Построение, анализ и применение для прогнозирования тренд-сезонной модели временного ряда

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Факультет экономики и менеджмента Кафедра Экономической кибернетики Контрольная работа По дисциплине Методы прогнозирования Тема работы Построение, анализ и применение для прогнозирования тренд-сезонной модели временного ряда Симферополь, 2010 г.

Задание

1) Предварительный анализ заданного временного ряда на предмет наличия тренда:

a) графическое представление ряда;

b) укрупнение;

c) сглаживание.

2) Обоснование выбора типа модели основного тренда по свойствам кривых роста. Экономический смысл параметров выбранной модели.

3) Обоснование наличия сезонности по графическому представлению одноименных элементов ряда разных лет. Рекомендуется предварительно исключить из исходного ряда основную тенденцию развития (тренд, укрупненные или сглаженные значения) вычитанием или делением. Описать характер сезонных колебаний и по возможности объяснить причины.

4) Построение модели декомпозиции временного ряда. Обоснование формы модели: аддитивная, мультипликативная или смешанная.

5) Анализ точности модели.

6) Проверка адекватности моделей данному временному ряду. Анализ свойств остаточной компоненты.

7) Применение модели для прогноза (точечный и интервальный прогноз на два периода сезонности с заданной доверительной вероятностью Р = 0,95).

8) Верификация прогноза (сопоставление с контрольными данными). Выводы о возможности дальнейшего применения модели.

9) Возможно, изменение модели.

Исходные данные

Предварительный анализ заданного временного ряда на предмет наличия тренда и сезонности Тренд — это длительная тенденция изменения экономических показателей, т. е. изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. Тренд характеризует основные закономерности движения во времени, в некоторой мере свободные от случайных воздействий. При разработке моделей прогнозирования тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую накладываются другие составляющие. Результат при этом связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов. Если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание.

Представляем исходные значения на точечном графике Выполним сглаживание Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания — скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним n соседних членов, где n — ширина окна. Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в окно.

Для построения модели тренда проведем сглаживание временного ряда с периодом 4. Для этого воспользуемся формулой средней хронологической. В нашем случае данная формула будет выглядеть следующим образом.

Где t = 3,…, n-2; к = 4 — длина цикла сезонности.

Обоснование выбора типа модели основного тренда по свойствам кривых роста Построив 4 прироста по сглаженному ряду наблюдаем следующую картину Только четвертые приросты колеблются вокруг постоянного уровня, скорее всего мы можем взять полином третьей степени.

С помощью функции ЛИНЕЙН построим уравнение модели:

Выбор типа модели: аддитивная, мультипликативная или смешанная Общая модель. Основная идея сезонной декомпозиции проста. В общем случае временной ряд типа того, который описан выше, можно представить себе состоящим из трех различных компонент: (1) сезонной компоненты (обозначается St, где t обозначает момент времени), (2) тренда (Tt), (3) циклической компоненты (Ct). Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который к тому же меняется от цикла к циклу. Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако, можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодействовать: аддитивно и мультипликативно.

Аддитивная модель:

Xt = TCt + St + It

Мультипликативная модель:

Xt = TCt*St*It

Здесь Xt обозначает значение временного ряда в момент времени t. Если имеются какие-то априорные сведения о циклических факторах, влияющих на ряд (например, циклы деловой конъюнктуры), то можно использовать оценки для различных компонент для составления прогноза будущих значений ряда.

тренд сезонность временный ряд Так как график не имеет ярко выраженной склонности к возрастанию, а колеблется примерно в одном и том же диапазоне, я взял аддитивную модель.

Построим аддитивную модель.

Для того чтобы определить порядок сезонности, выполним ряд вычислений:

Построим график Y и T+S чтобы посмотреть на качество аддитивной модели Выбор типа остатков и корректировка модели Для каждого значения t определим ошибку модели (остаточную компоненту временного ряда) по следующей формуле:

Для того, чтобы выбрать тип остатков: e = y — y или e = (y/y) — 1, построим оба графика Так как на первом графике димперсия более постоянна, выберем e = y — y.

С помощью процедуры «Поиск решения» определим новые параметры модели

y = -0,41*x³+13,53*x²-76,87*x+2000,13

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения остатков по ассиметрии и эксцессу:

Проверка постоянства дисперсии остатков:

Проверка среднего значения остатков:

Проверка гипотезы об отсутствии автокорелляции:

Автокорелляция присутствует.

Применение модели для прогноза Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз — это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t=n+1; t=n+2 и т. д. Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т. е. интервальным прогнозом.

Интервальный прогноз на базе трендовых моделей осуществляется путем расчета доверительного интервала — такого интервала, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения прогнозируемого экономического показателя. Методы, разработанные для статистических совокупностей, позволяют определить доверительный интервал, зависящий от стандартной ошибки оценки прогнозируемого показателя, от времени упреждения прогноза, от количества уровней во временном ряду и от уровня значимости (ошибки) прогноза.

Точечный прогноз на два периода сезонности:

Графическое представление:

Интервальный прогноз на два периода сезонности:

Графическое представление