Понятие факторного и результативного признака

1.Исходные данные

арифметический вариационный факторный признак

Таблица 1

х₁, х₂, х₃ — независимая переменная (факторный признак) у — зависимая переменная (результативный признак)

2.Проверка однородности исследуемой совокупности

В таблице 2 проранжируем исходные данные по результативному признаку (у).

Таблица 2. Ранжированные исходные данные

у = 11 700 — испытуемый элемент совокупности.

Таблица 3. Расчет параметров для проверки однородности исследуемой совокупности

Определим среднюю арифметическую вариационного дискретного ряда без испытуемого элемента по формуле:

= = = 6450

Определим дисперсию без учета испытуемого элемента по формуле:

² = = = 3 449 642,86.

Среднеквадратическое отклонение составит:

= = = 1857,32

Рассчитаем допустимый предел:

= 4* = 4*1857,32 = 7429,28

Тогда допустимые границы вариации признака составят:

= [6450 — 7429,28; 6450 + 7429,28] = [-979,28; 13 879,28].

Испытуемый элемент у = 11 700 входит в расчетные пределы [-979,28; 13 879,28]. Соответственно, исследуемая совокупность является однородной и данный элемент не исключается из дальнейшего анализа.

3.Расчет показателей вариации

Для анализа вариации построим таблицу 4. Данная таблица заполняется на основе таблицы, приведенной в Приложении, и следующих формул:

= ;

² = ;

= ;

Таблица 4. Анализ вариации

Проверка фактического распределения результативного признака на близость к нормальному Проверка проводится по способу Вестергарда, согласно которому фактическое распределение данных можно считать близким к нормальному, если оно удовлетворяет следующим условиям (таблица 5).

Таблица 5

Результаты проверки оформим в таблице 6.

Таблица 6. Проверка на близость к нормальному распределению фактического распределения результативного признака

Фактическое распределение результативного признака достаточно близко к нормальному распределению.

4.Отбор факторных признаков

Основание и отбор факторных признаков можно произвести на основе симметричной матрицы линейных коэффициентов парной корреляции.

Коэффициент парной линейной корреляции можно рассчитать по следующей формуле:

r_yxi = .

Результаты представим в таблице 7.

Таблица 7. Симметричная матрица линейных коэффициентов парной корреляции

r_yx1 = = 0,185 — связь слабая, прямая.

r_yx2 = = 0,958 — связь сильная, прямая.

r_yx3 = = 0,968 — связь сильная, прямая.

r_x1х2 = = 0,178 — связь очень слабая, прямая.

r_x1х3 = = 0,072 — связь слабая, прямая.

r_х2х3 = = 0,964 — связи сильная, прямая.

Наиболее тесно связанным результативным признаком является факторный признак х₃, поскольку r_yx3 = 0,968 — max.

5.Расчет квадратичной ошибки коэффициента корреляции

Если совокупность относится к однородной и нормально-распределенной, то ошибку коэффициента корреляции можно вычислить по формуле:

h_yxi = .

Результаты расчетов запишем в таблице 8.

Таблица 8. Расчет квадратической ошибки коэффициента корреляции

h_yx1 = =(1−0,34 225)/3,741 657=0,176.

h_yx2 = = 0,022.

h_yx3 = = 0,017.

h_x1х2 = = (1−0,31 684)/3,741 657=0,008.

h_x1х3 = = (1−0,5 184)/3,741 657=0,266.

h_x2х3 = = 0,019.

6.Нахождение и статистическая оценка уравнения регрессии

Сделаем предположение о линейной зависимости изучаемых признаков и запишем уравнение линейной регрессионной зависимости:

y = b₀ + b₁•x₃.

Для определения параметров b₀ и b₁ в этом регрессионном уравнении решим следующую систему нормальных уравнений:

.

b₀ = = =-6958,59;

b₁ = = =26,907.

Таблица 9. Расчет теоретических значений результативного признака

Построим график эмпирической и теоретической линий регрессии.

Рис.

Коэффициент b₁ = 26,907 показывает, что при увеличении фактора х₃ на 1 ед. результативный признак у увеличивается на 6958,59 ед.

7.Определение линейной зависимости между тремя признаками

Из таблицы 7 выберем еще один факторный признак, связанный с результативным и имеющим наибольшее значение r_yxi. Это будем факторный признак х₁.

