Нахождение закона оптимального управления системой по точности и быстродействию

АННОТАЦИЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТАВЛЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

2. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАМИРОВАНИЯ БЕЛЛМАНА.

3. НАХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПО ТОЧНОСТИ

4. НАХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПО РАСХОДУ СИГНАЛА

5. НАХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ

6. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Аннотация

Данная курсовая работа по дисциплине «Автоматизированный вентильный электропривод» посвящена нахождению закона оптимального управления по точности и быстродействию.

Моделирование этих законов позволяет сделать вывод о том, что для исследуемой системы вместо оптимального по быстродействию управления можно применить управление оптимальное по точности, причем различия переходных процессов будут пренебрежимо малы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Система описывается уравнениями:

На управление накладывается ограничение:

В данной курсовой работе надо составить структурную схему для заданной схемы, используя метод степенных рядов найти управление оптимальное по точности, найти управление оптимальное по точности, оптимальное управление по расходу сигнала и оптимальное по быстродействию.

Полученные результаты промоделировать в математическом пакете, в данной работе используется пакет MathCAD.

В последние годы в связи с бурным развитием полупроводниковой техники все большее развитие получают электромеханические системы типа «управляемый преобразователь — двигатель».

В общем случае система управления силовыми электроприводами включает в себя двигатель, питающийся от управляемого преобразователя и приводящий в движение посредством механического преобразователя исполнительный орган.

Для реализации заданных законов изменения управляемой переменной и компенсации влияния различных возмущающих воздействий на объект управления подается управляющее воздействие, вырабатываемое управляющим устройством или регулятором.

В основе анализа и синтеза автоматических систем управления лежит понятие математической модели управления управляемого процесса, которая должна отображать свойства реального объекта в пределах требуемой для управления точности.

Необходимо найти закон оптимального по точности управления однозначно определяемым функцией переключения, а также закон оптимального управления по быстродействию и сравнить результаты моделирования системы управления.

1. СОСТАВЛЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Для системы, описываемой уравнениями (1.1) составим структурную схему объекта управления (см. рис. 2.1)

Рис. 2.1

Теперь промоделируем заданную структурную схему пользуясь пакетом Matlab Simulink и получим графики Х1, Х2, Х3

Рис. 2.2 Структурная схема

Рис. 2.3. Переходный процесс для

Рис. 2.4. Переходный процесс для

Рис. 2.5. Переходный процесс для

точность сигнал быстродействие моделирование

2. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАМИРОВАНИЯ БЕЛЛМАНА

Запишем уравнение Р. Беллмана

(2.1)

Перепишем уравнение (2.1)

(2.2)

Представим (2.3)

Для определения оптимального управления дифференцируем выражение в фигурных скобках по u и получаем уравнение (2.4).

(2.4)

Уравнение (2.4) подставим в уравнение (2.2) и получим уравнение (2.5) для рассматриваемой задачи оптимального управления.

(2.5)

Функцию S (X) представим в виде уравнения (2.6)

Продифференцируем уравнение (2.6) по и получим три уравнения

Подставляя производные (2.7), (2.8), (2.9) в уравнение (2.5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях координат объекта, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

Упрощаем систему (2.10), состоящую из 9 уравнений, в систему (2.11) состоящую из 6 уравнений, так как

Далее обозначим

Подставим соответствующие уравнения системы (2.12) в уравнения системы (2.11), получим систему уравнений (2.13) и решим эту систему Mathcad.

Значит

Теперь подставим уравнение (2.9) в уравнение (2.4) и выразим оптимальное управление через найденные коэффициенты.

Теперь построим график оптимального по быстродействию управления системы и графики переходных процессов в системе Mathcad.

Рис. 3.1 График управления Рис. 3.1 График переходного процесса Х2(t)

Рис. 3.2 График переходного процесса Х1(t)

Рис. 3.3 График переходного процесса Х3(t)

3. НАХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПО ТОЧНОСТИ

Функциональное уравнение в общем виде имеет вид:

(3.1)

где n — порядок системы.

Для нашей системы функциональное уравнение примет вид:

(3.2)

Поделим выражение на и обозначим, , тогда получим

(3.3)

Заменим в выражении производные на соответствующие выражения из системы:

(3.4)

(3.5)

В выражении:

(3.6)

Для управляемости объекта по точности, необходимо выполнить условие:

(3.7)

(3.8)

Пусть A=B=C=1, тогда:

(3.9)

Управление примет вид

(3.10)

Промоделируем систему в MathCAD при релейном управлении:

На рис. 2.1 — 2.5 приведены результаты моделирования переходных процессов системы при релейном управлении.

