Группой называется множество, на котором задана бинарная операция, обычно называемая умножением, если выполняется следующее условие.
- — Замкнутость по умножению: для любых, выполняется .
- — В множестве существует единичный элемент такой, что для любого .
- — Для любого существует обратный элемент такой, что
Группа называется абелевой, или коммутативной, если операция умножения коммутативна .
В определении групп операция (умножение, для мультипликативных групп) не конкретизируется. Групповой операцией может служить и сложение, например, сложение целых чисел. Если операция называется сложением, то группа является аддитивной. В этом случае единичный элемент называется нулем, а вместо обратного элемента используется противоположный элемент. Аддитивная абелева группа называется модулем [5].
Группа обладает следующими свойствами.
- — Уравнение и в группе G всегда имеют единственные решения, а именно и. Поэтому последние два условия можно заменить условием однозначной разрешимости уравнений и. Для доказательства достаточно подставить эти решения в уравнения:
- — Предположим, что есть два решения и уравнения. Умножив равенства и слева на, получим отсюда
- — Однозначность деления. Если то, если, то Для доказательства умножим равенства ax=ay слева на, равенство справа на. Получим, следовательно, Во втором случае получим .
- — В группе существует единственный единичный элемент. Доказательство следует из единственного решения уравнения .
- — Каждый элемент группы имеет единственный обратный элемент. Доказательство следует из единственного решения уравнения
- — Обращение произведения: Для доказательства достаточно умножить обе части равенства справа или слева на [6].
Множество, замкнутое по отношению к ассоциативной операции умножения, называется полугруппой. Если это множество обладает единичным элементом, то оно называется моноидом. Единичный элемент e в моноиде единственный, так как из предположения о существовании другого единичного элемента вытекает равенство. Если умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной.
Если рассматриваемое множество замкнуто по отношению к операции умножения и каждое из уравнений имеет единственное решение при любых a, b, то это множество называется квазигруппой [5].
Признак подгруппы:
Непустое подмножество в группе будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:
Например, целые числа с операцией сложения образуют подгруппу в группе, которая, в свою очередь является подгруппой группы [5]. Пусть некоторый фиксированный элемент группы, а — любая ее подгруппа.
Множество называется левым, а — правым смежным классом группы по подгруппе.
Например, очевидно, что, так что подгруппа Н сама является одним из смежных классов.
