Несовместные и достоверные события. 
Случайные величины

Задание 1

Вероятность попадания в цель первым стрелком равна р₁, а вторым стрелком р₂. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?

Решение:

Множество благоприятных событий состоит из следующих событий:

— первый стрелок попадает в цель, второй не попадает: вероятность равна произведению р₁(1 — р₂)

— второй стрелок попадает в цель, первый не попадает: вероятность равна произведению р₂(1 — р₁)

Поскольку эти два события несовместны, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий:

Р = р₁(1 — р₂) + р₂(1 — р₁) = р₁ — р₁р₂ + р₂ — р₁р₂ = р₁ — 2р₁р₂ + р₂ = (р₁ — р₂)²

Задание 2

В последовательности из n? 6 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р произошел ровно один успех. Найти вероятность того, что успех произошел именно в шестом испытании.

Решение:

Воспользуемся формулой Байеса.

Здесь событие, А — произошел один успех.

В₆ — успех произошел в шестом испытании

Вероятность того, что успех произошел именно в шестом испытании равна вероятности того, что в предыдущих пяти испытаниях успех не произошел, помноженную на вероятность того, что в шестом испытании успех произошел, т. е.

Событие, А при наступлении события В₆ — событие достоверное, следовательно

Полная вероятность события, А вычисляется по формуле Бернулли

В итоге получаем

Задание 3

Из 25 контрольных работ, среди которых 6 оценены на «отлично», случайным образом извлекаются 4.

Случайная величина о — число «отличных» работ среди выбраных.

Требуется:

1. Построить закон и многоугольник распределения случайной величины о;

2. Построить функцию распределения и ее график;

3. Найти математическое ожидание Мо, дисперсию Dо, среднее квадратическое отклонение уо случайной величины о;

4. Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее своего среднего значения, т. е.P (о < Mо).

Решение:

1. Вероятность того, что случайно выбранная работа будет отличной, равна

Случайная величина о — число «отличных» работ среди выбранных — может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятности этих событий посчитаем по формуле биномиального распределения

где n = 4, р = 0,24

Ряд распределения будет таким:

2) Найдем функцию распределения дискретной случайной величины

3) Для дискретной величины

4) Тогда

Задание 4

Дана плотность распределения случайной величины о

Требуется:

1. Найти постоянную А, функцию распределения F_о(x), математическое ожидание Мо, дисперсию Dо случайной величины о.

2. Построить графики f_о(x), F_о(x), при м = 1.

3. Вычислить Р (х₁< о2) двумя способами: с помощью плотности распределения, с помощью функции распределения при х₁ = м/3, х₂ = м/2

Решение:

Функция распределения равна

Постоянная, А находится из условия, что

Т.е. функция распределения будет

Задание 5

Задана нормально распределенная случайная величина о с параметрами

а = 6, у = 1 + 6/7 = 13/7, ()

Требуется:

1. Построить график плотности распределения f_о(x),

2. Вывести формулу, связывающую функцию распределения F_о(x) с функцией Ф (х) Лапласа-Гаусса:

Ф (х) =

3. Используя полученную выше связь F_о(x) с Ф (х), построить график функции распределения F_о(x).

4. Выразить Р (х₁< о2) через функцию Ф (х) (вывести формулу) исходя из соотношения

Р (х₁< о2)=

5. Получить численное значение вероятности при х₁ = ,+3у х₂ = - 3у .

Решение:

Плотность вероятности для нормального распределения имеет вид

График этой функции приведен на рис. Он имеет вид колокола с максимумом в точке х = а=6 и расстоянием до точек перегиба у = 13/7.

2. Выведем формулу, связывающую функцию распределения F_о(x) с функцией Ф (х) Лапласа-Гаусса:

Ф (х) =

Т.е. графики этих функций совпадают с точностью до значений по оси х

несовместный достоверный случайный событие

4. Выразим Р (х₁< о2) через функцию Ф (х) (вывести формулу) исходя из соотношения

5. Получить численное значение вероятности при х₁ = ,+3у х₂ = - 3у .

Задание 6

Дайте подробные ответы на вопросы

Доказательство неравенства Чебышева

Пусть Х — случайная величина, имеющая конечную дисперсию. Тогда для любого е > 0 справедливо неравенство

Для доказательства неравенства Чебышева запишем выражение для дисперсии случайной величины

Пусть е — любое положительное число. Если в выражении для дисперсии мы выбросим из суммы все члены, где и оставим только те, где, то от этого сумма может только уменьшиться

На эта сумма уменьшится еще более, если в каждом члене заменить множитель меньшей величиной е²:

Сумма, стоящая теперь в правой части, есть сумма вероятностей всех тех значений х_i случайной величины Х, которые отклоняются от МХ в ту или другую сторону больше чем на е; по правилу сложения это есть вероятность того, что величина х получит какое-либо одно из этих значений. Другими словами, это есть вероятность того, что отклонение х от средней величины окажется больше, чем е;

Таким образом, находим

Закон больших чисел в форме Чебышева

Если Х₁, Х₂, … — последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены, т. е. DX_k? C для каждого k, то эта последовательность подчиняется слабому закону больших чисел, т. е. для любого е > 0 справедливо равенство

Другими словами, если

сходится к нулю «по вероятности».

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность случайная величина «удовлетворяет закону больших чисел».

Если случайные величины одинаково распределены, то математические ожидания у них одинаковы и равны, например, а, то приведенное выше утверждение можно записать в виде.

И тогда закон больших чисел в форме Чебышева формулируется так:

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией для любого е > 0 справедливо равенство

То есть, по сути это означает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

Доказательство.

Обозначим через сумму первых n случайных величин, а через

их среднее арифметическое. Тогда

Пусть е > 0. Воспользуемся неравенством Чебышёва

Т.к. случайные величины независимы и одинаково распределены

при, поскольку DX, по условию, конечна.

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.

Закон больших чисел в форме Бернулли

Пусть, А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью Р (А). Пусть m — число осуществлений события A в испытаниях. Тогда частота

стремится «по вероятности к Р (А), т. е. для любого е > 0

Доказательство.

Заметим, что m есть сумма независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха Р (А) (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло А):

x_i = 1, если, А произошло в i — м испытании;

x_i = 0, если, А не произошло в i — м испытании;

Осталось воспользоваться законом больших чисел в форме Чебышёва и неравенством Чебышева

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. М., 1979.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика (4-е изд.). М.: Высшая школа, 1972

3. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей (2-е изд.) М.: Наука, 1974

4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М., Наука, 1986