Классификация систем счисления

Целью данного курсового проекта является изучение позиционных систем счисления, действий в них, а также способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

В современном мире используются различные системы счисления. Разумеется, в основном мы пользуемся десятичной системой счисления, но компьютеры работают с информацией записанной в двоичной системе, а в Англии до сих пор использую в качестве денежной валюты фунт стерлингов, который равняется двенадцати шиллингам, а, следовательно, нужно уметь работать и с двенадцатеричной системой счисления.

Конечно, необходимо знать и уметь применять алгоритмы для перевода чисел записанных в разных формах вручную, но в современный век информатизации с этой задачей легко справится компьютер, поэтому главной задачей данного курсового проекта я вижу написание качественной программы, осуществляющей перевод.

1. Основные понятия

1.1. Классификация систем счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 — 1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе — шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим — десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени. 1]

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Далее мы будем рассматривать только позиционные системы счисления.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 — число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы — это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x=an*pn+an-1*pn-1+ a1*p1+a0*p0, где an… a0 — цифры в представлении данного числа. Так, например,

103 510=1*103+0*102+3*101+5*100;

10 102 = 1*23+0*22+1*21+0*20 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.