Двоичная система счисления

Системы счисления, применяемые в ЭВМ

При проектировании и создании вычислительных машин разработчики пришли к выводу, что привычная нам десятеричная система во многом неудобна и не является идеальной. Так в техническом плане, обработку информации оказалось легче всего производить, если мы имеем дело с сигналами двух видов: «Да» или «Нет», т. е. иметь дело с двоичными числами, с двоичным счислением. Ко времени создания первых электронно-вычислительных машин теория двоичного счисления была теоретически разработана. Имелся четкий математический аппарат двоичного счисления и математической логики. Именно он и был положен в основу работы ЭВМ. При записи больших чисел в более короткой форме, оказалось удобнее использовать восьми и шестнадцатеричную системы счисления. Привычная нам десятеричная система счисления оказалась для этих целей весьма неудобной. ЭВМ переводит все числа в десятеричную систему счисления исключительно в угоду человеку. Неудобство десятеричной системы счисления заключается в неоднозначном соответствии набора двоичных и десятеричных цифр.

Распишем таблицу чисел от 1 до 15:

Десятеричная Двоичная Шестнадцатеричная Восьмеричная.

• 1 0001 1 1
• 2 0010 2 2
• 3 0011 3 3
• 4 0100 4 4
• 5 0101 5 5
• 6 0110 6 6
• 7 0111 7 7
• 8 1000 8
• 9 1001 9
• 10 1010 А
• 11 1011 B
• 12 1100 C
• 13 1101 D
• 14 1110 E
• 15 1111 F

Из приведенной таблицы видно, что каждая цифра шестнадцатеричного числа однозначно описывает набор 4 цифр двоичного числа, в то время, как с десятеричными цифрами такой закономерности не наблюдается. Например, число 7 в десятеричной системе записывается одной цифрой, а число двенадцать — двумя. Т. е. десятеричные числа не могут однозначно описать все комбинации двоичных цифр.

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную или восьмеричную и обратно осуществляется очень просто. Для этого достаточно разбить двоичное число по 4 цифры справа для шестнадцатеричной и по 3 — для восьмеричной. Затем, пользуясь приведенной выше таблицей записать его шестнадцатеричными (восьмеричными) цифрами.

Например: дано число 110 101 101 001 011 в двоичной системе счисления. Перевести его в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.

11 010 110 100 1011(двоич.)= 0110 1011 0100 1011(двоич.) =.

= 6В4 В (шестн.) =.

= 110 101 101 001 011(двоич.) =.

= 65 613 (восьми.).

Поскольку при кодировании информации было решено использовать набор из 8 двузначных цифр, наиболее распространенной и применяемой оказалась как двоичная, так и шестнадцатеричная системы записи данных. Использование десятеричной системы оказалось неудобным. Однако исторически сложилось, что человечество в повседневной жизни использует десятеричную систему счисления. Поэтому ЭВМ приходится переводить все числа в эту систему счисления.

Давайте и мы с вами научимся осуществлять этот перевод. Существует множество различных способов перевода. Мы остановимся на одном.

В современном мире принята позиционная запись числа. Например, в десятеричной системе счисления на первой позиции справа записываются единицы (разряд единиц), затем — десятки (разряд десятков) и т. д.

159 — мы говорим 1 сотня, 5 десятков и 9 единиц.

По другому это число можно представить в следующем виде:

153 = 1*10²+5*10¹+9*10⁰

Эта запись справедлива для любой системы счисления, где используется позиционная форма записи числа.

X = A₁*Bⁿ + A₂*B^n-1 + … + A_n*B¹ + A_n+1*B⁰

где В — основание системы счисления, A — коэффициент (A< B).

Аналогично, в двоичной системе счисления число можно представить в виде:

10 101 = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 (десять.) = 53 (десять.).

Теперь нетрудно посчитать, чему будет равно это число. Достаточно сложить два в соответствующей степени, коэффициент при которой равен единицы.

Полезно представить приведенную здесь закономерность в виде таблицы:

• 2⁸ 2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰
• 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Теперь достаточно подписать к этой таблице снизу число в двоичной форме, равняя его по правой границе, и подсчитать сумму двоек в степени при единицах.

Например: пусть дано число 100 101 в двоичной системе. Перевести его в десятеричную.

• 2⁸ 2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰
• 256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 0 1.

10 0101(двоич.) = 32 + 4 + 1 = 37(десять.).

Из десятеричной системы в двоичную можно перевести в обратном порядке. Находим число в таблице, наиболее близкое к нашему, но меньше его. Под этим числом в таблицу ставим единицу. Из нашего числа вычитаем число из таблицы. С разностью повторяем те же действия до тех пор, пока не распишем все число. Дополним пустые места в нашей таблице нулями. Прочитаем полученное двоичное число как обычно, слева на право. Это и будет результатом.

Единицы измерения информации.

Как было сказано выше, ЭВМ использует двоичную систему счисления. Поэтому минимальной единицей измерения информации является одно двоичное число — Бит.

Бит содержит информацию типа: Да или Нет. С помощью Бита очень трудно записать какую либо информацию. Поэтому договорились в качестве единицы информации использовать комбинацию из 8 Битов. Эта единица получила названия Байт. Набор 8 различных битов дает 256 различных комбинаций. Этого оказалось достаточно, чтобы закодировать все привычные нам буквы и символы. Поэтому 1 Байт можно представить как 1 символ. Таким образом информацию в ЭВМ мы вводим как последовательность привычных нам символов.

