Математика в гуманитарных исследованиях

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.

Истины, добываемые математическим естествознанием, инвариантны относительно времени и места протекающих явлений. Гуманитарное же знание, напротив, сосредоточено на конкретно-исторических особенностях эпохи, в которой довелось жить как выдающимся, так и простым рядовым гражданам той или иной страны. Пусть первые, благодаря своим талантам, способны «творить» историю, в то время как на долю других нередко выпадает лишь роль ее «строительного материала», но и в том и в другом случае исследователь равнодушен к закономерностям естественных наук, вскрывающих общие природные предпосылки исторического процесса и потому никак не выражающих его специфические особенности в конкретных условиях места и времени. Математическое естествознание и гуманитарные науки как бы дополняют друг друга, но о плодотворном взаимодействии между ними не может быть и речи в силу кардинального различия предмета и методов данных областей знания.

Можно ли что-нибудь противопоставить этим доводам, во многом опирающимся на реальную практику современной науки? Если рассматривать сегодняшнее состояние математического естествознания и гуманитарных наук как совершенно адекватное исследуемым в них предметным областям, приведенные аргументы поколебать не удастся. Для обоснования самой возможности существования какой-либо альтернативы в вопросе о взаимоотношении математического и гуманитарного образования необходима точка зрения, позволяющая критически взглянуть на каждую из указанных областей человеческого знания, поставив под сомнение непреложность взглядов современной науки на собственные основания.

В истории науки общим местом является констатация уникального характера древнегреческой математики, разительно отличающейся доказательным характером своих построений от рецептурно-вычислительной математики восточных цивилизаций. Поскольку современная математика справедливо считает себя правопреемницей математики Древней Эллады, то математические знания Индии, Китая и других стран Востока автоматически начинают выглядеть как ущербные, не «дотягивающие» до уровня подлинной науки. Между тем имеются все основания рассматривать древнегреческую математику как уникальный феномен не только с исторической, но и с чисто теоретической точки зрения. Можно показать, что идеализация современной математики отражает не «вневременную природу математического знания», а лишь исторически сложившиеся стандарты этой науки, которые в качестве таковых в ней не осознаются. Но в таком случае отмеченная выше разделительная грань между математикой и гуманитарным знанием начинает стираться, и математика становится похожей на «нематематические» дисциплины. Похожей в том смысле, что, как и другие дисциплины, она занимается не поиском неких «божественных истин», бесконечно далеких от приземленных потребностей простых смертных, а ответом на вопросы, вырастающие из запросов общественной жизни. И если математика и отличается, скажем, от истории или психологии, то, главным образом, относительной простотой предмета своего исследования. Поэтому она оказывается в первую очередь школой научного мышления, приобретение навыков которого является необходимым условием успехов и в сфере гуманитарного знания.

Рассмотрим, каким же образом можно применить математические знания при проведении исследований в различных гуманитарных исследованиях?

Как известно предметом любого исследования является объект, а любой объект есть некая совокупность количественных характеристик, описывающих его поведение. Предметом гуманитарных исследований являются довольно сложные объекты, такие как социальные, экономические и прочие процессы и явления, обладающих множеством свойств.

В процессе числового представления свойства сопоставляются, упорядочиваются, подчиняются отношениям порядка. Число выступает не как самоцель, а как инструмент упорядочивания, сопоставления. Числовым представлением объектов гуманитарных исследований занимается математическая теория измерений. Для каждой гуманитарной науки способы количественного измерения свойств исследуемого объекта — свои. Так, например, в социологии это могут быть: анкетирование, интервьюирование, наблюдение.

Наиболее удобным методом исследования сложных объектов может служить, в частности, математическое моделирование. Что и происходит на практике [Чесноков С. В. Детерминационный анализ социально-экономических данных. — М.: Наука, 1982, стр. 234].

Вообще говоря, этап математизации гуманитарной науки начинается тогда, когда ей не хватает того естественного языка, с которого началось ее становление, когда возможности этого языка для прогресса науки оказались исчерпанными. Сейчас стало ясно, что принципиально не математических дисциплин вообще не существует. Другое дело, степень математизации и этап эволюции научной дисциплины, на котором математизация становится необходимой. Одним из серьезных направлений по использованию математики для гуманитарных исследований является моделирование различных процессов. Можно указать лишь несколько наиболее типичных видов математических моделей, используемых гуманитарных исследованиях:

Вероятностные распределения. Логарифмически нормальное распределение используется, например, для моделирования распределения доходов населения, распределение Пуассона — для моделирования среднего времени ожидания обслуживания и т. д.

Статистические исследования зависимостей — класс моделей, широко распространенный в гуманитарных исследованиях.

Аппарат марковских цепей используется для анализа и прогноза численности тех или иных социальных групп, тенденций их изменения и т. п. (в демографии, криминологии, эпидемиологии, исследованиях социальной мобильности).

Моделирование предпочтений описывается на языке теоретико-множественных отношений или целевых функций.

Модели целенаправленного поведения представляют собой непосредственное использование целевых функций и предпочтений для анализа, прогнозирования и планирования процессов в сфере потребления, трудового поведения и др.

Имитационные модели представляют собой класс моделей, реализованных в виде алгоритмов и программ для ЭВМ, отражающих относительно сложные зависимости, не поддающиеся аналитическому анализу. Этот способ моделирования широко применяется для исследования проблем развития городов, регионов, экологических и других сложных систем [Математические модели в экологии и генетике. М., 1994. с. 195.].

Так, например, большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система. Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Но арсенал применяемых в гуманитарных науках математических средств весьма обширен и многообразен — различные методы математической статистики, теория игр, теория информации, аппарат теории устойчивости, теория марковских цепей, линейное программирование, факторный анализ, корреляционный анализ, теория графов, матричная алгебра и многое другое [Толстова Ю. Н. Логика математического анализа социологических данных. — М.: Наука, 1991, стр. 68.].

Таким образом, математика прочно вошла в процесс гуманитарных исследований, и любая гуманитарная наука может подобрать набор конкретных математических методов для проведения исследований в своей области.