведение размерных расчетов:

• При расчетах с матрицами все элементы матриц, используемых в расчетах, должны иметь одинаковую размерность.

• Ряд встроенных функций не может работать с размерными величинами. Это функции регрессии, сглаживания, Odesolve, вычисления логарифма (функции ln и log). Для того чтобы обойти это ограничение, нужно сделать безразмерными аргументы функций, разделив размерную величину на ее размерность.

• В сложных расчетах при использовании многих функций и нескольких дискретных переменных учет размерностей может быть затруднен. В таких случаях размерность можно указать рядом с результатом расчета в виде комментария.

1.6 Типы данных

В Mathcad используются следующие типы данных:

• числа (действительные, комплексные, встроенные константы) — все числа в формате двойной точности (17 знаков) с плавающей точкой;

• строки — любой текст, заключенный в кавычки (или с пробелом);

• массивы (ранжированные переменные, векторы и матрицы) — упорядоченные последовательности чисел или строк.

Любое выражение, начинающееся с цифры, Mathcad определяет как число. Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу.

Для числовых форматов существуют следующие варианты:

• General (Общий) — принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком. Число знаков перед запятой определяется в пункте Exponential threshold (Порог экспоненты).

• Decimal (Десятичный) — десятичное представление чисел с плавающей запятой: 12,2564.

• Scientific (Научный) — числа отображаются только с порядком: 1,22.10⁵.

• Engeneering (Инженерный) — числа отображаются только с порядком, кратным 3: 1,22.10⁶.

• Fraction (Дробь) — числа отображаются в виде обыкновенной дроби.

Массивами (Arrays) называют упорядоченные последовательности чисел, или элементов массива. В Mathcad условно выделяются следующие типы массивов: векторы (одномерные массивы), матрицы (двумерные), тензоры (многомерные), ранжированные переменные (Range variables) — векторы, элементы которых определенным образом зависят от индекса. Простейший пример ранжированной переменной — это массив с числами, лежащими в некотором диапазоне с заданным шагом. Для ввода используется либо кнопка панели инструментов, либо точка с запятой.

1.7 Функции

Функции в Mathcad записываются в обычной для математиков форме:

f (х,…) — функция;

f — имя функции; х,… — список переменных.

Удобнее всего ввести написание функции в документ при помощи клавиатуры.

В Mathcad формально можно разделить функции на два типа:

— встроенные функции;

— функции, определенные пользователем.

Mathcad содержит свыше 200 встроенных функций. Для вставки функции также можно нажать кнопку f (x) на стандартной панели инструментов. Откроется окно со списком всех встроенных функций, разделенных на группы. Щелчок мыши на любой из групп приводит к открытию перечня функций, входящих в эту группу.

Основные встроенные функции Mathcad приведены в Приложении 1.

Для того чтобы определить функцию пользователя, например

f (x, y) = x2-cos (x+y), необходимо:

1. Ввести в желаемом месте документа имя функции f.

2. Ввести левую скобку «(», имена переменных через запятую х, у и правую скобку")".

3. Ввести оператор присваивания.

4. Ввести в появившийся местозаполнитель выражение, явно определяющее функцию x2 — cos (x + y), используя клавиатуру или панели инструментов.

1.8 Решение уравнений

Алгебраические уравнения

Для решения уравнения с одной неизвестной необходимо вначале задать команду «решить» (solve). Для этого: в панели инструментов «Символьная» нужно выбрать команду solve. Слева от слова solve вводится выражение для левой части уравнения, а справа — имя переменной, относительно которой нужно получить решение. Результат — значение корня уравнения — будет отображен в рабочем документе справа:

Рисунок 3 — Решение алгебраического уравнения Системы алгебраических уравнений решаются с помощью вычислительного блока given-find. Системы уравнений всегда решаются итерационными методами, поэтому перед решением необходимо задать начальные приближения всех неизвестных.

