Основы релятивистской механики. 
Релятивистская динамика

1. Специальная теория относительности

В основе классической механики Ньютона заложены два постулата:

• 1. Принцип относительности механического движения Галилея — никакими механическими опытами нельзя отличить состояние покоя от состояния равномерного прямолинейного движения или все механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
• 2. Постоянство времени в различных инерциальных системах отсчета — время во всех системах отсчета течет одинаково.

Однако в конце XIX века в физике назрел кризис, связанный с тем, что появившиеся к тому времени уравнения электромагнитного поля Максвелла не удовлетворяют преобразованиям координат Галилея. Система уравнений Максвелла не инвариантна относительно этих преобразований, в то время, как законы Ньютона этим преобразованиям удовлетворяют. Оказалось, что существуют ограничения действий уравнений Ньютона — они описывают движение со скоростями, гораздо меньшими скорости света, т. е. случай << с.

Для выхода из этого кризиса Альберт Эйнштейн в 1905 г. создал специальную теорию относительности (СТО), в основе которой лежат два постулата:

• 1. Принцип относительности Эйнштейна — все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
• 2. Постоянство скорости света — скорость света в вакууме не зависит от движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Второй постулат приводит нас к новым понятиям об относительности пространства и времени. Из него вытекают относительность промежутков времени и расстояний.

2. Преобразование времени и длины в движущихся системах отсчета

Рассмотрим следующий мысленный опыт, показанный на рис. 59.

Имеем некоторые условные часы, которые издают звуковой сигнал при попадании света на приемник. На концах вертикального стержня длиной закреплены горизонтально два параллельных зеркала. Световой импульс от источника движется между зеркалами, поочередно отражаясь от них. Если прибор находится в неподвижной системе координат, часы будут издавать звуковой сигнал через интервал времени. Пусть теперь часы идут в системе отсчета, которая движется влево со скоростью V. Как видно из рисунка, часы будут издавать сигнал через интервал времени:

Окончательно получаем:

Видно, что в движущихся системах отсчета время течет медленнее, чем в неподвижных. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Причина замедления времени — второй постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света.

Рассмотрим теперь другой опыт. Расположим стержень длиной в неподвижной системе отсчета вдоль оси х (рис. 60).

В неподвижной системе отсчета длина стержня равна, в движущейся системе отсчета длина этого же стержня равна. Используя связь между временем в неподвижной и в движущейся системе отсчета, получим:

Длина стержня зависит от системы отсчета — все тела сжимаются в направлении движения.

3. Преобразования Лоренца

Полученные выше соотношения позволяют получить релятивистский закон преобразования координат и времени в инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим отрезок ОВ длиной, неподвижный в системе отсчета К (рис. 61).

Связь между длинами в подвижной и неподвижной системе имеет вид:

Тогда можем записать:

Откуда следует:

В этой формуле можно сделать замену. Тогда получим:

Для двух других координат имеем:

Найдем теперь преобразование времени. Можем записать:

В свою очередь выражается через и .

Можно получить обратный переход:

Таким образом, мы имеем набор формул для релятивистских преобразований координат и времени:

Эти преобразования называют преобразованиями Лоренца. Они заменяют преобразования Галилея при релятивистских скоростях.

4. Закон сложения скоростей в релятивистской динамике

Для релятивистских движений закон сложения скоростей отличается от закона сложения скоростей Галилея. Рассмотрим опять две системы отсчета — неподвижную систему и движущуюся относительно нее с постоянной скоростью V систему. Пусть в системе частица смещается на. Следовательно, в этой системе скорость частицы равна .

Согласно преобразованиям Лоренца можем записать:

Найдем скорость частицы в движущейся системе отсчета:

Аналогично найдем и другие компоненты скорости:

В переделе, при нерелятивистских скоростях, т. е. при V << c, имеем закон сложения скоростей Галилея.

Пример.

Допустим в системе отсчета свет распространяется вдоль оси х со скоростью с. Найдем его скорость в системе отсчета, движущейся относительно системы со скоростью V.

Это находится в полном соответствии с постулатом Эйнштейна.

5. Релятивистский импульс и энергия

Если рассмотреть закон сохранения импульса для неупругого соударения частиц, движущихся относительно неподвижной системы отсчета с релятивистскими скоростями, то окажется, что при использовании формулы для импульса в виде закон сохранения импульса не выполняется.

В физике считается, что масса это одна из физических констант, следовательно можно предположить, что в общем случае выражение для импульса частицы имеет вид:

Оказывается, что для выполнения закона сохранения импульса в общем случае функция f (V) должна иметь следующий вид:

Тогда получим релятивистское выражение для импульса:

Получим теперь релятивистское выражение для энергии. В теории относительности Эйнштейна выражение второго закона Ньютона имеет такой же вид, как в механике Ньютона:

Тогда получим следующее выражение:

Умножим это выражение на перемещение частицы. Тогда получим:

().

Левая часть дает работу всех сил, действующих на частицу, правая часть должна быть равна приращению кинетической энергии частицы. Распишем правую часть более подробно:

Примем во внимание справедливость следующего выражения. Тогда можно записать:

Интегрирование дает:

Константу определим из того условия, что при скорости частицы, равной нулю, кинетическая энергия должна быть равна нулю. Тогда получим релятивистское выражение для кинетической энергии:

На рис. 62 приведен график зависимости кинетической энергии частицы от квадрата ее скорости. Из графика следует, что при квадрате скорости порядка 0,8 с кинетическая энергия начинает особенно резко возрастать.

Как известно, закон сохранения энергии подразумевает переход энергии из одной формы в другую, например, в нерелятивистском случае кинетическая энергия может превращаться в потенциальную и наоборот. Эйнштейн предположил, что полная энергия тела Е определяется не только кинетической энергией E_k. Для полной энергии свободного тела следует использовать выражение:

Тогда получим:

Применив эту формулу к покоящемуся телу, получим энергию покоя тела:

Получим связь полной энергии частицы и релятивистского импульса, для чего необходимо решить систему уравнений:

получим искомую связь: