Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Министерство науки и образования Республики Казахстан Алматинский колледж строительства и менеджмента Кафедра технических дисциплин Контрольная РАБОТА НА ТЕМУ:

«Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов»

Руководитель:

преподаватель Косс М.С.

Выполнил:

Джиланкозов Ташбулат Алматы 2009 год

Задача № 1

Построить эпюры внутренних усилий Q и М для балки изображенной на следующем чертеже (рис. 1): F=5кН F=5кН

A B

C D

X1

RA RB

X2

X3

а =2м, а =2м, а =2м Эпюра «Q»

— 4

Эпюра «М»

Рис. 1

Решение:

I. Составляем уравнение равновесия и определяем опорные реакции RA и RB.

У MA = F1 * a + F2 * 2a — RB * 3a = 0;

отсюда RB = F1 * a + F2 * 2a = 5* 2 + 5 * 2 * 2 = 5кН;

3a 3 * 2

У MВ = RА * 3a — F1 * 2a — F2 * a = 0;

отсюда RА = F1 * 2a — F2 * a = 5 * 2 * 2 + 5* 2 = 5кН.

3a 3 * 2

Проверка:

УУ = RА — F1 — F2 + RB = 0;

УУ = 5 — 5 — 5 + 5 = 0.

II. Проводим сечения х1, х2, х3 и определяем внутренние усилие для построения эпюры «Q»:

0? х1? 2 м (участок АС)

х1 = 0; Q х1 = RA = 5кН;

х1 = 2 м; Q х1 = RA = 5кН;

2 м? х2 ? 4 м (участок CD)

х2 = 2 м; Q х2 = RА — F1 = 5 — 5 = 0;

х2 = 4 м; Q х2 = RА — F1 = 5 — 5 = 0;

4 м? х3? 6 м (участок DB)

х3 = 4 м; Q х3 = RА — F1 — F2 = 5 — 5 — 5 = - 5;

х3 = 6 м; Q х3 = RА — F1 — F2 = 5 — 5 — 5 = - 5.

III. В проведённых сечениях определяем внутренние усилие для построения эпюры «М»:

0? х1? 2 м (участок АС)

х1 = 0; M х1 = RА * х1 = 5 * 0 = 0;

х1 = 2 м; M х1 = RА * х1 = 5 * 2 = 10кН * м;

2 м? х2 ? 4 м (участок CD)

х2 = 2 м; M х2 = RА * х2 — F1(х2 — а) = 5 * 2 — 5(2 — 2) = 10кН * м;

х2 = 4 м; M х2 = RА * х2 — F1(х2 — а) = 5 * 4 — 5(4 — 2) = 10кН * м;

4 м? х3? 6 м (участок DB)

х3 = 4 м; M х3 = RА * х3 — F1(х3 — а) — F2(х3 —2а) = 5 * 4 — 5(4 — 2) — 5(4 — 2 * 2)= =10кН * м;

х3 = 6 м; M х3 = RА * х3 — F1(х3 — а) — F2(х3 —2а) = 5 * 6- 5(6 — 2) — 5(6 — 2 * 2)=0

Задача № 2

Построить эпюры внутренних усилий Q и М для балки изображенной на следующем чертеже (рис. 2): А F = 10кН В С

Х1

RA Х2 RB

L1 = 5 м L2 = 5 м

L = 10 м Эпюра «Q»

— 5

Эпюра «М»

Рис. 2

Решение:

I. Составляем уравнение равновесия и определяем опорные реакции RA и RB.

У MA = F * L1 + RB * L = 0;

RB = F * L1 = 10 * 5 = 5кН;

L 10

У MВ = RА * L — F * L2 = 0;

RА = F * L2 = 10 * 5 = 5кН.

L 10

Проверка:

УУ = RА — F + RB = 0;

УУ = 5 — 10 + 5 = 0.

II. Проводим сечения х1, х2 и определяем внутренние усилие для построения эпюры «Q»:

0? х1 ? 5м (участок АС)

х1 = 0; Q х1 = RA = 5кН;

х1 = 5м; Q х1 = RA = 5кН;

5м? х2 ? 10 м (участок CВ)

х2 = 5 м; Q х2 = RА — F = 5 — 10 = - 5кН;

х2 = 10 м; Q х2 = RА — F = 5 — 10 = — 5кН.

III. В проведённых сечениях определяем внутренние усилие для построения эпюры «М»:

0? х1 ? 5м (участок АС)

х1 = 0; M х1 = RА * х1 = 5 * 0 = 0;

х1 = 5м; M х1 = RА * х1 = 5 * 5 = 25кН * м;

5м? х2 ? 10м (участок CВ)

х2 = 5м; M х2 = RА * х2 — F х2 — 10) = 5 * 5 — 10 (5 — 10) = 25кН * м;

2 2

х2 = 10м; M х2 = RА * х2 — F х2 — 10) = 5 * 10 — 10(10 — 10) = 0.

2 2

Задача № 3

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балки изображённой на следуещем чертеже (рис. 3): g = 4кН/м

A B

gL

Х

RA RB

L = 6 м Эпюра «Q»

— 12

Эпюра «М»

Рис .3

Решение:

I. Составляем уравнение равновесия и определяем опорные реакции RA и RB.

У MA = g * L * L — RB * L = 0;

RB = g * L * L = 4 * 6 = 12кН;

2 2

L

У MВ = RА * L — g * L * L = 0;

RА = g * L * L = 4 * 6 = 12кН.

2 2

L

Проверка:

УУ = RА — g * L + RB = 0;

УУ = 12 — 4 * 6 + 12 = 0.

II. Проводим сечения и определяем внутренние усилие для построения эпюр Q и М:

«Q»

0? х1? 6 м

х1 = 0; Q х1 = RA — g * х = 12 — 4 * 0 = 12 кН;

х1 = L = 3 м; Q х1 = RA — g * х = 12 — 4 * 3 = 0;

х1 = L = 6 м; Q х1 = RA — g * х = 12 — 4 * 6 = - 12кН ;

«М»

х1 = 0; M х1 = RА * х — g * х * х = 12 * 0 — 4 * 0 * 0 = 0;

2 2

х1 = L = 3 м; M х1 = RА * х — g * х * х = 12 * 3 — 4 * 3 * 3 = 12кН * м;

2 2 2

х1 = L = 6 м; M х1 = RА * х — g * х * х = 12 * 6 — 4 * 6 * 6 = 0;

2 2

Задача № 4

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балки изображённой на следующем чертеже (рис. 4): F₁=2кН F₂=10кН

A B

C D

X1

RA RB

X2

X3

м 2 м 3 м Эпюра «Q»

5,7

3,7

— 6,3

Эпюра «М»

Рис. 4

Решение:

I. Составляем уравнение равновесия и определяем опорные реакции RA и RB.

У MA = F1 * СА + F2 * DA — RB * BA = 0;

RB = F1 * CA + F2 * DA = 2* 2 + 10 * 4 = 6,28кН;

BA 7

У MВ = RА * AB — F1 * CB — F2 * DB = 0;

RА = F1 * CB + F2 * DB = 2 * 5 + 10 * 3 = 5,7кН.

AB 7

Проверка:

УУ = RА + RB — F1 — F2 = 0;

УУ = 5, 7 + 6,28 — 2 — 10 = - 0, 02 .

II. Проводим сечения х1, х2, х3 и определяем внутренние усилие для построения эпюры «Q»:

0? х1? 2 м (участок АС)

х1 = 0; Q х1 = RA = 5, 7кН;

х1 = 2 м; Q х1 = RA = 5, 7кН;

2 м? х2 ? 4 м (участок CD)

х2 = 2 м; Q х2 = RА — F1 = 5,7 — 2 = 3,7кН;

х2 = 4 м; Q х2 = RА — F1 = 5,7 — 2 = 3,7кН;

4 м? х3? 7 м (участок DB)

х3 = 4 м; Q х3 = RА — F1 — F2 = 5,7 — 2 — 10 = - 6,3кН;

х3 = 7 м; Q х3 = RА — F1 — F2 = 5,7 — 2 — 10 = - 6,3кН.

III. В проведённых сечениях определяем внутренние усилие для построения эпюры «М»:

0? х1? 2 м (участок АС)

х1 = 0; M х1 = RА * х1 = 5,7 * 0 = 0;

х1 = 2 м; M х1 = RА * х1 = 5,7 * 2 = 11,4кН * м;

2 м? х2 ? 4 м (участок CD)

х2 = 2 м; M х2 = RА * х2 — F1(х2 — 2) = 5,7 * 2 — 2(2 — 2) = 11,4кН * м;

х2 = 4 м; M х2 = RА * х2 — F1(х2 — 2) = 5 * 4 — 2(4 — 2) = 18,8кН * м;

4 м? х3? 7 м (участок DB)

х3 = 4 м; M х3 = RА * х3 — F1(х3 —2) — F2(х3 — 4) = 5,7 * 4 — 2(4 — 2) — 10(4 — 4)= =18,8кН * м;

х3 = 7м; M х3 = RА * х3 — F1(х3 — 2) — F2(х3 — 4) = 5, 7 * 7- 2(7 — 2) — 10(7 — 4)= = - 0, 1кН * м.

