Расчет балки на изгиб

Введение

Информатика выходит за рамки узкой технической дисциплины, относящейся к средствам вычислительной техники и информационным технологиям. Информатика в XXI веке становится естественной наукой, занимающей положение между другими естественными, техническими и общественными науками. Ее предмет составляют информационные процессы, протекающие в природе, обществе и технических системах. Ее методы в своем большинстве основаны на взаимодействии программных и аппаратных средств вычислительной техники с другими техническими системами, с человеком и обществом. Ее цель — научное обоснование эффективных приемов создания, распределения и потребления всех трех типов информационных ресурсов и методологическое обеспечение разработки новых информационных систем.

Научно-технические достижения XX в. показали возможность автоматизации работ с данными за счет использования устройств не механического, а электронного типа. Совокупность устройств, предназначенных для автоматической или автоматизированной обработки данных, называют вычислительной техникой. Конкретный набор взаимодействующих между собой устройств и программ, предназначенный для обслуживания одного рабочего участка, называют вычислительной системой. Центральным устройством большинства вычислительных систем является компьютер. В современном понимании компьютер — это универсальный электронный прибор, предназначенный для автоматизации создания, хранения, обработки, транспортировки и воспроизведения данных.

Цель нашей курсовой работы научиться создавать на примере предложенного задания математическую модель, и её дальнейшее решение в пакете MathCAD.

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математической модели, их классификация и свойства Математическое моделирование основано на том факте, что различные изучаемые явления могут иметь одинаковое математическое описание. Хорошо известным примером служит описание одними и теми же уравнениями электрического колебательного контура и пружинного маятника. Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме метаматематических соотношений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте или явлении. Поскольку знания эти никогда не бывают абсолютными, а в гипотезах иногда намеренно не учитывают некоторые эффекты, модель лишь приближенно описывает поведение реальной системы.

Моделирование — процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель — это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определятся различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом. Если модель или объект одной и той же природы, то моделирование называют физическим.

Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами. Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.

Математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем на основе создания новых объектов — математических моделей.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказываться от испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Математическая модель — это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами. [2. стр. 46−52]

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства объекта, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Посредством математического моделирования осуществляется решение исследовательских, поисковых, проектно — конструкторских и эксплуатационных задач. На этапе доводки конструкции приходится моделировать процессы функционирования технического объекта для выявления причин неудовлетворительных показателей надежности или эффективности. В период эксплуатации технического объекта моделирование осуществляется с целью определения наиболее эффективных режимов функционирования, целесообразных областей и условий использования и т. п.

Процесс создания разделяется на стадии: предпроектные исследования, техническое задание, техническое предложение, эскизный проект, технический проект, рабочий проект, изготовление опытных образцов, испытания и доводка, приемочные испытания. Первые две стадии и частично третья составляют этап внешнего проектирования, на котором осуществляется научно — технический поиск и прогнозирование, формирование описания среды функционирования технического объекта, моделирование и исследование, направленные на разработку концепции и технического решения. 5. стр. 25−43].

Основными свойствами модели являются:

1. Модель — отображение реальной системы, то есть за моделью всегда должна стоять реальность;

2. Это отображение должно быть упрощенным. Упрощенным в том смысле, что должны отображаться не все свойства (особенности) реальной системы, а лишь те из них, которые в настоящий момент интересуют исследователя, являются важными с точки зрения поставленной задачи. Отсюда выводим, что любая реальная система может иметь бесчисленное множество моделей. Модель, отображающая все, без исключения, свойства реальной системы тождественно равна самой системе.

3. С моделью должно быть проще оперировать, чем с реальной системой

4. Между реальной системой (оригиналом) и ее моделью должно иметь место, определенное соответствие, с помощью которого устанавливается заданная точность отображения моделью свойств реальной натурной системы.

Классификации модели разделяются по:

Назначению:

1. Достижение практических результатов (например, установление функциональных связей между входом и выходом объекта для решения конкретных задач управления).

2. Обучение, демонстрация и усвоение уже готовых знаний.

3.Исследования воспроизводимого объекта для:

— Совершенствования или построения теории процесса.

— Предсказания поведения объекта, когда модель является его заменителем.

— Замены сложной системы, более простой системой с допустимой для

определенных условий точностью.

— Экономии времени и средств.

— Интерпретации экспериментальных и теоретических результатов путем замены эксперимента на объекте экспериментом на модели.

По закону изменения выходных переменных модели:

1. Стационарная (статическая) модель — модель, отображающая взаимосвязь между входным и выходным воздействиями объекта в его установившемся состоянии без учета времени.

2. Нестационарная модель — модель в производных, отображающая поведение объекта с учетом времени.

3. Динамическая модель — модель, выходные значения которой зависят от входных воздействий не только в текущий момент времени, но и в предшествующие моменты времени.