Рис. 2.1. Переходный процесс для

Рис. 2.2. Переходный процесс для

Рис. 2.3. Переходный процесс для

Рис. 2.4. Переходный процесс для

Из графиков видно, что переходный процесс длится 11 сек.

4. НАХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПО РАСХОДУ СИГНАЛА УПРАВЛЕНИЯ

Все способы синтеза функций переключения оптимальных регуляторов основаны на получении для заданного объекта основного функционального уравнения, учитывающего свойства объекта и каналы его управления. Для управления, оптимального по расходу сигнала, условие управляемости примет вид

(4.1)

Исходя из условия (4.1) составим систему уравнений для оптимального управления по расходу сигнала:

На рис. 3.1 — 3.4 приведены результаты моделирования переходных процессов системы:

Рис. 3.1. Переходный процесс для

Рис. 3.2. Переходный процесс для

Рис. 3.3. Переходный процесс для

Рис. 3.4. Переходный процесс для

Коэффициент С=-1.35 найденный перебором чисел, для получения оптимального управления по расходу сигнала. Из графиков видно, что переходный процесс длится 10 сек.

5. НАХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ

Все способы синтеза функций переключения оптимальных регуляторов основаны на получении для заданного объекта основного функционального уравнения, учитывающего свойства объекта и каналы его управления. Для того чтобы управление смогло изменить знак скорости проникновения, необходимо выполнить условие управляемости: в момент переключения реле. Для управления, оптимального по быстродействию, условие управляемости примет вид:

(5.1)

Для определения управления, оптимального по быстродействию, воспользуемся способом, при котором функции переключения определяются, начиная с последнего интервала до первого. Далее найденные функции объединяются в одну общую функцию переключения и записываются окончательное решение для оптимального управления.

Поскольку на последнем интервале управления фазовое пространство объекта сжимается до единицы, то функция переключения на 3-м интервале будет состоять всего из одной координаты: , производная которой входит в последнее уравнение объекта. Оптимальное управление последнего интервала .

На 2-м интервале производная от функции переключения имеет вид

(5.2)

Аналогично на 1-м интервале:

(5.3)

Обозначим, тогда можно составить систему уравнений 5-го порядка для объекта управления:

(5.4)

Начальные условия для системы примут вид:

(5.5)

Константы интегрирования на 2-м и 1-м интервалах подбираются из условия, чтобы переходные процессы сходились одновременно. Моделируем систему ДУ (5.4) при начальных условиях (5.5) в MathCAD.

На рис. 5.1 — 5.4 приведены результаты моделирования переходных процессов системы (5.4) при релейном управлении для начальных условий (5.5).

Рис. 4.1. Переходный процесс для

Рис. 4.2. Переходный процесс для

Рис. 4.3. Переходный процесс для

Рис. 4.4. Переходный процесс для

Из графиком видно, что переходный процесс длится 3.2 сек. Константы интегрирования были найдены методом перебора и подобраны для данной системы, в результате С₁=0.024 и С₂=1.76.

6. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Сравним переходные процессы при оптимальном управлении по точности и оптимальном по быстродействию, представив на одном графике соответствующие координаты объекта управления.

Обозначение на графиках:

G — оптимальное управление по точности;

Gt — оптимальное управление по быстродействию.

Рис. 5.1. Переходный процесс для

Рис. 5.2. Переходный процесс для

Рис. 5.3. Переходный процесс для

Как видно из рис. отличие переходных процессов оптимальных по быстродействию и по точности существуют. Т.о. можно сделать вывод о том, что для исследуемой системы наиболее оптимальным управлением является управление оптимальное по быстродействию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данной курсовой работе на первом этапе был получен закон оптимального управления по точности для объекта, описываемого системой дифференциальных уравнений, переходный процесс длится 11 сек. На втором этапе был получен закон оптимального управления по расходу сигнала. На данном этапе возникла необходимость в подборе константы интегрирования С.

После подбора константы получили требуемый переходный процесс, который длится 10 сек. На третьем этапе был получен закон оптимального управления по быстродействию. На этом этапе трудность решения задачи составляла в подборе констант интегрирования .

После подбора и моделирования системы управления получили требуемый переходный процесс, который длится 3.2 сек. После сравнения 2-х законов управления можно сказать, что для исследуемой системы наиболее оптимальным управлением является управление оптимальное по быстродействию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В. И. Ловчаков, Б. В. Сухинин, В. В. Сурков. Оптимальное управление электротехническими объектами. ТулГУ; Тула 2003. 148 с.

2. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973. — 448 с.

3. Герман-Галкин С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MATLAB 6.0: Учебное пособие. — СПб.: КОРОНА принт, 2001. — 320 с., ил.