Модель межотраслевого баланса

Эффективное функционирование текстильной отрасли предполагает наличие баланса между смежными отраслями (животноводство, растениеводство, машиностроение, транспорт, торговля и т. д.). Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса была опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах известного экономиста В. Леонтьева.

Мы рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).

Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) — некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, текстильная, машиностроение, сельское хозяйство и т. п.).

Пусть xij — количество продукции i-й отрасли, расходуемое в j-й отрасли; Xi — объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i; yi — объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления; Zj — условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (метры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В таблице 1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношений:

j = 1, 2, …, n. (13).

Напомним, что величина условно чистой продукции Zj равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение (13) охватывает систему из n уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы. Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и продукции данной отрасли:

i = 1, 2, …, n. (14).

Формулы (14) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Таблица 1 Таблица межотраслевого баланса.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что.

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат A = (aij).

Коэффициент прямых материальных затрат aij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли:

аij = xij / Xj, i, j = 1, 2, …, n. (15).

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизвестной. Таким образом, матрица A = (aij) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т. е. для выпуска j-й отраслью любого объема продукции Xj необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijXj, т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

xij = aij • Xj. (16).

Подставляя (16) в балансовое соотношение (14), получаем:

или в матричной форме:

X = AX + Y. (18).

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

· Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y = (E — A) X. (19).

· Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X = (E — A)-1 Y. (20).

· Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных — объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (19) и (20) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е — А)-1 обозначает матрицу, обратную матрице (Е — А). Если определитель матрицы (Е — А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через:

В = (Е — А)-1,.

тогда систему уравнений в матричной форме (20) можно записать в виде:

X = B• Y.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности.

Будем называть неотрицательную матрицу, А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х? 0, что:

Х > A • X. (21).

Очевидно, что условие (21) означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса.

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат, А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

• 1. Матрица (Е — А) неотрицательно обратима, т. е. существует обратная матрица (Е — А)-1? 0;
• 2. Матричный ряд

Е + А + А2 + А3 + … =.

сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е — А)-1;

3. Все главные миноры матрицы (Е — А), т. е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы, А является ограничение на величину ее нормы, т. е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы, А в каждом столбце. Если норма матрицы, А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица, А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Пример. Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Yi для трехотраслевой экономической системы:

0.3 0.1 0.4 200.

А = 0.2 0.5 0.0, Y = 100 .

0.3 0.1 0.2 300.

Требуется определить:

• 1. Коэффициенты полных затрат.
• 2. Вектор валового выпуска.
• 3. Межотраслевые поставки продукции.
• 4. Проверить продуктивность матрицы А.

Для решения задачи воспользуемся функциями MS Excel.

Таблица 2 Исходные данные и результаты по этапам решения.

В таблице 2 приведены результаты решения задачи по указанным трем пунктам.

• 1. В ячейки В6: D8 запишем элементы матрицы Е — А. Массив Е — А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10: D12 для размещения обратной матрицы В = (Е — А)-1 и введем формулу для вычислений МОБР (B6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица, А продуктивна (ответ на п. 1 и 4).
• 2. В ячейки G10: G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15: В17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле Х = (Е — А)-1 • Y. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12,G10:G12). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
• 3. Межотраслевые поставки Xij вычисляем по формуле

xij = aij • Xj.