Чтобы решить систему алгебраических уравнений, нужно:

• задать начальные приближения для всех неизвестных;

• напечатать ключевое слово Given (Дано). При этом ни в коем случае нельзя нажимать пробел. Если нажать пробела, то математическое выражение становится текстом и слово Given не воспринимается как ключевое;

• ввести уравнения и неравенства, входящие в систему, правее и ниже слова Given. Между левой и правой частями уравнения должен стоять знак логического равенства (жирное равно). Его можно ввести через комбинацию клавиш Ctrl+= или выбрать на панели Boolean (Булевы операторы);

• ввести функцию find (x, y, z…), где x, y, z — неизвестные. Число неизвестных обязательно должно быть равно числу уравнений.

Функция find находит значения неизвестных x, y, z, обращающих уравнения в тождества. Она может решать и одно уравнение с одним неизвестным. Для системы из нескольких уравнений функция find выводит решение в виде вектора или матрицы, если система имеет несколько решений.

Пример решения системы уравнений приведен на рисунке.

Рисунок 4 — Решение системы алгебраических уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Математически решение дифференциальных уравнений — всегда очень сложная проблема. Во многих случаях Mathcad не в состоянии решить дифференциальные уравнения и их системы без дополнительных упрощений.

Для решения дифференциальных уравнений используется функция Odesolve. Она использует многие имеющиеся в Mathcad другие функций решения дифференциальных уравнений, в ряде случаев, заменяя их. В контекстном меню можно выбрать требуемый метод решения дифференциальных уравнений.

Функция Odesolve также позволяет записывать уравнение в блоке решения в привычном виде, также как и на листе бумаги.

Рисунок 5 — Решение дифференциального уравнения Обращение к функции Odesolve состоит из трех частей:

1. Ключевое слово Given.

2. Дифференциальное уравнение вместе с начальными или граничными условиями или система дифференциальных уравнений и условия.

3. Собственно функция Odesolve (x, xk, n), где x — имя переменной, относительно которой решается уравнение; xk — конец интервала интегрирования. Начало интервала интегрирования должно быть задано в начальных условиях; n — необязательный параметр, определяющий число шагов интегрирования. Его можно удалить, в этом случае Mathcad сам выберет число шагов интегрирования. По умолчанию n = 1000.

Odesolve выдает решение дифференциального уравнения в виде функции, а не в виде массива, другие аналогичные функции. Это дает возможность интегрировать и дифференцировать полученное решение, а также использовать его в дальнейших расчетах как функцию пользователя.

Функция Odesolve решает дифференциальные уравнения как с начальными условиями, когда все условия заданы в начале интервала интегрирования, так и с граничными, заданными в двух точках. Из этих двух точек одна обязательно является началом интервала интегрирования, другая произвольная, но ее аргумент больше, чем в начальной точке. В качестве примера на рисунке 5 приведено решение дифференциального уравнения 4-го порядка.

Для решения системы дифференциальных уравнений функцию надо записывать следующим образом:

odesolve ((вектор имен неизвестных), x, xk, n).

1.9 Работа с матрицами

Преимущества Mathcad особенно хорошо видны при работе с матрицами. Операции с матрицами при обычных вычислениях трудоемки и, как правило, требуют компьютерного решения. В системе Mathcad матричные выражения имеют традиционный вид, как на листе бумаги, но уже с готовыми численными или символьными ответами.

Чтобы ввести вектор или матрицу, следует:

• записать имя матрицы и ввести оператор присваивания;

• на панели инструментов нажать кнопку с изображением матрицы. Откроется панель Matrix, на которой нужно еще раз нажать кнопку с изображением матрицы. Откроется диалоговое окно, в котором вводится число строк и столбцов матрицы, затем нажать ОK. На экране появится шаблон матрицы с местозаполнителями. То же действие произойдет при нажатии комбинации клавиш Ctrl+m;

• каждое место ввода в шаблоне нужно заполнить числами или буквенными выражениями. Матрица готова.

С помощью шаблона можно ввести матрицу, содержащую не более 600 элементов в любом порядке. Доступ к любому элементу матрицы можно получить, введя имя матрицы с индексами. Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца. Элемент вектора задается одним индексом.

