Групповой выбор. 
Прикладной системный анализ

В человеческой практике единоличное принятие решений является не единственной формой выбора. «Ум — хорошо, а два — лучше» — гласит поговорка, имеющая в виду тот случай, когда оба ума одинаковыми измерениями пытаются найти хороший выбор. Именно такую ситуацию мы и будем здесь рассматривать.

Описание группового выбора на языке бинарных отношений. Второй, более общий язык, на котором описывается выбор — это язык бинарных отношений. Дело в том, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно, однако, если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна. Основные предположения языка бинарных отношений сводятся к следующим:

Отдельная альтернатива не оценивается, т. е. критериальная функция не вводится.

Для каждой пары альтернатив (x, y) некоторым образом можно установить, что одна из их предпочтительнее другой, либо они равноценны (или несравнимы).

Отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.

Математически бинарное отношение R на множестве X определяется как определенное подмножество упорядоченных пар (x, y). Удобно использовать обозначение xRy, если x находится в отношении R с y, и в противном случае. Множество всех пар

{(x, y), x, yX}.

называется полным бинарным отношением. Поскольку в общем случае не все возможные пары (х, у) удовлетворяют условиям, накладываемым отношением R, бинарное отношение является некоторым подмножеством полного бинарного отношения, где RX*X.

Задать отношение, это значит тем или иным способом указать все пары (х, у), для которых выполнено отношение R.

Итак, пусть на множестве альтернатив Х задано n различных индивидуальных предпочтений (бинарных отношений) R₁, R₂,…, R_n. Ставится задача о выработке некоторого нового отношения R, которое согласует индивидуальные выборы, выражает в каком-то смысле «общее мнение» и принимается за групповой выбор. Очевидно, что это отношение должно быть какой-то функцией индивидуальных выборов.

R=F (R₁, R₂,…, R_n).

Различным принципам согласования будут отвечать разные функции F. В принципе эти функции могут быть совершенно произвольными, учитывать не только индивидуальные выборы, но и другие факторы, в том числе и исход некоторых случайных событий (например, бросание жребия). Главный вопрос состоит в том, чтобы правильно отобразить в функции F особенности конкретного варианта реального группового выбора. Например, выборы президента, выборы в Государственную думу и т. д.

Различные правила голосования. Один из наиболее распространенных принципов согласования — правило большинства: принятой всеми считается альтернатива, получившая наибольшее число голосов. Правило большинства привлекательно своей простотой и демократичностью, но имеет особенности, требующие осторожного с ним обращения. Прежде всего, оно лишь обобщает индивидуальные предпочтения, а его результат не является критерием истины («выбирают не лучших, а себе подобных»). Во-вторых, даже в простейшем случае выбора одной из двух альтернатив легко представить, когда правило не срабатывает — например, разделение голосов поровну. Кроме того, существует «простое большинство» — 50% +1 голос; «квалифицированное большинство» — 2/3 голосующих — за; принцип консенсуса — 100% - за. При любом из вариантов подразумевается отказ от принятия решения. Поскольку в реальной жизни отказ от дальнейших действий, следующих за принятием решения, недопустим, разрабатываются различные приемы, сокращающие число ситуаций, приводящих к отказу.

Парадоксы голосования. Итак, казалось бы, что исключив возможность непринятия решения, например, привлекая трех экспертов, которые большинством голосов выбирают предпочтительную альтернативу, можно решить все проблемы. Однако, здесь мы приходим к еще одной особенности правила голосования — его нетранзитивности. Пусть, например, каждая из трех группировок законодателей, образующих большинство лишь попарно, выдвинула свой вариант законопроекта: a, b, c. Чтобы гарантировать большинство на каждом шаге процедуры, альтернативы предъявляются попарно. Каждая сторона руководствуется при этом своим набором предпочтений: пусть это будут последовательности (a>b>c), (b>c>a), (c>a>b). После голосования по паре (a, b) — получаем 2 голоса против одного: a>b; по паре (b, c) имеем b>c; по паре (a, c) имеем c>a. Голосование большинством не привело таким образом к выяснению «общепризнанного» порядка альтернатив a>b>c>a. В случае применения процедуры, при которой после рассмотрения очередной пары отвергаемая альтернатива заменяется новой, окончательно принятое решение зависит от порядка предъявления альтернатив: при порядке (a, b, c) выбирается c; при порядке (b, c, a) выбирается a; при порядке (a, c, b) выбирается b. Если таким образом принимается законопроект, то чье мнение он будет выражать — большинства или организатора голосования? Очевидно, что такие решения не отвечают идеалу согласованного группового выбора.

Задача группового выбора часто все же может быть решена. Особенно, если не считать неприемлемым «диктаторский» принцип согласования. Например, в армии это единственно возможный принцип.

В том случае, если использовать единую числовую, а не индивидуальные порядковые шкалы предпочтений, то проблемы нетранзитивности вообще не возникнет.

Рассмотрим еще одну особенность голосования, которую следует иметь в виду на практике. Речь идет о вмешательстве коалиций в механизм голосования, которое фактически меняет его характер. Например, при многоступенчатом голосовании по правилу большинства, коалиция, находящаяся в меньшинстве, может добиться принятия своего решения. На рис. изображено голосование по три большинством в 2/3 на каждой ступени.

Видно, что уже на второй ступени меньшинство может навязывать свою волю большинству. Если число ступеней не ограничивать, то теоретически побеждающее таким образом меньшинство может быть сколь угодно малым. То, что при многоступенчатом голосовании может победить претендент, не набравший действительного большинства голосов, происходит и в действительности. Например, в 1876 г. президентом США был избран Р. Б. Хейес (185 голосов выборщиков), а не С. Дж. Тилден (184 голоса), хотя на долю последнего пришлось 51% голосов всех избирателей. Такие же ситуации имели место в президентских выборах 1874, 1888 и 2000 г. г.