Постановка задачи. 
Применение системы MathCAD для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие

Цель работы: научиться применять современные информационные технологии для решения практических задач; изучить систему MathCad для математических расчётов; изучить методы аппроксимации и способы их реализации в MathCad.

Задача работы: провести исследование электрической цепи с заданными параметрами.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в моделировании технических объектов

Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задач. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа. В современной физике таких задач очень много, более того за короткое время нужно провести огромное количество вычислений, иначе нет смысла решать задачу (суточный прогноз погоды должен быть просчитан за несколько часов, а коррекция движения ракеты за несколько минут). Это немыслимо без мощных ЭВМ, выполняющих 1 000 000 операций в секунду. Современные численные методы и мощные ЭВМ позволили решать задачи, о которых полвека назад человек мог только мечтать. Численные методы делятся на точные и приближенные. Точные методы позволяют за конечное число арифметических действий получить решение задачи. При этом если исходные данные заданы точно и вычисления производились без округления, то получается точное решение задачи.

К точным методам относятся: метод Гаусса и его модификации, метод Крамера, метод ортогонализации и т. д.

Приближенные методы (итерационные) дают бесконечную последовательность приближений, предел которых, если он существует, является решением задачи. К итерационным методам относятся метод Ньютона и метод простых итераций, метод хорд и метод секущих для решений уравнений.

Использовать эмпирические формулы (математические модели, построенные на основании ряда проведенных опытов) приходится в различных областях исследований и практических применений. Однако не всегда можно найти нужную формулу в существующих справочниках, поэтому нужно уметь построить математическую модель на основании эмпирических исследований.

При необходимости построения математической модели, задающей зависимость переменной от независимых переменных, следует иметь в виду, что в общем случае между переменными возможны следующие типы связей, и что для установления их применяются соответствующие математические методы:

• — Функциональная связь между неслучайными величинами. В этом случае значениям независимых переменных однозначно соответствует значение зависимой переменной .
• — Функциональная связь между зависимой переменной, и случайными независимыми переменными. Понятие случайной величины (переменной), то есть такой, значения которой нельзя предсказать заранее, исходя из условий опыта, является одним из основных понятий математической статистики. Случайная величина может принимать любые значения из некоторого множества допустимых значений, называемого выборочным пространством или пространством исходов. А в качестве ее оценки принимается ее математическое ожидание .
• — Стохастическая (вероятностная) связь между случайными величинами. Эта связь проявляется в том, что одна из случайных величин реагирует на изменения другой изменениями своего закона распределения. Наиболее простым видом стохастической связи является корреляционная связь, выражающаяся в том, что на изменение одной случайной величины другая случайная величина реагирует изменением своего математического ожидания или среднего значения.

В регрессионном анализе устанавливается связь между случайной величиной и неслучайными переменными, принимающими в каждой серии опытов некоторые значения. Величина является случайной, имеет нормальное распределение с центром (математическим ожиданием), изменяющимся при изменении значений факторов. Случайная величина имеет постоянную дисперсию, т. е, дисперсию, не зависящую от факторов. Математическое ожидание является функцией аргументов, т. е. на каждое изменение неслучайных величин случайная величина реагирует изменением своего математического ожидания.

Выражение (1) называют уравнением регрессии математического ожидания случайной величины по неслучайным величинам и оно является математической моделью.

(1).

Вид формулы, которая будет представлять математическую модель, во многом будет определять и способность ее адекватно представлять истинную зависимость. Поэтому этап выбора вида зависимости очень важен. По вопросу выбора формулы для представления истинной зависимости есть несколько точек, зрения.

Существует мнение, что выбор вида зависимости находится за пределами человеческих возможностей, и поэтому вид формулы следует выбирать произвольно, учитывая удобство применения математической модели в практических расчетах. Вид функции должен быть выбран исходя из логических и теоретических предпосылок, возникающих в результате анализа прошлого опыта подобных исследований. Наконец, существуют рекомендации использовать графический анализ для выбора вида формулы.

В каждой из упомянутых точек зрения по вопросу выбора вида формулы есть рациональные элементы, которые следует учитывать, чтобы получить удобную в использовании и адекватную математическую модель. Действительно, правильно угадать с первого раза наиболее подходящий вид формулы для многофакторной зависимости, не располагая анализом подобных исследований, практически невозможно. Однако построенная математическая модель выбранная, только исходя из соображений практического удобства, вида может дать возможность исследования ее адекватности, и тем самым предоставить дополнительную информацию для выбора вида новой формулы. И графический анализ, несмотря на все трудности, связанные с изображением вмерном пространстве, можем оказать помощь в выборе вида формулы для математической модели. Поэтому поиск лучшего вида формулы может рассматриваться как итеративный процесс последовательного приближения к лучшей математической модели.

Модель — явление, техническое устройство, знаковое образование или иной условный образ, который находится в определенном соответствии (сходстве) с изучаемым объектом-оригиналом и способен замещать оригинал в процессе исследования, давая о нем необходимую информацию.

Модель — отображение реальной системы, то есть за моделью всегда должна стоять реальность.

В модели должны отображаться не все свойства (особенности) реальной системы, а лишь те из них, которые в настоящий момент интересуют исследователя, являются важными с точки зрения поставленной задачи. Отсюда выводим, что любая реальная система может иметь бесчисленное множество моделей.

Модель, отображающая все, без исключения, свойства реальной системы тождественно равна самой системе. С моделью должно быть проще оперировать, чем с реальной системой. Между реальной системой (оригиналом) и ее моделью должно иметь место, определенное соответствие, с помощью которого устанавливается заданная точность отображения моделью свойств реальной натурной системы. Такие свойства модели должны иметь для того, чтобы с их помощью можно было сконструировать, испытать любое инженерное решение, оценить его эффективность и затем перенести на реальную систему.

Математическая модель — система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление.

Формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно точных правил оперирования с этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта, некоторыми символами, отношениями и константами.

Велика роль математики в решении задач реального мира. Физиков математика интересует не сама по себе, а как средство решения физических задач. Один из способов решения задач: эксперимент. Другой способ: математический анализ конструкции или явления, однако такой анализ применяется не к самому явлению, а к его математической модели. Математическая модель физического процесса представляет собой совокупность уравнений, описывающий процесс.

Математическая модель должна охватывать важнейшие стороны явления или процесса. Если математическая модель выбрана не точно, то какой бы мы способ решения не применили, результаты могут получиться не достаточно надежными, а иногда и неверными.

В зависимости от сложности модели применяют различные математические подходы, для наиболее грубых и наименее сложных моделей зачастую удается получить аналитическое решение (в виде формулы).