Задача № 5

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибфющих моментов М для балки изображенной на следующем чертеже (рис. 5):

Рис. 5

Решение

I. Составляем расчетную схему балки и определяем опорные реакции R_a и R_b:

У MA =0

У MA =q* ½a+q*2a+F*2a+M-R_b *4a

отсюда R_b= -q*½a+q*2a+F*2a+M = -4*2*0.5*2 + 4*2*2 +5*2*2 +10 = 6,75 кН

4a 4*2

R_b=6,75кН

У M_b=0

У M_b=-q*3a*3.5a+R_a*4a-F*2a+M

отсюда R_a= q*3a*3.5a+ F*2a-M=4*3*2*3.5*2+5*2*2−10=22,25кН

4a 4*2

R_a=22,25kH

Для проверки определения опорных реакций, составляем сумму проекций всех сил приложенных к балке на вертикальную ось y:

УF_y=0

УF_y=- q*3a+R_a-F=R_b=-4*3*2+22,75−5+6,75=-24+22,25−5+6,75=0

II. Выделяем характерные точки, вечисляем значения поперечных сил и моментов в сечениях, проходящих через эти точки.

Характерными являются крайняя точка О, опорные сечения, А и В и точки приложения нагузок D и E.

Вычисляем значения поперечных сил в сечениях, проходящих через указанные точки.

В сечение О:

Q₀=0

В сечение, А слева:

Q_А^лев= - q*a=-4*2=-8 kH

В сечение, А справа:

Q_А^прав= - q*a+ R_a=-4*2+22,25 kH

(в сечение, А справа имеет место скачек равный величине опорной реакции R_a)

В сечение D слева:

Q_D^лев= - q*3a+R_a=-4*3*2+22,25=-1,75kH

В сечение D справо:

Q_D^прав=- q*3a+R_a-F=-4*3−2+22,25−5=—6,75kH

(в сечение D справо имеет место скачок равный величине приложенной силы F=5 kH)

На участке AD, как и на консоле ОА, эпюра поперечных сил ограничивается наклонной прямой, т.к. на обоих участках действует равномерно распределенная нагрузка. Наклон прямых на участках ОА и AD одинаков, в связи с равной интенсивностью распределенной нагрузки. В точке С сила Q имеет нулевое значение; расстояние до него определяем из подобия треугольных элнментов эпюры на участке АD. В сечение В поперечная сила отрицательна и численно равна R_b =6,75kH

Вычисляем значение моментов по характерным точкам:

В сечение О:

М_о=0

В сечение А:

М_А=- q*a *а/2=-4*2*2/2=-8кН*м

(в сечение, А на консоли эпюра М имеет вид параболы, т.к. консоль загружена равномерно распределенной нагрузкой) В сечение С:

М_с= - q*2,5a*2,5а/2+R_a*1,5a=-4*2,5*2*2,5*2+22,25*1,5*2=16,75kH*м

В сечение D: 2

M_D-=-q*3a*1,5a+R_a*2a=-4*3*2*1,5*2+12,25*2*2=-23

На участке АD ето значение момента является МАХ. На эпюре моментов в этом сечении (в точке С) имеет место перегиб. Эпюра моментов имеет вид параболы.

В сечение Е слева:

М_Е^лев=-q*3a*2,5a+R_a*3a-F*a=-4*3*2*2,5*2+22,25*3*2=13,5kH*м

В сечение Е справа:

М_Е^прав= М_Е^лев+М=13,5+10=23,5кН*м

На участке DE и ЕВ свободных от распределенной нагрузки, эпюра моментов ограничена прямыми наклонными линиями; в сечении Е имеет место скачек на величину приложенной пары сил М=5кНм.

Список использованной литературы

1. Ляпунов А. М. «Сборник задач по технической механике».

2. Жарковский Б. И. «Курс лекций по технической механике».

3. Мухин В. С., Саков И. А. «Техническая механика».

4. Д. В. Бычков, М. О. Миров: «Теоретическая механика».

5. Н. С. Улитин: «Сопротивление материалов».