Для набора нижнего индекса можно открыть панель Vector and Matrix (Матрицы), и нажатием соответствующей кнопки на математической панели, после чего нажать кнопку X_n (Subscript). Можно также использовать клавишу [(открывающая квадратная скобка) на клавиатуре.

Нумерация элементов массива (вектора или матрицы) может начинаться с любого другого числа (положительного или отрицательного). Порядком нумерации элементов массива управляет встроенная переменная ORIGIN. По умолчанию ORIGIN = 0, это означает, что первый элемент массива имеет номер 0.

Mathcad позволяет выполнять с матрицами основные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, а также транспонирование, обращение, вычисление определителя матрицы, нахождение собственных чисел, собственных векторов и т. д.

Матричные уравнения представляют собой, как правило, систему линейных алгебраических уравнений A X = B и решаются путем обращения матрицы X = A-¹ B (рисунок 6).

Рисунок 6 — Решение системы алгебраических линейных уравнений путем обращения матрицы коэффициентов

1.10 Символьные вычисления

Наряду с числовыми расчетами, Mathcad может производить вычисления в символьном виде, без числового решения. Существует два способа символьных вычислений:

1. С использованием меню Symbolics (Символьные вычисления) из главного меню.

2. С использованием панели инструментов Symbolic.

Порядок символьных вычислений (на примере неопределенного интеграла):

• В математической панели инструментов щелкнуть мышью на кнопке Calculs Toolbar (Панель вычислений) со значком интеграла.

• В открывшейся панели Calculus выбрать шаблон неопределенного интеграла.

• Заполнить места ввода — вписать интегрируемое выражение или имя интегрируемой функции, а также имя переменной дифференцирования.

• Ввести символьный знак равенства (>). Это можно сделать с помощью панели инструментов или с клавиатуры, нажав комбинацию клавиш Ctrl+. (точка). На экране появится результат символьного вычисления

• Аналогично можно выполнить все операции, предусмотренные на панели Calculs Toolbar (Панель вычислений) со значком интеграла, а именно: вычисление производной любого заданного порядка, определенного и неопределенного интегралов, суммы или произведения ряда, предела выражения, градиента.

Mathcad позволяет решить практически любое алгебраическое, а также очень многие дифференциальные и интегральные уравнения.

Недостаток использования меню Symbolics заключается в том, что найденное решение не пересчитывается автоматически при изменении выражения или входящих в него значений и не участвует в дальнейших расчетах. При этом достоинством меню Symbolics является то, что ранее принятые численные значения величин не учитываются в символьных расчетах, а переменные в символьном решении не учитываются в дальнейших вычислениях.

Если выделенное выражение не имеет символьного решения, то Mathcad сообщает об ошибке: «No solution was found» («Решение не найдено»).

1.11 Анализ экспериментальных данных

При проведении экспериментов обычно требуется представить массив экспериментальных данных в виде функции, чтобы использовать ее в дальнейших расчетах. Если кривая, описываемая такой функцией, должна проходить через все экспериментальные точки, операция получения такой функции называется интерполяцией.

Если кривая, описываемая этой функцией, наоборот, не должна проходить через все экспериментальные точки и является аппроксимацией исходных данных, то эта операция называется регрессией.

Если необходимо уменьшить разброс данных или исключить некоторую погрешность, например, в виде шума, используют сглаживание или фильтрацию спектра колебаний данных.

Интерполяция

В Mathcad имеется несколько функций интерполяции, отличия которых заключаются в способе соединения точек данных (прямой линией или различными кривыми). Если точки соединяются прямыми линиями, используется линейная интерполяция. Но наибольшее распространение получила кубическая сплайн-интерполяция, при которой экспериментальные точки соединяются отрезками кубических полиномов. В процессе интерполяции используются две функции, interp и cspline.

Обращение к функциям interp (s, x, y, t) и cspline (x, y), где x — вектор значений аргумента, элементы которого расположены строго в порядке возрастания; y — вектор значений функции того же размера; s — вектор вторых производных, создаваемый функцией cspline, t — значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция.

Регрессия

Математический смысл регрессии заключается в подборе функции, аппроксимирующей экспериментальные данные. Регрессия сводится к подбору коэффициентов в той или иной аналитической зависимости.

В Mathcad имеется несколько встроенных функций регрессии двух типов:

• позволяющих увидеть аналитическую зависимость, то есть дающих набор аппроксимирующих коэффициентов;

• не позволяющих увидеть аналитическую зависимость.

В Mathcad регрессия с использованием одного полинома реализуется с помощью функций регрессии и интерполяции:

interp (s, x, y, t); regress (x, y, n), где x — вектор значений аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания; y — вектор значений функции того же размера; s — вектор коэффициентов для построения аппроксимирующего полинома, создаваемый функцией regress; t — значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция; n — степень аппроксимирующего полинома.

Степень аппроксимирующего полинома может быть любой. Практика показывает, что 5-й степени более чем достаточно для аппроксимации почти любой кривой.

1.12 Графика

Графики служат для визуального отображения результатов вычислений. В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы.

Двумерные графики:

• XY (декартовый) график (XY Plot);

• полярный график (Polar Plot).

Трехмерные графики:

• график трехмерной поверхности (Surface Plot);

• график линий уровня (Contour Plot);

• трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);

• трехмерное множество точек (3D Scatter Plot);

• векторное поле (Vector Field Plot).

Рисунок 7 — Панель инструментов «Графика»

Деление графиков на типы несколько условно, т.к., управляя установками многочисленных параметров, можно создавать комбинации типов графиков, а также новые типы (например двумерная гистограмма распределения является разновидностью простого XY-графика). Все графики создаются с помощью панели инструментов Graph (График), различия обусловлены отображаемыми данными.

При построении графика функция будет представлена в виде набора точек на плоскости. То есть, для построения графика перебирается определенное количество значений аргумента, и для каждого из них вычисляется значение функции.

Для построения плоского графика функции следует:

• ?установить курсор туда, где надо построить график;

• на математической панели нажать кнопку Graph Toolbar X-Y Plot (График Плоский график);

• в появившейся на месте курсора заготовке ввести на оси абсцисс имя аргумента, на оси ординат — имя функции;

• щелкнуть мышью вне графика.

График строится для заданного диапазона изменения аргумента. Если диапазон значений аргумента не задан, то он будет выбран от -10 до 10.

Рисунок 8 — Двумерный график и окно форматирования Чтобы на одном шаблоне разместить несколько графиков, надо, набрать на оси ординат имя первой функции, а затем нажать запятую (курсор должен находиться в конце имени функции). В появившемся местозаполнителе нужно ввести имя второй функции. Если две функции имеют разные аргументы, например, f1 (x) и f2 (y), то на оси абсцисс (также через запятую) ввести имена обоих аргументов, x и y. Тогда первый график будет построен для первой функции по первому аргументу, а второй график — для второй по второму.

Для построения трехмерного графика необходимо:

• ввести имя функции двух переменных, знак присваивания и выражение функции.

• установить курсор в место построения графика.

• в математической панели выбрать Graph Toolbar (Панель графиков), изображающей график, затем выбрать Surface Plot (график поверхности). На месте курсора появится шаблон графика.

• в поле ввода шаблона графика ввести имя функции двух переменных.

• щелкнуть мышью вне области графика. График построен.

Рисунок 9 — Трехмерный график и окно форматирования Существует и способ создания графика поверхности с использованием массива значений. Для такого построения 3D-графика нужно:

• с помощью дискретных переменных ввести значения обоих аргументов функции;

• ввести или вычислить массив, элементами которого являются значения функции при заданных значениях аргументов;

• установить курсор в место построения графика и выполнить остальные, ранее описанные действия.

1.13 Программирование

Раздел «Программирование» занимает особое место в Mathcad. Возможности Mathcad позволяют решить подавляющее число задач без использования программирования, причем несколькими способами. Но есть класс задач, которые невозможно решить, не прибегая к программированию. Это, в частности, задачи, в которых часть операторов должны быть выполнены многократно, а также задачи с выбором условия.

В таких случаях документ должен состоять из отдельных подпрограмм, объединенных в единый документ. Использование раздела «Программирование» позволяет написать в Mathcad программы практически любой сложности.

