Основные классы иррациональных уравнений. 
Примеры

Иррациональные уравнения можно распределить по классам, которые зависят от метода решения иррационального уравнения.

Методы решения иррациональных уравнений.

Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

.

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Возводя в квадрат обе части уравнения, расширяется область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней.

Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение.

1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле.

.

Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида.

.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

и получим, откуда следует, что или .

Проверка.. Это неверное числовое равенство, значит, число -5 не является корнем данного уравнения.

. Это верное числовое равенство, значит, число -1 является корнем данного уравнения.

Ответ. .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение, откуда следует что или .

Проверка.. Это верное числовое равенство, значит, число 1 является корнем данного уравнения.

. Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

Ответ. .

2. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни — «хорошие» числа, а для «громоздких» корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому нужно уметь решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений.

Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе:

Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению, получим корни и .

Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. .

Уравнение вида равносильно каждой из двух систем Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие.

.

Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению, получим корни и. Однако при этих значениях x не выполняется неравенство, и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

Как подкласс можно выделить: метод уединения радикала При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде.

.

Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал слева исчезнет.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению. Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, получим корни и, но условие выполняется только для .

Ответ. .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение.

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению.

Это уравнение является следствием уравнения исходного уравнения и имеет корни,. Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй — не удовлетворяет.

Ответ. .

Метод введения новой переменной или «метод замены».

Этот метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Пусть получим более простое иррациональное уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат: .

Далее последовательно получаем:

;

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что — корень уравнения, а — посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение, то есть квадратное уравнение, решив которое находим два корня:;. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ.; .

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную, то уравнение примет вид, откуда; .

Теперь задача сводится к решению уравнений и. Первое уравнение решений не имеет, а из второго получаем;. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ.; .

Пример 9. Решить уравнение .

Введем новую переменную.

;

В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного Откуда учитывая ограничение, получаем. Решая уравнение, получаем корень. Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. .

ак подкласс можно выделить Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений.

Уравнения вида.

(здесь a, b, c, d — некоторые числа, m, n — натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных:

и ,.

где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений.

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные.

и, где .

Тогда исходное уравнение принимает вид:. Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными — они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: и. Теперь, если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z:

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z.

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению, корнями которого являются числа и. Корень посторонний, поскольку. Осталось решить уравнение, откуда находим .

Ответ. .

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. Пусть, , то исходное уравнение переписывается так:. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства, в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений она имеет два (действительных) решения:; .

Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным.

и систему первая из них дает, вторая дает .

Ответ. ;.

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные.

и, где .

По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:

откуда следует, что.

Так как, то y и z должны удовлетворять системе Возведем оба уравнения этой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение .

Также возведем равенства и в квадрат и заметим, что .

Получаем следующую систему уравнений:

из которой получаем уравнение .

Заметим, что это уравнение имеет корень. Тогда, разделив многочлен на, получаем разложение левой части уравнения на множители.

Отсюда следует, что — единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ. .

4. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. При умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию. В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению, которое равносильно совокупности уравнений.

Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и получим Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, уравнение решений не имеет. Значит, уравнение имеет единственный корень .

Подстановка в исходное уравнение показывает, что — корень.

Ответ. .

Пример 14. Решить уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию. После преобразований получим уравнение.

.

Оно имеет два корня:;. Проверка показывает, что — посторонний корень. Таким образом, уравнение имеет единственный корень .

Ответ. .

5. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Суть этого метода заключается в следующем: Уравнение, определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений.

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Пример 15. Решить уравнение .

При уравнение принимает вид:, которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ., .

Пример 16. Решите уравнение .

Решение. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Первый множитель равен нулю при, но тогда второй множитель потеряет смысл, так как при он равен. Значит, решением данного уравнения быть не может.

Второй множитель равен нулю при или. Первый множитель определен для всех действительных чисел, значит, и — решения данного уравнения.

Ответ., .

• 6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций.
• 1. Использование монотонности функции.

Если уравнение имеет вид.

.

где f (x) возрастает (убывает), или.

.

где f (x) и g (x) «встречно монотонны», т. е. f (x) возрастает, а g (x) убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно:. Теперь заметим, что левая часть уравнения — возрастающая функция, а правая — убывающая. Это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, — единственный корень.

Ответ. .

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. Легко заметить, что — корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая — константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, — единственный корень.

Ответ. .

Пример 19. Решить уравнение .

Решение. Так как,, , значит, (, и левая часть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение. Поскольку, , то. Следовательно, левая часть данного неравенства области определения принимает только отрицательные значения, то есть исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример 21. Решить уравнение .

Решение. Как и в предыдущих примерах, несложно обнаружить, что — корень. ОДЗ исходного уравнения — промежуток. Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на указанная функция возрастает, причем корень принадлежит этому промежутку. Значит, на данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции на отрезке. Очевидно, что при, а. Следовательно, на исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. .

2. Использование ОДЗ Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 22. Решить уравнение.

Решение. Найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения — одноэлементное множество {2}. Подставив в данное уравнение, приходим к выводу, что — корень исходного уравнения.

Ответ. .

3. Использование графиков функций При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Заметим, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 23. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ данного уравнения есть все x из промежутка Проведем прямую. Из рисунка следует, что график функции f (x) лежит не ниже этой прямой, а график функции g (x) не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем, а. При этом только для, а только для. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 24. Решить уравнение .

Легко проверяется, что точка A (-1;-2) является точкой пересечения графиков функций f (x) и g (x), то есть — решение уравнения. Проведем прямую. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций и. Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.

Для этого докажем, что для x из промежутка справедливы неравенства и, а для промежутка справедливы неравенства и. Очевидно, что неравенство справедливо для, а неравенство для. Решим неравенство. Это неравенство равносильно неравенству, которое можно переписать в виде. Решениями этого неравенства являются все. Точно также показывается, что решениями неравенства являются все .

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

Кроме рассмотренных типов иррациональных уравнений существуют еще и уравнения смешанного типа. К этой группе относятся иррациональные уравнения, содержащие кроме знака радикала и другие выражения (логарифмическое, показательное, тригонометрическое), а также знак модуля и параметр.

3. Система упражнений на каждый класс уравнений Класс 1.

№ 1. Решить уравнение.

Ответ: ;

№ 2. Решить уравнение Ответ:

№ 3. Решить уравнение Ответ:

№ 4. Решить уравнение Ответ:

Класс 2.

№ 1. Решить уравнение.

Ответ:

№ 2. Решить уравнение.

Ответ: нет решений.

№ 3. Решить уравнение.

Ответ:

№ 4. Решить уравнение.

Ответ: нет решений Класс 3.

№ 1. Решить уравнение.

Ответ: нет решений.

№ 2. Решить уравнение.

Ответ: 1.

№ 3. Решить уравнение Ответ: х = 2.

№ 4. Решить уравнение.

Ответ: ;

Класс 4.

№ 1. Решить уравнение.

Ответ: ;

№ 2. Решить уравнение.

Ответ:

№ 3. Решить уравнение.

Ответ: решений нет.

№ 4. Решите уравнение.

Ответ: .

Класс 5.

№ 1. Решить уравнение.

Ответ:

№ 2. Решить уравнение.

Ответ: ;

№ 3. Решить уравнение.

Ответ:

№ 4. Решить уравнение.

Ответ: ;

Класс 6.

№ 1. Решить уравнение.

Ответ:

№ 2. Решить уравнение.

Ответ:

№ 3.Решить графически уравнение.

Ответ: корней нет.