Составим уравнение множественной корреляции:

y_x1x2 = b₀ + b₁*x₁ + b₃*x₃

и система нормальных уравнений примет вид:

b₀ = = - 7596,767 565;

b₁ = = - 2,591 077;

b₃ = = 26,675 696.

Уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость результирующего признака от факторных признаков х₁ и х₃, примет вид:

у = - 7597 — 2,591*х₁ + 26,676*х₃.

С увеличением факторного признака х₁ на 1 ед., значение результирующего признака уменьшится на 2,591 ед. при неизменном значении факторного признака х₃.

Увеличение же факторного признака х₃ может привести к увеличению результирующего признака на 26,676 ед. при неизменном значении факторного признака х₁.

Рассчитаем коэффициент множественной корреляции:

R_yx1x3 = = = 0,97.

Коэффициент множественной детерминации R²_yx1x3 = 0,9409 показывает, что вариация значения результирующего признака на 94,09% обусловливается двумя анализируемыми факторами. Рассчитаем ошибку коэффициента множественной корреляции:

S_R = = = 0,013.

Рассчитаем совокупный коэффициент детерминации.

R² = ,

где — дисперсия факторных признаков.

= - =

= - 6800² = -5 459 800.

R² = = 1,1.

Проверка: коэффициент множественной корреляции, возведенный в квадрат, должен равняться коэффициенту детерминации:

(R_yx1x3)² = R²

0,972 = 1

Выводы

На основании расчетов первого раздела выяснили, что испытуемый элемент у = 11 700 входит в расчетные пределы [-979,28; 13 879,28].

Исследуемая совокупность является однородной и данный элемент не исключался из дальнейшего анализа.

По расчетам второго разделал определили, что совокупность является близкой к нормальному распределению.

В третьем разделе провели расчеты линейного коэффициента корреляции и его ошибки. Выявили факторы, которые будут использованы для дальнейших расчетов: х₁ и х₃.

В четвертом разделе определили взаимосвязь между результативным признаком и факторным признаком х₃. Данная зависимость описывается уравнением у = 26,907*х₃. -6958,59. Коэффициент b₁ = 26,907 показывает, что при увеличении фактора х₁ на 1 ед. результативный признак у увеличивается на 6958,59 ед.

В последнем разделе определили взаимосвязь между результативным признаком и факторными признаками х₁ и х₃.

Уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость результирующего признака от факторных признаков х₁ и х₃, примет вид:

у = - 7597 — 2,591*х₁ + 26,676*х₃.

С увеличением факторного признака х₁ на 1 ед., значение результирующего признака уменьшается на 2,591 ед. при неизменном значении факторного признака х₃.

Увеличение же факторного признака х₃ может привести к увеличению результирующего признака на 26,679 ед. при неизменном значении факторного признака х₁.

Вариация значения объема реализованной продукции на 94,09% обусловливается двумя анализируемыми факторами.

Список литературы

1.Практикум по эконометрике. /Под ред. Елисеевой И. И. м.: Финансы и статистика, 2008.

2.Эконометрика. Учебник. /Под ред. Елисеевой И. И. М.: Финансы и статистика, 2009.

3.Финансы и статистика, 2006. — 576 с.

4.Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А. К., Роганов Д. А. — Казань: ТИСБИ, 2002. — 56 с.

5.Доугерти К.

Введение

в эконометрику: Пер. с англ. — М.:ИНФРА-М, 1999. — 402 с.

6.Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика: Учебник для вузов /под ред. проф. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. — 311 с.

7.Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. — М.: Дело, 2001. — 400 с.

8.Катышев П. К., Магнус Я. Р., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. — М.: Дело, 2002. — 208 с.

9.Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. — Т. 1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 656 с.

10.Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. — Т. 2. Айвазян С. А. Основы эконометрики. — М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 432 с.

11.Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н. П., Дорохина Е. Ю. — М.: Издательство «Экзамен», 2003. — 512 с.

12.Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов / Сост. Е. Ю. Дорохина, Л. Ф. Преснякова, Н. П. Тихомиров. — М.: Издательство «Экзамен», 2003. — 224 с.

13.Эконометрика: Учебн. пособие для вузов / А. И. Орлов — М.: Издательство «Экзамен», 2002. — 576 с.

14.Мардас А. Н. Эконометрика. — СПб: Питер, 2001. — 144 с.

15.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 2002. — 479 с.