В Mathcad любая программа представляется в виде пользовательской функции.

Для вставки программного кода в документы в Mathcad имеется специальная панель инструментов Programming (Программирование), которую можно вызвать на экран нажатием кнопки Programming Toolbar на панели Math (Математика), как показано на рисунке 10. Большинство кнопок выполнено в виде текстового представления операторов программирования, их смысл легко понятен, поскольку они повторяют синтаксис большинства распространенных языков программирования — Бейсик или Паскаль.

Рисунок 10 — Начало создания программного модуля Программирование имеет ряд существенных преимуществ, которые в ряде случаев делают документ более простым и универсальным:

• возможность применения циклов и условных операторов;

• простота создания функций и переменных, требующих несколько шагов;

• возможность создания функций, содержащих закрытый для остального документа код, включая преимущества использования локальных переменных и обработку исключительных ситуаций (ошибок).

Программный модуль в Mathcad обозначается вертикальной чертой, справа от которой последовательно записываются операторы. Чтобы создать программный модуль, нужно выполнить следующие действия:

• ввести часть выражения, которая будет находиться слева от знака присваивания и сам знак присваивания;

• вызвать панель инструментов Programming (Программирование)

• нажать на этой панели кнопку Add Line (Добавить линию).

• если приблизительно известно, сколько строк будет содержать программа, можно заранее создать нужное количество строк нажатием кнопки Add Line;

• в появившиеся местозаполнители ввести программный код, используя программные операторы.

После того как программный модуль полностью определен и ни один местозаполнитель не остался пустым, функция может использоваться обычным образом, как в численных, так и в символьных расчетах.

Рисунок 11 — Пример программы

Присваивание в пределах программ, в отличие от документов Mathcad, производится с помощью оператора Local Definition (Локальное присваивание), который вставляется нажатием кнопки с изображением стрелки влево на панели Программирование. Ни оператор присваивания:=, ни оператор вывода = в программах не применяются. Локальные переменные существуют только внутри программы. Из других мест документа получить ее значение невозможно.

В качестве примера на рисунке 11 показана программа, вычисляющая несобственный интеграл функции (пределы от, а до ?).

Условный оператор может применяться и без организации программы. Он позволяет записать параметрические и составные функции в виде одного выражения, что упрощает расчеты.

В Mathcad существуют три способа ввода условного оператора:

• с помощью функции условия if;

• с помощью оператора if с панели программирования;

• с использованием булевых операторов.

Система Mathcad предоставляет пользователю некоторый контроль над ошибками, которые могут возникнуть при вычислении выражений или при выполнении программ. Для этой цели служит оператор on error.

1.14 Краткие выводы

Произведено описание системы Mathcad и ее сравнение с другими математическими системами.

Приведено краткое описание основных возможностей Mathcad, достаточных для решения большинства инженерных задач.

2. Использование Mathcad для решения инженерно-технических задач

В качестве примеров рассмотрены три конкретные расчетные задачи, реализованные средствами Mathcad в рамках выпускной квалификационной работы. Первые две задачи посвящены расчету сложных цепей постоянного и переменного тока, третья — построению диаграммы растяжения пластичных материалов. Все расчеты разработаны автором лично.

2.1 Расчет сложных цепей постоянного тока

Расчет основан на методике, изложенной в книге.

Теоретические положения

Закон Ома для участка цепи: ток, проходящий по участку цепи, прямо пропорционален напряжению U, приложенному к этому участку, и обратно пропорционален его сопротивлению R, т. е.

где U — в вольтах (В); R — в Омах (Ом).

Закон Ома для всей цепи где E — электродвижущая сила источника электрической энергии, B; R — сопротивление внешней цепи, Ом; r — внутренне сопротивление источника, Ом.

Электрическое сопротивление проводника Величину, обратную сопротивлению, называют проводимостью G и выражают в сименсах (См) 1 См = 1 / Ом:

Сопротивление провода.

где — удельное сопротивление, Ом•мм²/м; l — длина проводника, м; S — площадь его поперечного сечения, мм².