4. Линейная модель — математическая модель, удовлетворяющая принципу суперпозиции.

5. Нелинейная модель — математическая модель, не удовлетворяющая принципу суперпозиции.

По способу описания объекта:

1. Модель «внутреннего механизма» («в большом») — математическая модель, отображающая все стадии превращения энергии или вещества внутри объекта. Модель «в большом», как правило, строится на основе известных фундаментальных законов естественных наук, она подробно отображает все, что происходит внутри объекта. Как правило, эти модели сложны, нелинейны; описывают поведение исследуемого объекта во всем возможном диапазоне изменений входных и выходных воздействий. Они содержат много неизвестных коэффициентов, которые необходимо уточнять для конкретных условий функционирования объекта. Они зачастую содержат некорректные математические операторы и поэтому чувствительны к ошибкам использования данных об изменении входных и выходных воздействий.

Функциональная модель (кибернетическая) — математическая модель, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между входными и выходным воздействиями объекта (системы) без отображения происходящих внутри процессов. Функциональные модели, как правило, более просты по структуре и строятся экспериментальными методами.

3.Разновидностью функциональной модели является пересчетная модель (модель в приращениях), имеющая следующую структуру (рис.1).

Отличительная особенность этой модели в том, что она имеет три входа и один выход функционирует в приращениях к натурным (измеренным в действующей системе контроля) входным и выходным воздействиям. Эти натурные воздействия должны поступать из действующей системы либо оперативно в темпе с процессом, либо ретроспективно, с предварительной записью и последующим воспроизведением. С помощью такой модели можно ответить на вопрос: что будет на выходе рассматриваемого объекта, если вместо натурных входных воздействий будет иметь место модельное. Соответственно:

математический моделирование балка сечение

, .

Таким образом, пересчетная модель сама по себе, без натурных ничего собой не представляет, то есть не является моделью и не может быть использована для определения выходных воздействий. Таким образом, она используется как часть, комбинация с натурной частью, в качестве которой выступает непосредственно оригинал. Если входное и выходное воздействия этой системы предварительно записываются и затем воспроизводятся в заданном темпе, то натурный объект, натурная система заменяется ее информационным отображением, то есть упорядоченной совокупностью входных, выходных воздействий и состояний натурного объекта, зарегистрированной на фиксированном интервале работы этой системы. Оно содержит в себе все особенности, условия функционирования системы, в том числе и эффекты неконтролируемых внешних возмущений, ошибки измерения и исполнения регулирующих команд.

1.2 Пакет MathCAD функции для обработки экспериментальных данных

MathCAD — это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.

Сегодня различные версии MathCAD являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам.

С помощью MathCAD можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию MathCAD на любую область науки, техники и образования.

В пакет Mathcad интегрирован довольно мощный математический аппарат, позволяющий решать возникающие проблемы без вызова внешних процедур.

Основные функции Mathcad:

. решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных);

. решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и краевая задача);

. решение дифференциальных уравнений в частных производных;

. статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое);

. работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.);

. поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей;

. Решая поставленную задачу, пользователь может вводить не только числовые значения переменных, но и дополнить их размерностями. При этом пользователь вправе выбирать и систему единиц (СИ, кг-м-с, г-см-с), и конкретные размерности (м, дюймы, футы и т. д.): система Mathcad в них сама разберется и выдаст ответ с заданной пользователем размерностью;

. система Mathcad оборудована средствами анимации, что позволяет реализовать созданные модели не только в статике (числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационные клипы);

. в систему Mathcad интегрированы средства символьной математики, что позволяет решать поставленные задачи (этап задачи) не только численно, но и аналитически;

. не выходя из среды Mathcad, возможно открывать новые документы на других серверах и пользоваться теми преимуществами информационных технологий, предоставляемых Internet;

Кроме того, не следует забывать, что пакет Mathcad — это полноценное Windows-приложение. Решая поставленную задачу, можно через буфер обмена Windows передать данные в среду другой программы и там решить часть задачи. [4 стр. 20−35]

Пакет MATHCAD предоставляет широкие графические возможности. Кроме того, здесь можно использовать чертежи и рисунки, полученные в других графических системах.

Нажатием буквально одной кнопки можно задать шаблон для генерации двумерного графика, причем в одних и тех же осях может быть несколько графиков одновременно. В MATHCAD`e представлены следующие виды графиков:

декартовый (X-Y plot), полярный (Polar plot), поверхности (Surface plot), карта линий уровня (Contour plot), векторное поле (Vector Field plot), трехмерный точечный (3D Scatter plot), трехмерная столбчатая диаграмма (3D Bar Chart).

Все графики являются стандартными объектами MATHCAD`a: их можно редактировать, а при пересчете исходных данных они автоматически перерисовываются. Кроме того, в средствах `объемной' визуализации данных существуют возможность композиции задних планов. Существуют большое количество опций для работы с осями, а также возможность импортировать графические изображения. Кроме работы с десятичными числами существуют возможность работы с восьми — и шестнадцатеричными числами. Так же есть набор процедур для возможности функционирования не только над числами, векторами или матрицами, но и над более сложными объектами, таких как деревья, списки или наборы. При вычислениях в символах, так называемая символьная математика (или аналитические преобразования), существуют три группы инструментов:

1. Команды символьной математики из меню (Symbolic);

2. Режим непрерывных символьных преобразований (Life Symbolics);

3.Оптимизация численных вкладок через символьные преобразования (Optimize). 4. стр.30−46]

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи Рисунок 1. Схема балки Условие задачи.

Материал балки — дерево.

Длины участков: L1=2м, L2=4м, L3=6м, L4=12м, L5=18м, L6=20м ;

Нагружающие силы: Р1=7000Н, Р2=2000Н, Р3=5000Н;

Распределенная нагрузка: Q1=4700Н/м, Q2=4700H/м, Q3=5700H/м;

Нагружающий момент: М0= 5800 Н*м.

Свойства материала из которого сделана балка:

у=10⁷Н/м² допускаемое напряжение;

Е=1*10¹⁰ Н/м² модуль упругости.

Цель:

1. Исследовать зависимость изменения диаметра балки от Q1.

2. Исследовать зависимость изменения максимального прогиба балки от P3.

2.2 Анализ исходных данных и результатов. Описание математической модели Для решения поставленной задачи необходимо составить математическую модель задачи. Исследуем влияние заданных сил и распределенных нагрузок на изгибающий момент участков:

Строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М

Рисунок 2. Эпюра поперечной силы Q

Рисунок 3. Эпюра поперечного момента M

Блок-схема нет

да нет

да Рисунок 4 Блок-схема

Таблица использованных переменных

2.3 Алгоритм расчета базовой модели и проведения исследований

?М_i=0 (1) — сумма моментов относительно осей x, y, z равна нулю

?Q_і=0 (2) — сумма сил относительно осей x, y, z равна нулю М=F*l (3) — момент равен силе умноженной на плечо у_max=M_x^max/W_x ?[у]_доп (4) — условие прочности при изгибе

(5) — минимальный осевой момент сопротивления у_доп — допускаемое напряжение для заданного материала балки

d= (6) — минимальный диаметр балки

J=рd⁴/64 (7) — момент инерции

И= (8) — угол поворота где, EJ — жёсткость при кручении

(9) -прогиб балки

3. Описание реализации документа в MathCAD

Построив эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M рассчитываем прочность балки Находим экстремальное значение изгибающего момента c помощью Given и Minner.

Определяем размеры сечения балки (осевой момент сопротивления сечения, минимальный диаметр балки и минимальный момент инерции) по формулам:

Определяем перемещение балки с помощью интеграла Мора:

(1)

(2)

где 1- реакция в точке, А от единичной нагрузки приложенной в точке xx;

2- момент реакции в точке, А от единичного момента приложенного в точке xx.

Далее исследуем прогиб балки и угол поворота сечения:

— прогиб балки

— угол поворота сечения Строим графики максимального прогиба и угла поворота сечения

Рисунок 5. Максимальный прогиб балки и угла поворота

Определяем экстремальные значения прогиба балки.

Строим зависимость диаметра балки от Q1

Строим график

Рисунок 6. Зависимость диаметра балки от Q1

Определяем зависимость максимального прогиба балки от P3

Строим график

Рисунок 7. Зависимость максимального прогиба балки от P3

Полиномиальная регрессия

Рисунок 8. График функции полиномиальной регрессии Рисунок 9. График функции полиномиальной регрессии В результате проведённых исследований получили зависимость следующего порядка:

1) При увеличении поперечной силы Q1 на 500(Н) получаем увеличение диаметра на 1.597(м), график представляет собой линейную зависимость и возрастает.

2) При увеличении нагружающей силы P3 на 500(Н) получаем уменьшение максимального прогиба балки на 2.108(м), график представляет собой линейную зависимость и убывает.

Заключение

Данным курсовым проектом я оканчиваю курс информатики. В ходе данной курсовой работы я закрепила свои знания в области вычислительной техники, математики, механике материалов и теоретической механики. Это связано с тем, что для создания программы необходимо было исследовать математическую модель расчета балки на изгиб и произвести расчеты в среде MathCAD.

На основе решения и проведённых исследований, я пришла к выводу, что с увеличением поперечной силы Q1 увеличивается диаметр, о чем можно судить по показаниям графика, и с увеличением нагружающей силы P3 уменьшается диаметр балки.

Работа в среде MathCAD даёт значительное повышение точности в расчётах, облегчает процесс программирования при вычислении функций, даёт возможность создания опрятных, красочных, понятных любому пользователю документов.