Байты информации объединяются в более крупные единицы:

• 1 Кбайт = 2¹⁰ =1024 Байт — или примерно 1000 Байт (1 килобайт)
• 1 Мбайт = 2²⁰ — примерно миллион байт (1 Мегабайт)
• 1 Гбайт = 2³⁰ — примерно миллиард байт (1 Гигабайт)

К примеру — один лист печатного текста занимает в среднем 3000 байт или 3 Кбайта, полуторачасовой цветной видеофильм может занимать до нескольких Гигабайт.

Обработка информации в ЭВМ производится побайтово. Однако с появлением 16 и 32 разрядных процессоров все чаще и чаще записываю информацию словами (2 Байта) или двойными словами (4 Байта).

Операции над двоичными числами.

Над двоичными числами выполняются все известные нам операции и по такому же алгоритму, как и с обычными десятеричными числами. Отличие только заключается в том, что в двоичной системе существует только две цифры — 1 и 0. Поэтому, когда в результате арифметического действия получается число большее 1, мы в этом разряде записываем 0, а в следующий — переносим 1.

Например: 1 001 9.

+ 1 011 + 11.

===== ==.

10 100 20.

Мы с вами остановимся на рассмотрении логических операций над двоичными числами. Вспомним основные логические операции «И», «ИЛИ», «НЕ».

Запишем таблицу истинности:

Логическое «И» Логическое «ИЛИ» Логическое «НЕ»

X Y X и Y X Y X и Y Х не Х.

• 0 0 0 0 0 0 0 1
• 1 0 0 1 0 1 1 0
• 0 1 0 0 1 1
• 1 1 1 1 1 1

При логическом «И» результат будет истинным, только если оба входные параметра будут истинными. Во всех остальных случаях будет ложь.

При логическом «ИЛИ», чтобы результат оказался истинным, достаточно, чтобы хотя бы один из входных параметров оказался истинным.

В дальнейшем нам часто придется иметь дело с отдельными битами байта. Нас будет интересовать вопрос, какой бит стоит на том или ином месте, или наоборот, нам потребуется записать отдельный бит на то или иное место.

Давайте рассмотрим один из вариантов решения этих вопросов.

Для того, чтобы определить, стоит ли на данном месте 0 или 1, достаточно произвести над этим и соответствующим числом логическую операцию «И» и приравнять результат к нулю.

Действительно, давайте посмотрим на примере: Если нам требуется выяснить, равен ли 3 бит 1 или 0, достаточно выполнить Х и 4, Пусть Х=25. Тогда:

и 100.

=====.

Сразу видно, что в результате этого действия все биты кроме 3 обнуляются. Будет ли результат равен нулю, будет зависеть только от 3 бита. Если там стоит 0, то и весь результат будет равен 0.

Для того, чтобы записать в тот или иной бит 1, не меняя значения стальных битов, часто выполняют следующие действия. Над байтом и соответствующим числом выполняют логическое «ИЛИ». Взгляните на пример. Если требуется изменить только 3 бит, не меняя остальных, Достаточно взять этот байт и выполнить над ним и 4 логическую операцию «ИЛИ».

или 100.

=======.

Из примера видно, что нулевые биты не повлияли на исходный байт, а 3 бит, не зависимо от того, была там единица или нет получает значение 1.

ЗАДАНИЕ: Придумайте метод, как обнулить 3-ий бит, не изменяя значения других битов (Обратите внимание, что он уже может равняться нулю)

Представление чисел в IBM PC.

Для учета как положительных, так и отрицательных чисел микропроцессоре 8088 используется дополнение до двух. В случае знакопеременных чисел самый левый бит числа указывает на его знак. У положительных чисел в самом старшем бите содержится 0, а у отрицательных содержится 1. Положительные числа имеют одно и то же значение при обоих способах представления: с учетом и без учета знака. Значения же отрицательных чисел будут разными. Для того чтобы изменить знак числа все биты числа инвертируют и к результату прибавляют единицу. Например, в случае 4=битовых чисел значению 5 соответствует число 0101B, а -5 — число 1011B. В двоичной системе счисления с дополнением до двух нуль представляется единственным образом, т. е. -0 = 0. В системе счисления с дополнением до двух наибольшее значение n=битового числа равно 2 ^n-1 — 1, а наименьшее -2 ^n-1. Нуль представляется единственным образом, в случае 4=битовых чисел наибольшее значение равно 7, а наименьшее -8. Как мы увидим в дальнейшем, микропроцессор 8088 может обрабатывать числа либо с учетом, либо без учета их знака.

Практические задания № 1

Тема: Системы счисления, применяемые в ЭВМ. Методика работы с отдельными битами.Цель занятия: Научить студентов пользоваться различными системами счисления, переводить числа из одной системы счисления в другую. Понять принцип работы с числами, который применяется в ЭВМ. На практике применять методы математической логики.

Задания

Представить предложенное число в десятеричной форме: $ 4BA.

Переведите 627 из десятеричной системы счисления в шестнадцатеричную форму.

Составить программу, которая любое введенное с клавиатуры число представляет в двоичной форме.

Составить программу, которая определяет значение любого бита в введенном с клавиатуры числе.

Составить программу, которая обнуляет любой бит в веденном с клавиатуры числе.

Составить программу, которая устанавливает любой бит в введенном с клавиатуры числе.

Составить программу, которая осуществляет циклический сдвиг битов в любом введенном с клавиатуры числе влево или вправо на n_позиций.