Параметры работы электросхемы

1.Расчет параметров схемы при переходном процессе классическим методом

1.1 Расчетная схема

Рисунок 1- Расчетная схема Исходные данные к проекту: U₀₁ = 120 B; U₀₂ = 240 B; R₁ = 12 Oм; R₂ = 4Ом; R₃ = 11 Ом; L₃ = 100 мГн; С =2,5мФ

1.2 Определение начальных условий

До коммутации, когда t=-0 рубильник разомкнут,. Питание цепи осуществляется от источника U_01. Т.к. U₀₁= const, то, L₃ = 0,, отсюда следует, что.

Поэтому

i₁ (-0) = i₂(-0) + i₃(-0), А Так как конденсатор заряжается, то напряжение будет равно

U_c (-0) = U₀₁ = 120, B

После коммутации, когда, t = (+0) рубильник замкнут. По первому закону коммутации: i₃ (+0) = i₃ (-0) = 0, А По второму закону коммутации: U_c (+0) = U_c (-0) = 120 B.

Находим i₁(0) и i₂(0), по второму закону Кирхгофа:

А значит

A

Итак, начальные условия:

i₁ (0) = 0, A,

i₂ (0) = 0, A,

i₃ (0) = 0, A,

U_c (0) = 120, B.

1.3 Определение конечных условий

Рисунок 2- Расчетная схема после коммутации ток схема коммутация

После завершения переходного процесса () питание схемы осуществляется от двух источников: U₀₁ и U₀₂. Т.к. U₀₁ = U₀₂ = const, то = 0, следовательно L₃=0, .

Поэтому введем обозначения:

— принужденные составляющие отметим одним штрихом;

— свободные составляющие отметим двумя штрихами.

Принужденная составляющая тока i₃ (t):, А, т.к. .

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа для нахождения принужденных составляющих токов i₁ (t) и i₂ (t): U₀₁ — U₀₂ = i₁ R₁ + i₂ R₂

отсюда

A

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе С определится следующим образом:

B

1.4 Составление дифференциальных уравнений для переходного процесса

Составим дифференциальные уравнения для переходного процесса согласно выбранного направления обхода Обозначим; и подставим в уравнения :

/:4

/+

/*D

/:0,1

(1)

Приведем выражение (1) к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка:

(2)

Уравнение (2) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Закон изменения тока при коммутации определяется суммой свободной и принужденной составляющих:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Поскольку корни вещественные отрицательные, значит процесс разряда конденсатора при коммутации носит апериодический затухающий характер. Закон изменения напряжения на емкости определяется суммой свободной и принужденной составляющих:

Принужденная составляющаяВ, а свободная составляющая при апериодическом затухающем разряде определяется формулой:

Постоянные интегрирования и находим из начальных условий при t = 0 по законам коммутации:

отсюда получаем:

A₂ = 60 следовательно A₁ = -150

i₃(t) = 15e

Из схемы видно, что:

отсюда Ток i₂ (t) определим по первому закону Кирхгофа:

A

1.5 Итоговые результаты решения классическим методом

В

A

2.Расчет параметров схемы при переходном процессе операторным методом

2.1Операторная схема

Рисунок 3- Операторная схема замещения

2.2 Расчет токов ветвей

При расчете переходного процесса действительные функции времени (оригиналы) заменяем их изображениями. Для определения токов ветвей воспользуемся методом контурных токов. Выбираем независимые контуры и положительные направление контурных токов:

Составим уравнение второго закона Кирхгофа для контурных токов:

Найдем Э.Д.С. контуров в изображениях, подставив значения U₀₁ и U₀₂ в уравнения (3) и (4):

B

B

Изображения полных сопротивлений контуров составят:

Ом

Ом

Ом Находим изображение первого контурного тока, подставив, и в уравнения (3) и (4):

/+

(5)

Находим изображение тока :

/+

(6)

Подставляем в выражение (6) значения изображений Э.Д.С. и полных сопротивлений:

/:1,6

Т.к., то, по теореме разложения

(7)

Найдем корни p_к уравнения H (p):

Возьмем производную от H (p):

Далее, подставив полученные значения в выражение (7), получим ток (t):

А Аналогично находим изображение тока Подставляем в выражение (5) значения изображений Э.Д.С. и полных сопротивлений:

(8)

/:1,6

=0

Далее, подставив полученные значения в выражение (8), получим ток (t):

Ток второй ветви (t) определяем по первому закону Кирхгофа:

2.3 Итоговые результаты решения операторным методом

3.Определение точек экстремумов токов ветвей в течение времени t

Для того чтобы найти точки экстремумов, необходимые для построения графика изменения токов ветвей схемы во времени при коммутации, полученные выражения токов следует продифференцировать и прологарифмировать.

Найдем экстремум для i₁(t):

с Найдем экстремум для i₂(t):

Найдем экстремум для i₃(t):

с Найдём экстремум для :

t=0,c

4.Определение времени переходного процесса

Время переходного процесса определяется по следующей формуле:

(9)

где — постоянная времени переходного процесса.

Для емкости и индуктивности определяется следующим образом:

Выбираем наибольшее значение и, подставив в формулу (9), находим t:

c

5.Построение графика переходного процесса

Для построения графика необходимо составить таблицу значений токов ветвей с учетом изменения их в течение времени переходного процесса t.

Таблица 1-Значения токав течение времени переходного процесса t.

Таблица2-Значения тока в течение времени переходного процесса t.

Таблица 3-Значения тока в течение времени переходного процесса t.

Таблица 4-Значения напряжения в течение времени переходного процесса t.