Введение. 
Дифференциальные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли

Большинство законов природы записываются в форме соотношений устанавливающих связь между искомой функцией, независимой переменной и производными этой функции.

В данной курсовой работе мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнение Бернулли. Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.

Целью работы является закрепить полученные знания по курсу дифференциальных уравнений, как в теории, так и на практике.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, в каждой по два параграфа, заключения и списка использованной литературы и источников.

Глава I. Линейные дифференциальные уравнения I порядка линейный дифференциальный бернулли множитель Дифференциальным уравнением, называется уравнение связывающее независимую переменную х, некую искомую у (х) и ее производные y', y'', y''', …, yn, т. е. выражение вида:

F (x, y, y', y'', y''', yn) = 0.

Порядком дифференциального уравнения, называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Уравнения вида:

y' + P (x)y = Q (x) (1).

где P (x) и Q (x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Название уравнения объясняется тем, что y и ее производная y' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если Q (x) = 0, то уравнение (1) принимает вид линейного однородного уравнения. Если Q (x)? 0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.

С определением линейных дифференциальных уравнений I порядка связывают еще несколько важных определений, играющих важную роль при решении этих уравнений:

Дифференциальное уравнение, в котором искомая функция зависит только от одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция y = ц (x), которая при подстановке в уравнение превращает его в верное тождество.

Уравнение вида:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,.

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Ф.

M (x, y) dx + N (x, y) dy = dФ.

Функция.

м = м (x, y) ?0.

после умножения, на которую дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах, называется интегральным множителем.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка можно решить несколькими методами. Мы рассмотрим два самых распространенных из них: