Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения

Содержание

1 Постановка задачи

2 Математические и алгоритмические основы решения задачи

3 Программная реализация решения задачи

4 Пример выполнения программы Заключение Список использованных источников и литературы

Введение

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…» , — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата — «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») — со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.

где a, b, c — некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и (и — корни соответствующего квадратного уравнения).

Если и, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

.

Если, то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:

.

Если и, то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Случай, аналогичен разобранному.

Целью данной курсовой работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения.

1. Постановка задачи

Биквадратным называется уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где a ??0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x² = y, придем к квадратному уравнению ay²+by+c=0.

Требуется разработать программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

x⁴+4x²-21=0.

Решение:

Положив x² = y, получим квадратное уравнение y²+4y -21=0, откуда находим y₁= -7, y₂=3.

Теперь задача сводится к решению уравнений x²= -7, x²=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Ответ: .

Пример 2.

Решить биквадратное уравнение.

2х⁴ — 5х²+2=0

Решение:

Обозначим х²=t. Тогда х⁴=(х²)²=t² и уравнение примет вид:

2t²-5t+2=0

D=(-5)2 — 4(2)(2)=25 — 16 = 9 > 0,

t₁=(5+3) / 4=2 и t₂=(5 — 3) / 4=1 / 2.

Так как t=x², то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений х₁=2 и х₂=½.

Имеем

Ответ:

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

Рассмотрим биквадратное уравнение

ax⁴ + bx² + c = 0.

Введем подстановку

y = x².

Получим квадратное уравнение общего вида

ay² + by + c = 0.

Таким образом, для решения биквадратного уравнения необходимо помнить, что оно свелось к системе двух уравнений второй степени:

y = x²

ay² + by + c = 0.

Решим квадратное уравнение относительно переменной «y». Получим три возможных варианта решений:

дискриминант отрицателен: уравнение не имеет действительных решений;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.

В первом случае, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен, система не имеет решения, так как одно из входящих в нее уравнений, а именно квадратное уравнение ay² + by + c = 0, не имеет решения.

Последние два случая соответствуют неотрицательному дискриминанту квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные решения. Однако, обратите внимание на тот факт, что первое уравнение системы ax² = y имеет смысл только при значениях y>=0. Поэтому, если оба корня квадратного уравнения ay² +by +c = 0 отрицательны, система уравнений так же не имеет решения. Кроме того, если хотя бы один из корней квадратного уравнения ay² +by +c = 0 отрицательный, система уравнений будет иметь только два действительных решения.

И только в том случае, когда оба корня квадратного уравнения неотрицательны, система уравнений имеет четыре действительных решения. Дадим теперь словесное описание алгоритма.

Словесное описание алгоритма решения задачи:

Ввести a, b, c.

Присвоить d = b² — 4ac

Если d<0 перейти к 15

Присвоить y1 = (-b — SQRT (d)) / (2*a)

Присвоить y2 = (-b + SQRT (d)) / (2*a)

Если y1<0 и y2< 0 перейти к 15

Если y1<0 и y2>=0 перейти к 9

Если y1>=0 и y2<0 перейти к 13

Присвоить x1 = SQRT (y2)

Присвоить x2 = -x1

Выдать «x1=»;x1, «x2=»;x2

Перейти к 16

Присвоить y2 = y1

Перейти к 9

Выдать «Действительных решений нет»

Закончить

3. Программная реализация решения задачи

Файл UBikvur. h

//—————————————————————————————————————;

#ifndef UBikvurH

#define UBikvurH

//—————————————————————————————————————;

#include

#include

#include

#include

#include «HandTuning.h»

#include

#include

//—————————————————————————————————————;

class TfrmBikvur: public TForm

{__published: // IDE-managed Components

THandTuning *htA;

THandTuning *htB;

THandTuning *htC;

TButton *btnCalc;

TListBox *lbxX;

TLabel *Label1;

TLabel *Label2;

TButton *btnExit;

TButton *btnClear;

TMainMenu *MainMenu1;

TMenuItem *N1;

TMenuItem *N2;

TMenuItem *N3;

TMenuItem *N4;

TMenuItem *N5;

TLabel *Label3;

TLabel *Label4;

TLabel *Label5;

void __fastcall btnCalcClick (TObject *Sender);

void __fastcall btnExitClick (TObject *Sender);

void __fastcall btnClearClick (TObject *Sender);

private: // User declarations

list __fastcall Bikvur (double a, double b, double c);

public: // User declarations

__fastcall TfrmBikvur (TComponent* Owner);};

//—————————————————————————————————————;

extern PACKAGE TfrmBikvur *frmBikvur;

//—————————————————————————————————————;

#endif

Файл UBikvur. cpp

//—————————————————————————————————————;

#include

#include

#include

#pragma hdrstop

#include «UBikvur.h»

//—————————————————————————————————————;

#pragma package (smart_init)

#pragma link «HandTuning»

#pragma resource «*.dfm»

TfrmBikvur *frmBikvur;

//—————————————————————————————————————;

list __fastcall TfrmBikvur: Bikvur (double a, double b, double c)

{double y1, y2;

list x;

//вычислене d дискриминанта

double d = b * b — 4 * a * c;

//корни существуют, если d >= 0

if (d >= 0)

{y1 = (-b — sqrt (d)) / 2 * a;

y2 = (-b + sqrt (d)) / 2 * a;}

if (d < 0 || (y1 < 0 && y2 < 0))

{Application->MessageBoxA (L" Действительных корней нет", L" Информация", MB_OK + MB_ICONINFORMATION);

return x;}

//вычисление корней биквадратного уравнения

else

{if (y1 >= 0 && y2 >= 0)

{x.push_back (sqrt (y1));

x.push_back (-sqrt (y1));

x.push_back (sqrt (y2));

x.push_back (-sqrt (y2));}

else

{if (y1 < 0 && y2 >= 0)

{x.push_back (sqrt (y2));

x.push_back (-sqrt (y2));}

else

{x.push_back (sqrt (y1));

x.push_back (-sqrt (y1));}}}

return x;}

//—————————————————————————————————————;

__fastcall TfrmBikvur: TfrmBikvur (TComponent* Owner)

: TForm (Owner)

{}

//—————————————————————————————————————;

void __fastcall TfrmBikvur: btnCalcClick (TObject *Sender)

{lbxX->Clear ();

list res = Bikvur (htA->Value, htB->Value, htC->Value);

int i = 1;

while (!res.empty ())

{lbxX->Items->Add («x» + IntToStr (i) + «= «+ FormatFloat («0.000», res. front ()));

res.pop_front ();

i++;}}

//—————————————————————————————————————;

void __fastcall TfrmBikvur: btnExitClick (TObject *Sender)

{this->Close ();}

//—————————————————————————————————————;

void __fastcall TfrmBikvur: btnClearClick (TObject *Sender)

{htA->Value = 0;

htB->Value = 0;

htC->Value = 0;

lbxX->Clear ();}

//—————————————————————————————————————;

4. Пример выполнения программы

Пример 1.

Рисунок 1 — Решение биквадратного уравнения

Пример 2.

Рисунок 2 — Решение биквадратного уравнения

Пример 3.

Рисунок 3 — Решение биквадратного уравнения

Пример 4.

Рисунок 4 — Решение биквадратного уравнения

Пример 5.

Рисунок 5- Решение биквадратного уравнения

Пример 6.

Рисунок 6 — Очистка из пункта меню Пример 7.

Рисунок 7 — Выход из программы

Заключение

В рамках данной курсовой работы была поставлена задача: построить алгоритм и реализовать программный продукт для нахождения корней биквадратного уравнения.

В результате проектирования был составлен принципиальный алгоритм для решения поставленной задачи. Далее он был детализован и реализован на ЭВМ. В конце, был проведён анализ полученных результатов, и сделаны необходимые выводы.

Программный продукт был реализован в среде визуального программирования CodeGear RadStudio 2009 под ОС типа Windows для IBM PC-совместимых компьютеров.

Созданный программный продукт позволяет решить поставленную задачу. Также можно указать о том, что программа имеет интуитивно понятный интерфейс, что дополнительно помогает пользователю с наибольшей результативностью использовать программу.

В заключение после анализа полученных результатов были сделаны выводы, согласно которым алгоритм работает и применим для поставленной задачи.

Список использованных источников и литературы

1. Архангельский, А. Я. Программирование в С++ Builder 6. [Текст] / А. Я. Архангельский. — М.: Бином, 2003. С. 1154.

2. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов [Электронный ресурс] / А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. — М.: Мир. 1999. С. 143.

3. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — М.: Наука, 2007. — 708 с.

4. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н. Ш. Кремер, 3-е издание — М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

5. Калиткин, Н. Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н. Н. Калиткин. — М.: Питер, 2001. С. 504.

6. Биквадратные уравнения [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://fio.ifmo.ru/archive/group34/c4wu2/pege3−2.htm

7. Павловская, Т. А. Программирование на языке высокого уровня. [Текст] / Т. А. Павловская. — М.: Питер, 2003. С. 461.

8. Семакин, И. Г. Основы программирования. [Текст] / И. Г. Семакин, А. П. Шестаков. — М.: Мир, 2006. C. 346.