Мощность, потребляемая нагрузкой,

P = A/t = UI = RI² = U²/R,

где P — в ваттах (Вт).

Эквивалентное сопротивление ряда последовательно соединённых резисторов равно сумме их сопротивлений:

Параллельным называется такое соединение резисторов, при котором между двумя узлами электрической цепи присоединено несколько резисторов. Эквивалентная проводимость этого участка цепи равна сумме проводимостей всех параллельных ветвей:

или Смешанное соединение резисторов — это последовательно параллельное соединение резисторов или участков цепи.

Первый закон Кирхгофа. Сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла, или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

где — токи, направленные к узлу; - токи, направленные от узла, или Со знаком «+» записывают токи, направленные к узлу, со знаком «-» — от узла.

Второй закон Кирхгофа. В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений вдоль того же контура:

При составлении уравнений по этому закону ЭДС источника записывают со знаком «+», если её направление совпадает с выбранным направлением обхода контура. Падение напряжения записывают со знаком «+», если направление тока через резистор совпадает с выбранным направлением обхода контура.

Расчетная часть

Таблица 2 — Исходные данные к расчету

Рисунок 12 — Расчетная схема цепи Для выполнения расчета необходимо выполнить следующие действия:

1) Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа и найти все токи по методу контурных токов [].

Число уравнений по первому закону Кирхгофа равно 3, поскольку в схеме 3 узла. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно количеству независимых контуров и также равно 3. На рисунке 12 узлы обозначены арабскими цифрами 1, 2, 3, а независимые контуры — римскими — I, II и III. Система уравнений для этой цепи будет иметь вид:

Контурные токи (I_I, I_II, I_III) лучше направить в одном направлении (по часовой стрелке). Вначале нужно решить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов (IK1 — IK3). В Mathcad она будет выглядеть следующим образом:

Результат решения будет помещен в вектор IK

Затем можно найти действительные токи (А):

Если ток получился с отрицательным знаком, значит его направление противоположно действительному и его нужно изменить. На рисунке 13 указано правильное направление токов.

Рисунок 13 — Расчетная схема цепи с полученными направлениями токов

2) Составить баланс мощностей для заданной схемы.

Формула баланса мощностей имеет вид:

В Mathcad эта формула выглядит следующим образом:

Вывод: баланс мощностей имеет допустимую степень сходимости

3) Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Внешний контур данной схемы изображен на рисунке 14. В точках 1 — 6 необходимо найти значения сопротивлений относительно «земли» и потенциалов.

Рисунок 14 — Схема внешнего контура Значения сопротивлений:

Результаты расчета потенциалов и сопротивлений, а также потенциальная диаграмма, построенная средствами Mathcad по этим результатам, изображены на рисунке 15. Видно, что начальный и конечный потенциалы совпадают, что говорит о том, что задача решена правильно.

Рисунок 15 — Значения сопротивлений, потенциалов и потенциальная диаграмма

Подробное решение данной задачи в виде документа Mathcad приведено в Приложении 2.

2.2 Расчет сложных цепей переменного тока

Расчет также основан на методике, изложенной в книге.

Теоретические положения

Если с последовательно соединённым активным сопротивлением R, индуктивностью L и ёмкостью C проходит синусоидальный ток, то мгновенное значение напряжения на зажимах этой цепи равно сумме мгновенных значений трёх составляющих:

Амплитуда этого напряжения Действующее значение или

где

Cдвиг по фазе между напряжением и током:

Мощности цепи:

активная

полная

Активная составляющая тока совпадает с приложенным сопротивлением где — реактивная проводимость ветви, См Реактивная составляющая тока где — реактивная проводимость ветви, См.

Действующие значения токов I₁ и I₂ в ветвях

где Y₁ и Y₂ — полные проводимости ветвей.

Токи в ветвях, выраженные через их составляющие, будут равны:

Полная проводимость каждой ветви

Полная проводимость всей цепи где — активная проводимость всей цепи, равная арифметической сумме активных проводимостей ветвей; - реактивная проводимость всей цепи, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей ветвей.

Действующее значение тока в неразветвленной части цепи Сдвиг по фазе между напряжением и током

или